Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Это представление особенно удобно в случае политропного газа, когда роз = тр. Симметрическая форма. В общей качественной теории уравнений (11)(исследование характеристик, краевых задач и т.п.) целесообразна специальная запись системы с искомыми функциями и, р, Я. С этой целью из первого уравнения (! !) с помощью соотношения (!3) исключается Рр, что приводит к равносильной системе рРи+ '7р = О, ЬРр+ г((ч ц =- О 6 =— 1 2 (15) Здесь величины р и Ь рассматриваются как функции от р и Я.
Важное свойство системы (15) состоит в том, что она является сияьиелгрической. Этот термин означает, что в матричной записи системы (15) участвуют симметричные матрицы. Для перехода к матричной записи система (!5) расписывается в декартовых координатах: р(пг + ци, + оиэ + шп,) + рх р(о~ + ио, + оия -~- ши,) -1- ра р(оа + иш + ошэ + шш,) + р, 6(ра + цр,, + оря + шр,) + и, -' гк + ки 5~ + иЯ~ + оЯ -ь шЯ„. =О, (1б) =О, =. О. или, с учетом первого уравнения (11), уравнению Рр = — роз г(!ч ц. В этом представлении система принимает вид 34 )ллвл!.
Мл~ ьмл~ичискля модьль глзовой днилмики и вводится вектор-функция ТУ = (и, и, ю, р, 5) (рассматриваемая как век- тор-столбсц). Тогда с матрицами Ат()' = 1, т, Ги г), элементами кото- рых служат коэффициенты системы (16), эта система записывается в ви- де А~1)~ -~ А*~1„4 АиСи + А'С, -.= О, (17) глс нижними индексами при 1) обозначены частные производные этого вектора по 1, х, р, з и каждая матрица умножается на вектор-столбец по обычному правилу.
Конкретный вид матриц А) таков: А' =- Непосредственно видно, что все матрицы АУ симметричны, причем А'— лазожитечыю олрег)елеиная. Форма Громеки-Лэмба. Ешс одна форма записи получается с использованием вектора вихря ш .= гог ц, который в декартовых координатах имеет компоненты ш:=- (ш„— и,, и. — ю,. и, — ии). (18) Переход к новой форме основан на тождестве и ~71з=-зу -а -.цхш, 1,2 где х — знак векторного умножения. С помопзью этого тождества уравне- ние импульсов (второе из уравнений (11) записывается в форме Громеки- Лэлсба ц~+T~ — д ~+-ир=цхш. /) зх,1 )2 ) 'Р (19) РОООО ОРООО ООРОО ОООЬО 00001 ри 0 0 0 О ри 0 1 А" =- 0 0 ри 0 0 10ьи 0 0 0 0 0 О 0 А*= 0 и ри 0 0 1 0 0 ри 0 0 0 0 0 ри 0 0 1 0 0 Ьи 0 0 0 0 0 и рв 0 0 0 0 0 р1а 0 0 0 0 0 ры 1 0 0 0 1 Ьы 0 0 0 0 0 и 35 14. УРАВньлшя сильного Рлзгывх я4. Уравнения сильного разрыва В приложениях возникает необходимость в изучении классов движении, более широких по сравнению с классом гладких движений.
Математическая модель таких движений может быть построена на основе интегральных законов сохранения (1.3). Вначале рассматривается абстрактный закон сохранения (3.1). В предылушсм параграфе было показано, что сслн величины и, г" н ьс обладают непрерывными производными, то (3.!) равносильно (3.6), откуда вытекало дифференциальное уравнение (3.7). Здесь (3.6) будет обобшсно в прутом направлении, Обобшеииые движения.
Пусть П с Гта есть ограниченная область с кусочно-гладкой границей Г н сечениями ып(!) гнпсрплоскостями Ф = сопас. В соотношении (3.6) полагается ы(1) = щп(1), н оно интегрируется по г в интервале (!ы !з), на который проектируется область й. Это даст и Здесь подынтегральнос выражение есть дивергенция четырехмерного век- тора (если у = (~дз: рз. Зэз)) К = (.г': У -':р, .г"о + З з, 7"щ 4- з з). Поэтому согласно теореме Острогралского — Гаусса предыдушсс соотноше- ние равносильно следующему: ЯК (Г=О г где и — орт внешней нормали к Г.
Если 1 — орт оси 1 и и — орт внешней нормали к сечению Г гиперплоскостью г = сопзц то и = !соя(и.!) 1- пз1п(ь.1) (2) н,следовательно, и и:= (соз(и, !) -~- ((и -' ~р) - па!п(и, 1). Поэтому соотношение (1) принимает вид (3) 36 Г.)лил !. Млтьмлтг)чвскхя модьлы лз(эвой днпхмнкн Итак, для непрерывно дифферснцирусмых функций и, (. ю из выполнения (3.6) лля любого объема ы(1) С йз следует выполнснис (3) лля любой замкнутой гиперповсрхности Г с Лл.
Ясно, что, н обратно, специализируя Г как цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси 1 в п~, и сечением ь) С зта, легко вывести (3.6) из (3). Однако если нс предполагать функции и, )', (р нспрсрывно дифференцируемыми, то из (3) указанным путем уже нс удастся вывести (3.6). В частности, такой вывод невозможен, соли величины и, 1, (р сами разрывны. В этом смысле закон сохранения (3) является обобщением закона сохранения (3.6).
Определение 1. Набор функций ц. р. р. , определенных в )(л(х,е), называется обобщенным движением газа, если для любой замкнутой кусочно-гладкой гнперповерхносги Г С 1(("(х,1) эти функции удовлетворяют соотношениям ~~(рсоа(и.1) -1- рц пят(и,е)) г)Г = О, г зз ь ' (,Й) (Ф ) ~Ф ) (,Й))е и. (4) г Я(~ф"+ ) (и,е)ьЯЧ'-+е) тр)п пв(п(и,1))ЛГ=О. !' Соотношения (4) получаются из абстрактного (3) путем специализации функции у и (р соответственно законам сохранения (1.3). В силу предыдушсго они равносильны дифференциальным уравнениям (3.11) в классе гладких движений газа. Движение с сильным разрывом.
Класс всех обобшенных лвижений газа до настоящего времени полностью нс изучен. Фактически исследован только (во всяком случае, для многомерных движений) нскоторый подкласс обобщенных движений, а именно класс движений с сильным разрывом. Определение 2. Если в области определения обобшснного движения сушествует гиперповерхность Е С зг', на которой величины и.
р, р, е имеют разрыв первого рода и вне которой это движение ~ладков, то такое движение называется движенаел( с сальным разрываю а сечение В(1) гиперповсрхности Е гиперплоскостями г — — сопле называется поверхностью сильного разрыва. 37 з 4. Углвнания сильного гхзегявя Итак, поверхность сильного разрыва В(1) ссть двумерная поверхность в пространствс Йз(х), которая перемешается с течснием времени и на которой функции ц, р, р, в имеют разрыв первого рода, оставаясь гладкими с каждой стороны от В(1).
Оказывается, что величины разрывов (или, как говорят, скачков) этих функций не могут быть произвольными, но с необходимостьюю удовлетворяют некоторым соотношсниям, которые и называются уравнеггнялгн снвьггово разрыва, Вывод соотногпеинй на сильном разрыве. Удобно вывести уравнение сильного разрыва сначала лля абстрактного закона сохранения (3). С этой целью о, на гипсрповерхности Е выделяется неко- о торая (малая) область гг с гладкой гра- н ницей э и строится замкнутая гиперповерхность Г = ог + ггг+ аз, где ггз есть «боковая поверхность» цилиндра с на- «, правляюгасй гь а ог и оз — куски <гпарал- н, лсльных» к Е повсрхностей, находящихся на расстоянии гг от Е (рис. 1), вырезан- 0 з ные этим цилиндром. В соотношении (3) с так построенной гиперповсрхностью Г интеграл разобьется на сумму трех инте- Рис.
1 гралов — по оы а и оз. Затем выполнястся продольный переход при 6 О. Так как при этом мера [оз[ О и подынтегральная функция ограничена, то интеграл по оз в прсдсле дает нуль. Что жс касается интегралов по ог и оз, то они в пределе перейдут в интегралы по разным сторонам гг с противоположными направлениями нормалей иг = -и . Пусть и —. одно из этих направлений, и пусть снмвав скачка ,"а[ = аз — а г лает разносзь предельных значений на Е какой-либо всяичины а, которые существуют с каждой стороны Е. При этих соглашениях в прсделе получится соотношение 1( гоа(и,1) + ()гг„+ р„) я(п(и,1)[г(о = О, в где и„= ц и и р„= чз и.
Отсюда, ввиду произвольности области о. С Е и непрерывнос ги подынтсгрального выражения на Е, получается абстрактное уравнсние сильного разрыва [(сов(и,1) + (уц + р») ат(и,е)[ =- О. (5) за Г!!Авл!. Млтгмлгическкя модгль !хзовой диппмикп Определение 3. Скоростьт перемещения поверхности В(~) в направлении нормали и называется предел Н(!Х!) В„= йпп Ь!- О (б) Связь Вп с четырехмерной нормалью и обнаруживается, если заметить, что вектор (рис. 2) и пм), где! — орт оси г, лежит в касательной плоскости к Е и потому ортогонален вектору (2). Следовательно, искомая связь такова: В„в!п(и, 1) -с сов(и, 1) = О.
(7) в.у,г Рнс. 2 В силу соотношения (7) уравиенис (5) можно записать в виде [,!'(ип — Оп) Зс»1 з!п(и, 1) = О. Некоторое неудобство этого уравнения состоггг в том, что в него входит четырехмерная нормаль и к гипсрповерхности Е. Однако нормаль и можно исключить с помощью понятия скорости перемещения поверхности В(Е) и тем самым получить описаннс сильного разрыва в терминах только пространства Вз(х). Берстся точка !Ь) б В(с) н находится точка )Ч пересечения нормали в М к В(г) с поверхностью В(~ -ь Ь!).
Пусть Н(сзг) есть длина отрезка М.Ч, взятая со знаком «плюс», если вектор )ь7!Ч направлен так же, как орт нормали п к В(!) в точке И, и со знаком «минус»ч соли вектор И!Ч направлен про гивоположно и. 94. Угхвнкпия сильного гпзгывх Встествсино считать, что скорость перемещения Р, поверхности В(г) конечна. Тогла из (7) слслует, что в1п(м, ~) Р О, и окончательно получается равносильное (5) абстрактное уравнение сильного разрыва [г(ип — Р„) + р„! =-О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
