Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Подмодели 1о-13с остаются в силе и для полнтропного газа, когда роз = "гр. Однако следует иметь в виду, что в этом случае есть 30 подходящих подгрупп С1, порождающих подмолели ранга три, и среди них имеются не зквнвалентныс приведенным в ланном списке. Пвдмолели ранга лва.
Порожлаются двухпарамстрнчсскими под- группами Нз. В группе С" имеется всего 27 классов таких подгрупп (см. Приложение). Все 27 соответствующих инвариантных подмоделей ран- га два описаны и изучены нх общие свойства. К ним относятся, в частности, подмолсли одномерных движений, подробно рассматриваемые в ~лавах!П и !Ч, а здесь обсуждается лишь происхожленис этих подмоделей. Подмодель одномерных движений ~аза с плоскими волнами порожда- ется нолгруппой переносов (в системс координат (П)) по каким-либо двум координатам, например Нэ()-.
7~). Инвариантами являются независимые перемснные Г, я и исковые и, р, р. Уравнения факторсистсмы имеют вид и~-лии.,! р рк=О ь ' 'к — 0 ш, + иш~ = О, (8) р, ч нр. + р. = О, рг - ир* + Рс ик = О 2 З 12. КЯАссы ннВАРИАнтных Решаний пз Решения, в которых и = 1о =- 0 описывают одномерные движения с плоскиии волиачи, перепеидикуляриыми оси х. Полмодель одномерных движений газа с пилинаричсскими волнами поРождастсх под1РУппой псРь1сносов вдоль одной из осей и вРащений вокруг этой оси, например Н-() ', З'~). Инвариантами (в координатах (С)) являются независимые псрсменныс 1, г и искомые и, = Ь', р, р. Уравнения факторсистемы имеют внд (см. (7)) Н1 + Ъ'Н, (ц (г „+ р-'р„ 1У1 ч- (гИг„ р1 Й )грг -Р рЯ„Ч- г )г) р1 + (гр„+ рс (Ъ'„+ г 1 1') =О, — 1 ));2 — - г Р'И', (9) О, О.
Ес решения описывают подкласс врашательно-симметричных движений (см. Зо) и получаются, если искомые величины нс зависят от х. Решения, в которых Н = 'г(г =- 0 описывают одиачерные двичсеиия с циличдрическичи вазиани с осью х (осесииметричные движения). Подмодель одномсрных движений газа со сферическими волнами порождается подгруппой всех вращений НзЦт, )а, ус). Это — особая инвариантная подмодель ввиду того, что для нес не выполняется условно (3). Действительно, группа Нз имеет базис инвариантов всего из шести скалярных величин: независимые перемснныс 1, г = ~х~ и зависящие от искомых р, р, ц =- ~и~ и в = х и. Олнако на особои иивариаюпиоч многообразии этой группы (см. Приложение), заданном уравнением х х и = О, инвариантов хватает, так как добавляется соотношение вида и = рх, где р = ц/г, и получается представление инвариантного Нз-решения и - — - —,, ц(1, г).
р = р(1, г), р = р(й г). (10) Ц1 - ЦЦ. -Ь Р 'Р. = О, р1 ч- цр, -1-~)(ц„+ 2г 'ц) = О, р, -1- цр„з; рсз(ц„+ 2г 'ц) = [). Решения этой системы описывают одномерные двиэкен1гл газа со сцзериче- скими волиаии (сц1ерически счьч чел1ричиые движения). Прямая подстановка выражений (10) в уравнения (8.1) дает фааторсистему (три уравнения импульсов сводятся к одному) Глава и, Спкциальныв мольли движания газа 114 Злмьчянив 3, Если в фак~орснстсмах (9), (9) оставнзь только ралнальнуш час~ь, нояожна с = ш = О в (9) н Г .—. И' = О в (9), а ~акжс ввссзн елннос обозначение скорое~и и = 9 в (Е) н 'т' = С а (9), го все грн полученные полмолслн запишутся слннообразно в внлс Ш Ея Р Рт=" р,-~-ср,ч р(с,— 'ит с)=О, у~ 9 др, + рс (9 + ит' 'С) = О (12) с яаранетрпн геанетрнн и, нмсюшнм значение и = О лля плоских волн, и = 1 для пнлннлрнчсскнх волн н и = 2 ляя сферических во:ш.
и, = х/1 т и(л), сс =- (г(Л), шс = И'(Л), р = р(Л), р = р(Л): Л = т)1 в систему (7) приводи~ к факторсистсме (и — л) и' 4- и = О, (И - Л) (" -ь р-' р' = Л 'И -', ( И вЂ” Л) И" = — Л ' И Иг, (Ъ вЂ” Л)р'+ (Ъ" ч Л-'И+ Цр =- О.
((г — Л)У =-. О. (1б) где пятое уравненис записано через энтропию Я = Я(Л), а штрихом обозначены производныс по Л. Физически солсржатсльными будут только такие решения, в которых (г ф Л, а то~да Н -..— гопак Значит эта подмодсль описывает класс изэнтропичсских движений. Полный анализ вссх возможных видов решений системы (И) весьма не прост. Уместно заметить Подмоделн ранга одни.
Порождаются, как правило, трсхпараметрическими подгруппами Нз. В группе С" содержатся всего 47 классов таких подгрупп (см. Приложение). В этих подмодслях вес искомыс функции-инварианты зависят от одного нсзависимого переменного-инварианта, а факторсистсма является системой обыкновенных дифференциальных уравнений.
П р и и с р. Берется полгруппа Нэ()", )~, у'") совместных преобразований галилеевых переносов 7" вдоль оси х, вращений 1~ вокруг этой оси и растяжений у'1 всех независимых переменных. Базис инвариантов этой группы образуют (а координатах (С)) независимый переменный инвариант Л = т(1 и набор инвариантов ис — ху'1, н„шс. р, р. Подстановка представления Нз-решения 1)2. Кссяссы ннвлпиянтных гюпьний Н5 лишь, что сеть решения с (» = И?:= О, отыскание которых для политропного газа сводится к одному автономному уравнению первого порядка и квадратурам.
Зхмпчяник 4. Оказывястся, что болыпинство кпяссов полгрупп Н' О Ом ие удовлетворяез условию (3). Более плодос ворпым является массив и«вар»а«с пых подмолелей ранга один в случае политроппого газа, лля которою в группе г? содержится 20? серий классов подгрупп Нз. Олпяко обсуждение »сего массива возможных злссь подмстелей выходит зя рамки ляииых «Лекссссй». Некоторые частные случаи инвариантных решений ранга один (в основном — автомодсльныс решения) рассматриваются в главах )П, )Ч. »ассх. (»о — у)сх. (»ш — г)»х.
» " ' х'+ар, » 'х"р. Соответствую»нее прсдставленис «простых» решений таково: и = (?хсс», о = (у - )'х~(», ш = (г+ 1)сх)с», с») — « — аН ( с»)-«р где У. )с, Нс, Н. Р— некоторые константы. Подстановка в систему (8.1) в случас политропного газа, когда ргз = .ур, приводит к факторсистсмс )? -)?= Р~Н, )?)'=0, (?У =-0, а(1 — У) = ь? — 4, а(1 — У) — — — у((с' ь 2). (14) Подмолели ранга нуль. Порождаются, как правило, четырехмерными полгруппами Н'.
В ь.ы имеется 50 различных классов таких подгрупп. В подмолслях ранга нуль независимых переменных-инвариантов нет, все искомыс величины-инварианты являются константами, а факторсистемы сводятся к системс конечных (алгсбраических) уравнений. Ясно, что в случае уравнения состояния газа общего вида все подмодсли ранга нуль описывают изобаричсскис движения. Простейшим примером является подмодсль постоянного реисепил, когда все искомые и, р, р суть константы; она порождается подгруппой переносов по всем независимым переменным», х. у, г. По аналогии с этим решения инвариантных подмолслсй ранга нуль называются сспгзостыми» решениями.
Для политропного газа массив классов подалгебр Н Г Ссз состоит из 290 прелставитслей и имеется много нетривиальных «простых» Н"-решений, причем все они найдсны. В качсствс примера нс изобарических решений здесь выбран следующий. П р и м с р. Одна из серий подгрупп Н" (л) С ь»", зависящих от параметра а и представлясощих собой комбинацию галилеевых переносов по осям у, " и растяжений имеет инвариасггы Гллвл и Спьцилльны«модьли движьния глзл пс Возможность У = О лает нзобаричсскис решения.
Наряду с этим сеть рсшеннс с 1' = И' = О. В эзом случае для констант а, У и Р~'Н получаются выражения через показатель аднабаты э 23 2(2 — з) р, /з = 11 — = 31 — ) (2 - 3), (16) — +1: Н Следовательно, здесь физически осмьюленныс не изобаричсские «простые» решения получаются при у < 2. Легко проверить, что эти рсшения описывают нзэнтропическис движения газа. 813. Простые волны Частично ннвариантные решения. Теория группового анализа позволяет выделять н изучать в качсствс упрошснных моделсй не только классы инвариантны« решений. Олно из возможных обобшсний понятий инвариантного решения достигается за счет отказа от полной ннвариантностн н использования частичной инвариантносаи многообразия относительно группы преобразований основного пространства.
Это приводит к понятию и алгоритму отыскания так называемых частично и«варил«тлых решений. Такие решения возможны либо когда базис инвариантов группы Н (Определение 8.2) нс уловлстворяст условию (12.3), либо когда ишутся решения ранга ббльшсго, чем число й в (12.1). Прнменитсльно к уравнениям газовой динамики это означает, что получается меньше пяти независимых инварнантных соотношений вида (8.16). Поэтому инвариантов нехватаст для выражения из этих соотношений всех пяти искомых всличнн (ц.
и, и, р, р) - среди них сеть «лишпис». Последние должны считаться функциями от всех нсзавнсимых переменных (1. х). Требование совместности соотношений (8.16) с уравнениями газовой динамики в этом случае приводит к объединению факторсистсмы (связываюшей только инварианты группы Н) с дополнительной систсмой уравнений для «лишних» функций. Число независимых псрсменнь<х — ннвариантов в факторсистемс и здесь называется рангом подмодсли (и также рангом класса искомых решений). И результате анализа совместности этой объсдинснной системы и получаются нскомыс решения. Общая теория частично ннвариаигных решений изложена в (5).
Число сушсствснно различных классов частично инвариантных решений значительно больше, чем инвариангных, так как они зависят пс только от выбора подгруппы Н основной группы, но также и от выбора «лишних» 113. пгостыь волны !17 функций. В полном объеме совокупность всех классов частично инвариантных рсшсний уравнений газовой динамики пока сшс нс изучена. Ниже рассматривается один из простейганх классов таких решений, даюший пример хорошо известной и полезной модели. Кратные волны.
В кш~сстве Н берется группа На, порожденная всеми переносами 7"',уз,уз, ('в н растяжением 7"м (см. (8.5)]. Ее базис инвариантов состоит толью из всех искомых величин З=(и,шш,р р); а число и = О. Инвариантное Нв-решение ранга нуль есть «простое» постоянное решение м=мо, Р=Рв, Р--ро. (4) Нетривиальными могут быть лишь частично инварнантныс На-решения ранга и, глс О < и < 4. Определение 1. Частично инвариантные Нв-решения уравнений газовой динамики (3.11) ранга п называются и-яра»таят еолнаия. При этом 1-кратная волна называется простой волной, 2-кратная волна — двойной волной и 3-кратная волна — тройной волной. Представление п-кратной волны лолжно состоять из 5 — и соотношений между величинами (3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
