Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Далее, многие выявленные в рамках одномерного приближения особенности движения оказываются качественно присушилш и более сложным движениям, позволяя изучать последние на основс оправданной аналогии. Очень важно и та, что в теории одномерных движений имеется много до конца решенных конкретных задач, образуюших, в их совокупносзи, кзо:ютой фонд» теоретической и прикладной газовой динамики. Несомненно, что значение фактов и эффектов, выявленных при изучении одномерных движений, выходит за рамки этой теории. Они послужили отправным пунктом для развития ряда направлений современной математической физики. Например, прогресс в тсории квазилинсйных гиперболических систем диффсреициазьных уравнений во многом обусловлен пред- 1!5. плоские, цили<ЯРические и сФегические волны <ЗЗ ставлениями и результатами, почерпнутыми из области одномерной газодинал<ики.
Настоящая глава и предназначена для ознакомления читателя с основными свойствами и методами исследования одномерных нсустановившихся движений газа, й 15. Плоские, цилиндрические и сферические волны Основные уравнения и их характеристики. Диффсренциальныс уравнения одномерного движения с плоскими, цилиндрическими или сфе- рическими волнами уже бь<ли получены в виде (12.12). С заменой обозна- чения скорости й на и эти уравнения таковы: 1 и, -Р ии -1- -р, = О., р р, 4 ирг ! ри„-<- —,.
ри = О, з у з р, <-пу, ч рс-аг+ —,.рс и = О, где с = сз(р, р) рассматривается как заданная функция. Параметр геометрии у имеет значение и = 0 для плоских волн, и = 1 для цили<щрических волн и и =- 2 для сферических волн. В случае у = 0 координата < = к меняется на всей оси ( — оо, оо), а если у > О, то координата г меняется лишь в ипгервале (О. эо). Первое из уравнений (1) есть уравнение импульса, второе — уравнение неразрывности и третье — одна из форм уравнения энергии.
Общие качествсвныс свойства гладких решений системы (1) выясняются с помощью сс характеристик. Хотя для этой цели и можно было бы воспользоваться выводами 1 б и перенести их на систему (1) с учетом того, что она описывает лишь класс частных решений уравнений газовой динамики, моделируя уравнения (3.14), однако здесь уместно провести независимый анализ. Для системы (1) пространством сабы гий является плоскость ссз(г,1). На этой плоскости сабы<лай и рассматривается картина одномерного движения газа, «частицыи которого можно считать перемещающимися по оси г. Здесь характеристики будут просто линиями на плоскости гс (г.с). Нормальныс характсристическис векторы ищутся в виде С =-.
(б,г). С величиной Х == т + ИС харалтсристическая матрица(см. б 6) системы (1) такова: !34 О!АВА !!!. ОлнОМЕРНЫЕ НЕУСГАнОВИВ!НИЕСВ ДВИЖЕНИЯ Всюду в дальнейшем будет использоваться именно эта, указанная в (2), маркировка характеристик: Со для контактных и Се для звуковых. Для получения условий на характеристиках находятся соответствую- щие левые собственные векторы Л матрицы А(б).
Они оказываются такими: Ло = (О, — с, 1) для характеристик Со и Ля = (барс, О, 1) для характери- стик Се. По правилам, изложенным в з б, это даст следующие условия на характеристиках: (Со) рь+ир, — с (р!-ир,) = О, (Ся) рс(и! + (и ~ с)и,) ~ (р, + (и ~ с)р„) ~ — '„'рези = О, где одновременно берутся верхние или нижние знаки. Более компактно эти условия записываются с помощью онераторов дифференцирования вдаль характеристик Ро = — и —, РА = — + (и+ с) —, д д д д д! дг' дг д! Р = — —,(и — с)— д д д! ' дг в следующем виде (Со) Рср = ВВРор (Род = О), (Сэ) Рви+ — Р4р = — тси.
1 и рг г (4) и се определитель равен !)е! А(б) = Л(Лз — сзбз). Очевидно, что характеристическое уравнение !(с!А(Я) = 0 здесь всегда имеет трн вещественных корня: э = 0 и у =. хсС, соответствующих контактной и звуковым характеристикам. Следовательно, система (!) яв- ляется гиперболической Разыскивая уравнения характеристик на плоско- сти К (г. !) в виде г = г(!), удобно взять в качестве задающей их функ- ции !!(г. !) = г — г(!). Тогда нормалы!ый характеристический вектор за- пишется в виде б —. (1, — г'(!)), а величина У будет равна Л = и — г'(!), где г'(!) = й-Я~й. Отсюда получаются следующие дифференциальные уравнения характеристик системы (1): (Со) г!г(!!! = и, (Сч) !(г(сК = и+ с, (2) (С ) !!г(г!! = и — с.
Л 15. плоские, цилинлРичРхкие и ЕФеРичБские волны 135 Совокупносзь соотношений (4) образует хириктеристическую форму системы уравнсний (1) и равносильна этой системс. Как и в Л 3, гвадкни двилсениеи газа здесь называются такис решения П =- (и, р, р) системы (!), в которых все искомыс функции непрерывно дифференцирусмы. В области гладкого движения через каждую точку М е Й-(г, !) проходит одна и только одна характеристика каждого семейства. При этом, как зто видно непосредственно из уравнений (2), в силу положительности скорости звука с направление характеристики Со всегда разделяет направлсния характеристик Сь и С (соли все направления берутся в одну и ту жс сторону: г)! > 0 или г)( < О).
Лемма о плотности. Для лальнсйшего анализа полезна следующая лемма (которая на самом дслс верна для произвольных, а нс только для одномерных непрерывных движении газа). Лемма!. Если движение сладкие и если р = 0 в некоторой точке М (в которой г ф 0 лри и > О), то р = 0 вдоль всей характеристики Со(М) (траектории), нроходязией через точку ЛЕ Дгзкнзл гельстно.
Уравнение неразрывности (1) с использованием оператора Ро псрсписывается в виде обыкновенного дифференциального уравнения для величины р вдоль Со. Рор = — (и~ Ф -„и) р. Так как коэффициент при р в правой части этого линейного однородного уравнения непрерывен, то из р(Л!) = 0 следует р(Со(М)) = 0 в силу единственности решения. В нормальном газе аналогичное свойство справедливо для скорости звука с и для давления р. Из него вытекает также, что сели какая-либо из величин р, с, р отлична от нуля в точке М, то все они будут отличны от нуля вдоль всей линии Со(Л().
Если назвать точкой вакууми такую точку, в которой р = с = р = О, то на основании предыдущего можно сделать вывод: линией вакуума может быть только характеристика Со (траектория). Кроме того, из уравнений (2) следует, что вдоль линии вакуума характеристика Со сливается с характеристиками Сь. Поэтому никакая звуковая характеристика С+ или С, сама ис являющаяся линией вакуума, нс может пройти через точку вакуума. Теорема единственности. Пусть гладкое движение определено в полуполосе П = (О < ! < Т, г > О), и пусть точка Л( б П нс сеть точка вакуума и выбрана так, что всс проходящис через М характеристики достигают оси Е = О.
Тогда образуется (криволинейный) характеристический 136 Глквя 01. 0)!нома ныл икусткиовившиеся лвижяния треугольник АМВ (рис. 1) с оснавшшеи А В. При и > О предполагается, что замкнутый треугольник АМВ лежит в области г > О. Утвержлается, что в треугольникс АМВ нет точек вакуума. Действительно, в прозивном случае в исм содержалась бы 7 некоторая линия вакуума Со, которая непре- И менно пересекла бы одну из боковых сто- С„, С рон АМ или ВМ.
Это означало бы, что эта боковая сторона — звуковая характсристи- 0 А М В г ка — достигает точки вакуума. По предыдушему она должна совладать с Со, а тогда Рнс. 1 лсжашая на ней точка М была бы точкой вакуума, в противоречии с прсдположением. Пусть С) = (и, р. р) есть то решение системы (1), для которого построен характеристический треугольник АМВ. Справедлива следуюшая теорема единственности решения (г. Теорема 1. Если решение () непрерывно дифферекцирзема и есзи другое, непрерывно дифференцируемае в характеристическом треугольнике АМВ решение (г" савпидиет с () ни основании АВ, та (г" = (Г во всем треугольнике АМВ.
ДОкАзАтвлъстВО. Систему уравнений (1) можно заменить равносильной сй симметрической системой, аналогичной (3.16): ри, ь рии, + р, = О, Ьрз 1- Ьир„-'- и„= — — и ( Ь = — ~, и / 1 г (ч роз / ' (5) В~+ иВ, = О. В равносильной (5) матричной записи (здесь (Г = (и, р, В)) А'(О + А" ()„= Аоб' матрицы А' и А" симметричны. Так как в замкнутом треугольнике АМВ, в силу сделанных предположений, справедливы равномерные оценки снизу вида р>ро>0, Ь>Ьо>0, г>го>0 с некоторыми постоянными ро, Ьо и го, то матрица А' положитсльио опре- делена, а матрица Ао непрерывна.
С учетом этих замечаний доказательство проводится по схеме доказательства теорем 7.2, 7.3 (правая часть в (б) су- шесгвенного влияния не оказываст). Л 15. Плоские, цилиндгичгские и соггические волны 137 Как и в б 7, важным следствием теоремы единственности является существование областсб опредсзепяости, зависимости и влияния. Характерные примеры таких областей показаны на рис.