Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Специальный интерес представляют течения, в которых величина 1М вЂ” 1~ мала по сравнению с единицей. Такис течения называются околозвиковььии, некоторые их особенности будут рассмотрены в ~ 26. Течение типа источника. Как и в несжимаемой жидкости, существуют чисто радиальные тсчсния газа, когда на каждой из семейства концентрических сфер плотность, давление и модуль скорости постоянны, а частицы движутся по радиусам (аналог источника или стока). В таком течении вектор скорости имеет представлснис вида ГЛАВА Ц. С!Л'.ЦИЛЛЬНЫХ МОДЕЛИ ДВИЖН!ИЯ !'ЛЗЛ где 4яЯ есть расков газа через сферу радиуса г. Итак, дело сводится к совместному анализу двух уравнений: интеграла Бернулли (!9) и уравнения расхода (25), определяющих функцию 9(г). Для этого достаточно заметить, что в силу (19) характер зависимости удеяьного расхода ре от 9 опрслсляется соотношениями г!(!и!)/г(9 =- р(! — Мз), р9(О) = О, р9(д, ) .= О.
(26) Поэтому получаемый из (25) график зависимости г(9) имеет вид, показан- ный на рис. 2, где г„= т/фр г,. (27) 812. Классы ннварнантных решений Рассматривается широко распространенный частный случай инвариантно-групповых решений, в котором добавлеиис дополнительных соотношений вида (8.18) к исходной системе ис влечет переопределсиности результирующей системы дифференциальных уравнений, а сразу приводит к определенной факторсистсмс. Приводимое пижс построение применимо для любых систем дифференциальных уравнений; здесь оно обсуждается примеиитсльно к системе (8.1). Временно, длл краткости записи формул, используются сокращенные обозначения независимых переменных (л, у, г, !) = (Жг, тз.
хз. Ж„) = ш и искол!ых функций (и, и, и, р,р) =. = (и!, иъ из, иси иа) = и. Следовательно, возможны два вила непрерывного течения типа источника; чисто дозвуковое и чисто сверхзвуковос. В случае дозвукового источника скорость течения 9 убывает с ростом г и стремится к нулю, когда г — ОО. В случае сверхзвукового источника скорость 9 возрастает с ростом г и стремится к максимальной д , когда г эс; при этом на бесконечности достигается состояние вакуума. Важной особенностью газового источника является то, что ои ис может иметь точечный хаРис. 2 рактер: по данным значениям величин Я и ц од- нозначно определяется минимальный радиус (27) той сферы, из которой ещс может «бить» источник газа с расходом Я при данном д„,. Возможны также течения рассмотренного типа с сильными разрывами. Анализ возможных здесь ситуаций длл источника или стока предоставляется читателю.
4!2. Классы инвкгикн!ных гашений 109 Инвариантные решения. Предполагаешься, что базис инвариантов группы Н состоит нз скалярных инвариантов двух видов. Г!ервый составляют инварианты-функции только от независисмых переменных. Число 1. таких (функционально независимых) инвариантов может быть не более четырех; пусть это будут Л, =,У,(ж) (Е =- 1, ..., й < 4), Второй вид образуют остальные инварианты, число которых равно числу искомых функций (для системы (8.1) -- пять); п = .Уьн(ю* 'и) (Е = 1,, 5) (2) причем 5 х 5 — матрица Якоби не вырождена, т.
с. ранг (д,Уьчл/диу) =- 5. (3) В этом случае дополнительные соотношения (8.16) для инвариантов груп- пы Н, вводимых с целью построения Н-решений, задаются в виде П = ЕУг(А) (Е = 1... 5). (4) Условие (3) позволяет разрешить уравнения (2) относительно всех искомых и и записать (2) в равносильной форме и =-. У (ш, т) (у = 1, ..., 5) с конкретными известными функциями Уу.
Тем самым из (4) следует пред- ставление Н-решений. и, = Уэ(ж, ЕУ(А)) (2 = 1, ..., 5). (5) В результате подстановки выражений (5) в систему (8.1) получается факторсистсма из уравнений первого порядка для искомых Ц(А), содсржашая только величины ЕЕп переменные Л, и производные ВЕггУдЛ,. Доказательство этого факта, справедливого для любых исходных систем дифференциальных уравнений, допускаюших группы Н с требуемым базисом ннвариашов, можно найти в (5). Определение 1. Решения, получаемые вышеописанным построением, называются илвариантныни Н-решениянл ранга Ех Соответствующая факторснстема называется илвариантлой лодмоделыо раню 4' исходной кбольшой модели» (8.1). Специфика ннвариантной подмодели состоит в том, что в ней участвуют лишь й < 4 независимых переменных.
Поэтому ннвариантныс решения находить и анализировать, вообще говоря, проще, чем решения исходной системы (8.! ). Глава В, С!и:.цилльньп; мойили движьниЯ Глэл Злмгчлнив !. В случае к = О нпварнантоа,Г, нет, н зогда в нредстаалснин (5) величины (1 счнтаюгся нскомымн коне!аптамн, а уравнения подмолслн (факторснстема) сводятся к системс конечных соо!ношений лля этих констант. Злмйчлние 2.
Для произвольных исходных систем дифференциальных уравнений возможна такая ситуация, когда факторснстеча оказывается противоречивой (з. е. не имеет решений). Олнако, для снстсмы (8.1) па ситуация встречается только при отыскании нняарнантных Н-решений ранга нуль. Итак, для построения инвариантных Н-подмодслсй системы (8.1) надо выполнить четыре операции: (а) вылепить тс подгруппы Н допускаемой группы, для которых существует базис инвариантов со свойзствамн (1) — (3); (б) вычислить эти инварианты; (в) сформировать представление решений вида (б) и (г) выполнить подстановку этого представления в систему (8.1). Методы выполнения пунктов (и) и (б) с достагочной подробностью изложены в Приложении, а пункты (в) и (г) выполняются автоматически.
Далее в этом разделе церечисля!отея все инвариантныс подмодсли ранга 3 для случая общего уравнения состяния газа и рассматриваются примеры подмоделей мсньших рангов. Подмодели ранга три. Эти помодели порождаются однопараметрическими подгруппами. Для группы ь'!! в оптимальной системе сс подгрупп (см. Приложение) содержится всего 13 представителей классов подгрупп Н = С'.
Они порождают 13 различных подмодслей, описывающих все неэквивалентныс классы инвариантных движений газа ранга три. В нижсследующем псрсчис этим классам движений присвоены названия (не всегда традиционныс) и указаны представления соответствующих решений аида (5). При этом, наряду с обычными декартовыыи координатами (Ю) = (й х, у, з. и, и, ц) используются также йнлш!дрпчсгкце координаты (С) = (1, х, г, О, и,.
ц„, ш,), вводимые следующими соотношениями: х = х: у = ! соя0, г = гейл 0; г = ьУу-' + зз. 0 =- пгс!8(гз!у), ис = и, пс = исоа0 ч ц!вш0. и!, = — игйп0 (- ц:соа0, (б) и = ис, и = ьссоа0 — ш„вш0. ш = п,ып0.!-шссон0, — ! ! 2 Рси,- р ыср= г (О,ш,,— ьец!с). РсР (к)!ссис = О. Р„Р+ Рсзс(!ц„ц, = О, (7) где ис и ц!с — радиальная и окружная компонснты вектора скорости ис = =- (ис пс, цзс). В координатах (Р) исходная система уравнений газовой динамики имеет вид 9 кк классы ннвленлнтных Рвшвний где Пс — - гл -~- иг %'„т га — — (дт. д„. г до), гйтси, =- ив*+ с,„-'- г г -ь г юнь - ° ! Перечень подмоделей идет в порядке, обратном указанному в таблице П,! (см.
Приложение). Инвариантный вектор скорости всюду обозначается символом ег =- (к 1', и'). так как подмолсли рассматриваются только лля уравнения состояния газа общего вида, то плотность р и давление р— инварианты любой подгруппы Н с 0" н потому здесь явно нс указываются; они должны быть функциями тех жс независимых переменных, что и вектор О. 13". Д в у м е р н ы с д в и ж с н и я (ь); и = Е7(1 у»).
При Н = О получается подмодель и по с ко п ар а л л ел ьн ы х д в и же н и й. 12о. Галилеево-инвариантные движения (Р): и = (х/1+ ьг, )», И'); 0 = ХУ(1. Гн»). 11о. С д в и г о в ы е движения (ьу): и = (» -ь Н, )», И'); ЕУ = ЕУ(1, Л, у); Л = х — 1». 10с. Уста нови вшие с я течения (З): и = Е)(к,р,»). 9е. Стационарные течения в однородном поле с ил (Х>): и = (Х+(),1»,И'); ь1 = г)(1,Л,»): Л= к — аз/2, ое. Коннческис движения(Р): и = (.г(л): л = х/с. 7е. Обобщенные конические движения (Р): и — (к/М+ сГ, У., И'); ЕТ =- ЕУ(Лц Л», Лз): Лз = и/1 — /) 1п1, Лз = р/1.
Лз = /Г; /з' ф Π— произвольный параметр. бе. Вращательныс движения (С):и,=ЕУ(Л. т,г), Л=1-0. бо. Обобщенные ар а шатсль н ыс движения (С): и, = (е+ Н., )», И'); О' = г»'(Лц Л», г); Л~ =- 1 — 00, Лз = х — »З/2, Д / Π— произвольный параметр. ! Г2 Глава !!. Опгпилльные молили движгния гхзх 4с. В н нто в ые л в и же пня (С): и„= (7(1, Л, т),Л =- х — й.
Зс. В ра щ атель н о-с им мс три ч вы с д в и жен и я (С): и„= (7(г, л, т). 2с. Обобщенные вра~пательио-симметричные движенияия (С): и, = уь -Ь (7, (т, И ); (7 = 17(1, Л, г)Л = я — ()1В; д Ф 0-. произвольный параметр. 1о. Квазиконическис спиральные движения (С): , = РВ -Ь (т, 1, И ); (7 = 77(Л,, Л„Лз): Л, = т/à — дй., Ла =- г/Г, Ла = й — о г (пй сг ~ О, Р' — произвольные параметры. При Д = 0 получается подмодель конических спиральных движсний. Вывод уравнений соответствующих подмодслей (факгорсистем) делается просто подстановкой указанных представлений для (Р) в систему (8.1) или лля (С) в систеыу (7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
