Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Центрнрованные простые волны. Выделястся важный специальный тип простых волн. Опрелеленне 2, Простая г-волна (или 1-волна) называется иентрированной в точке (хо.ео), сели все ее прямолинейные характеристики С (соответственно С+) пересекаются в точке (хо, 1о), В 16. ИззнтРОПИЧЕСКИГ ЛВИЖалия Г !ПОГкнми ВОЛНАМИ 1ЗЗ Пусть простая т-волна центрирована в точке (хо,!о). Тогда в ее уравнении (1б),переписанном в виде х — то — (и — с)(! — 1с) = г (и), (18) коэффициент и — с и правая часть постоянны вдоль любого принадлежащего г-волне луча с уравнением х — хо = й(! — 1с).
Но если вдоль этого луча (х,1) — (хо.1о), то левая часть в (18) стремится к нулю. Следовательно, на каждом таком луче г(и) = О, т.с. функция Р равна нулю тождественно. Аналогичный вывод справедлив и для 1-волны, цснтрированной в точке (хо,ео). Таким образом, из уравнений (16) н (!7) получаются следуюшие уравнения центрированных простых, волн (для простоты записи в качестве центра взята точка (хо,(о) = (О, 0)). Уравнения центрнровапной г-волньп г = и+а(с) г— е со — сопвц и — с = — ', т (10) Уравнения центрированной бволны: 1 =. и — а(с) = 1с = сопвц и+ с = —. 1' (20) с=,'+'1(го - —,) и= г -Ь 7+1"' Ь 7-~1!' (21) и для центрированной 1-волны + ( — — !о).
+ 2 х 7+1 7+1! (22) Очевидно, что величины и и с, определенные уравнениями (19) (или уравнениями (20)) как функции переменных (х, !), зависят только от отношения Л = х(1. Это означает, что каждая центрированная простая волна описывается ива!ил!аделины и реилелиси уравнсний (1). Из опрслслсния простых волн (см. З' 13) следует, что, и обратно, любое автомодельнос решение системы уравнений одномерного движения с плоскими волнами с автомодельной независимой переменной Л = х/г„должно быть простой волной. Используя уравнения (! 3), легко показать, что любое их автомодсльное рсшспис этого типа является либо постоянным, либо дастся формулами (19) или (20).
Следовательно, совокупность всех автомодсльных решений упомянутых уравнений (в частности. уравнений (1)) с параметром автомодсльности Л = х(! описывается соотношениями (19) и (20), В случае политропного газа с помошью выражений (9) решение находится в явном виде, а именно для цснтрированной г-волны 154 Г.млл 1О.
ОднОМВРИЫК НЛУСТАН(Л1ИВП1ИЕСЯ Движяиня Простые волны, центрированные в произвольной точке (хо 1о), описываются теми жс формулами (21) и (22) с заменой дроби х/1 дробью (х — хо)/(1 1о) Цеитрированные простые волны дают пример решений с особенностью. Из формул (19), (20) видно, что в «центре» волны (точка (О, О)) основные величины разрывны, а область существования рс1пения есть некоторый сектор, це содержащий оси х. Пример следующей задачи поясняет, что центрированныс простые волны образуются тем не менее вполне естественно.
Задача об истечении газа в вакуум. Пусть левая часть цилиндрической трубы заполнена покоящимся газом, удерживаемым заслонкой в сечении х О, справа от которой находится ваку- ум (рис. 1). В момент времени 1 = 0 заРис. 1 слонка мгновенно убирается, и начинает- ся процесс истечения газа в вакуум. Требуется найти возникающее одномерное, с плоскими волнами движение газа, в частности, опредслить скорость истечения, если известна скорость звука со в покоящемся газе и его уравнение состояния (функция т(с)). Решение этой задачи основано на использовании предыдуших результатов. Для области х < О начальные данные при 1 = 0 к уравнениям (1) имеют вид и =.
О, с = го. В силу теоремы единственности 15.1 в области определенности решения этими начальными данными, ограниченной справа характеристикой С с уравнением х = — сог, газ покоится и с = св при всех 1 > О. Непостоянное движение, примыкающее к этой области покоя влоль указанной характеристики С, должно быль простой волной, а именно г-волной (теорема 2). Однако в области х > 0 при 1 = 0 находится вакуум и в ней с = О.
Поэтому никакая прямолинейная характеристика С, ис будучи линией вакуума, не может достичь полуоси (1 = О, х > О) и имеется единственная возможность: простая г-волна должна быть центрированной в точке (0,0). Поэтому решение должно даваться формуламн (19), в которых всличина го определяется условием на граничной характеристике С, где и = О, Отсюда получается значение го = и(со).
Следовательно, решение задачи дастся соотношениями и 1. о(с) = а(со), и — г = х/1. На границе истекающего газа с вакуумом должно быть с = О, и из первого соотношения находится скорость истечения и ь- п(со). й!6. Июнтгопичнскив движвния с плоскими волн«ми !55 В случае политропного газа гс =. — со и формулы (21) дают рввпение 2 в явном виде: 2 / хз 2 7 — 1х и (со+ — у!, с =- го —— э-ь1(, г,) у-ь1 у+11' (23) Картина течения на плоскости событий показана на рис.
2. В задаче об истечении газа в вакуум интересен и важен тот факт, что ничачьные значения раэрывны в точке х. = О, так как скорость звука с = =- со > 0 при х < 0 н с =. 0 при х > О. Таким образом, эта задача дает пример того, как из разрывных начальных данных прн ! = 0 может вырабатываться движение газа, нспрсрывное при 1 > О. Волны сжатия и разрежения. Процесс распространения простой волны по частицам газа приводит к тому, что плотность р в каждой частице увеличивается (возрастаст, растет) или уменьшается (убываст, х- — с„! падает).
Ясно, что направление из- П „. щ„й „ „, Вакуум менения плотности в частице со временем характеризуется знаком О производной Рор. Рис. 2 Определение 3. Простая волна называется волной сжатия (соответственно волной разрежения), если плотность р в частице с течением времени возрастает, т. е. Рдр > 0 (соответственно убывает, т. е.
Рор < 0). Оказывается, что простыс волны сжатия и разрежения можно различать с помощью их наглядного изображения в виде картины соотвстствуюших прямолинейных характеристик на плоскости событий Лэ(х, !). Так как наклон этих прямых при переходе от одной из них к другой изменяется, то всс семейство прямых образует как бы «воср».
При этом «ручка веера», т. е. та его часть, где прямые характеристики расположены теснее, ближе друг к другу, может быть как сверху, со стороны больших значений времени, так и снизу, со стороны мсньших значений времени. В общем случас простая волна может состоять из различных участков, как с «ручкой веера» сверху, так и с «ручкой веера» снизу. Ясно, что расположение «ручкн веера» может В частности, скорость истечения политропного газа в вакуум оказывается равной ип~ =- со.
2 (24) у — 1 Гллвл!П. Олиомррпые ньу('глновив(пнл('я лвижрния (56 быть однозначно описана направлением изменения, с ростом координаты т., величины углового коэффициента (25) й=ий с (7)( пз + 2 — = — — зрор. дя 2р (26) Так как в нормальном газе всегда гп > О, то из этой формулы, с учетом предьщущих замечаний, следуют всс утверждения теоремы. Для вывода формулы (26) в случае простой г-волны, когда прямолинейны характеристики семейства С с угловым коэффициентом к =. и — с, используется уравнение (!6), из которого следует равенство ри, + ср, = О.
Далее, так как в силу определения (2.22) величины гп 2сс, = (с ) = Цр) = ЭррР, = (гпг '(Р)(Р„ то с помощью предыдущего равенства находится т г =- — и. 'х = 2 'л ' Это дает выражение для производной ((, = и, — р: 2Ц =: (гл -!- 2)и . (27) С другой стороны, непосредствснно из уравнения неразрывности (1) следу- ет равенство Пор= ри .
(28) Исключение всличины и, из соотношений (27) н (28) и дает формулу (26) для простых г-волн. В случае простой (-волны тс же выкладки опять дают выражение (27) для величины )г, = и, ж с, откуда снова вытекает формула (26). наклона соответствующего семейства прямолинейных характеристик к оси Г. Именно, очевидно, что если й, > О, то «ручка веера» находится снизу, а сели Й, < О, то сверху.
Теорема 3. Орастая волна является волной сжатия Гсаатвен(сталино волной разрежения), если и талька если «ручка веера» ее нрлио.(инейных характеристик находится сверху (соответственно снизу). Доклзлтлльстио. Для производной от углового коэффициента наклона (25) прямолинейных характеристик простой волны, с величиной т из(2.22), справедлива формула 116. изэнтеоинчлскня движьпия с плоскими волнлмн 157 Иллюстрация к теореме 3 дана на рис.
3. В частности, построенное выше решение задачи об истечении газа в вакуум, согласно рис. 2, есть волна разрежения. О 1 — волна сжатия 1 — волна разрежения Рис. 3 Гралиентная катастрофа. В простых волнах сжатия непрерывное движение газа, возникаюшес из сколь угодно гяадких начальных данных (скажем, заданных при 1 = О), нс можст существовать как угодно долго (прн всех 1 > О). Действительно, при «ручке веера» сверху сближающиеся с ростом 1 прямолинейные характеристики должны пересечься при конечном значении б Тогда предположение о непрерывной диффсрснцирусмости н даже вообщс о непрерывности решения в окрестности точки пересечения приходит в противоречнс с теоремой сдинственности решения обыкновенных дифференциальных уравнсний характеристик.
Из соотношений типа (27) видно, что при сближении характеристик (когда необходимо ~й ~ — » оо) происходит неограниченный росе градиеитов основных величин — абсолютных значений производных и„р„и т.д., которые в точке пересечения характеристик обращаются в бесконечность. Сугцествованис таких рсшений типично вообще лля нелинейных гиперболических уравнений. Явление неограниченного роста гралиентов основных величин называется градиеиганой кааастрофой. Разумеется, градиентная казастрофа может произойти не только в простой волне, но и в гладком движении общего характера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
