Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 31
Текст из файла (страница 31)
164 ГР3АВХ 11!. ОднОМЕРНые неусзхноВНВ!ИЛВГЯ ЛВИЖГЗ!НЯ и так как эта хараксеристика принадлежит волне разрежения («ручка веера» снизу), то скорость звука с, а потому и инвариант г убывают при переме- щении от Л.Е к Р. Аналогично, вдоль ЛЕЯ г = гс, 1 = го — 2сг(с), и по тем же соображениям при псрсмсшенин от ЛЕ к СЕ инвариант 1 возрастаст. Кроме того, г — — сола! вдоль РРс, так как зто — характеристика СР, и1 =- сопя! вдоль ь)Рс, так как зто — характеристика С . Следовательно, образ области РЛП)ЕЕ на плоскости Есз(г,1) есть прямоугольник, гюказанный на рис. 5.
Граничные условия для функции 1 = 1(г.1) опредслены на характеристиках ЛХР и ЛЛЕ), вдоль которых искоьюе рещенис примыкает к извсстному. Н точках пересечения линии ЛЛР с характеристиками С+ простой 1-волны х = тс+(В-Рс)1. 21с =. — 1 —, !п(н д 01 н с начальным условнаая ! = 1о прн г = гс интегрируется явно: Еч 'ь( 1(г: Ес) = Ео ~— Ес(с Ео) (53) где Ео = 1(го, Ео) есть значение 1 в точке ЛЕ. Аналогично, вдоль Л1(З х = хз -1 (и - г)! и хс = (и Р с)11, так что после дифференцирования по 1 (и+ с)11 = (сс — с)ас '-1(и с)с, и в результате упрощения с использованисм (51) получается уравнение 21, == -1 —.
(п Л, д д1 Дифферсицирование этого уравнения вдоль ЛЛ' по переменному г с учетом того, что ЛЕР есть характеристика С и вдоль нес х,, == (и — с)а„дает уравнение (и — с)1, = (и -1 с)Е„.Р 1(и + с)„, которос в силу (51) упрощается до следующего: 4 1б. изэпзтопичегкин движения О плОскими Волилми 155 которое с начальным условием 1 = Го при 1 = 1о тоже интегрируется яв- но: 11(го — 1о) 1(го,1) = 10 н(го — 1) (54) Метод Римана.
Итак, требуется найти решение уравнения (52) в прямоугольнике РИЯД, сели значения рсшения заданы на лвух его сторонах — характеристиках этого уравнения: значсния (53) иа характсристике МР и значения (54) на характеристике МС2. Следовательно, задача свелась к задаче Гурса для линейного уравнения (52). Решение этой краевой задачи следует из общей теории линейных уравнсннй второго порядка гиперболического типа и может быть получено, наприыср, методом Римана, ссли для уравнения (52) известна функция Римана. Оказывается, что в данном случае решение задачи (53), (54) просто совпадает с функцией Римана уравнения (52) с точностью до постоянного множителя, Действительно, функция Римана И'(г,1; го, 1о) должна быть, как функция переменных (г, 1), рсшснисм того жс уравнения (52) в силу его самосопряженностн и должна удовлетворять следующим краевым условиям: на характеристике г =- го — условию 26И'~ -ь 6~ И' =- О и на характеристике 1 = 1о — условию 2ЛИ'„+ 5,Иг =: О.
Л(го — 1о) И'(го 1' го; 1о) = 1Ф'о — 1) н(го — 1о) И'(г 1о, 'го;1о) =: )ф--1в) ' (55) которые совпадают, с точностью до множителя 1о, соответственно с (54), (53). Поэтому в силу единственности рсшсния задачи Гурса функция 1(г,1) = гоИ' (г,1 го,(о) (56) даст решенис поставленной задачи о взаимодействии центрированных волн. Эти условия легко интегрируются и, если ешс принять во внимание условие норнировки И'(го 1о; го.
1о) = 1, то дают значения 166 ГЛАВА !!!. ОЛ!1ОМРРП! 10 НВУС1АНОВИВШИЯСЯ ДВИЖЕНИЯ Конечно, функцию Римана еше надо построить. Для этого существуют различные методы, изложение н прнмснение которых выходит за рамки данных лекций. Полезно отметить лишь то, что в случае политропного газа, когда основное уравнение имеет вид (50), функцию Римана можно найти в явной аналитической форме; И ( 1 1 ("Π— О) ' Г д В ('0 — "И' — О) (57) (1' — 10)В(го — 1)Д ! (г — 10)(го — 1) / где Г(11, !3; 1; у) есть гипергеомемрическая функция Гаусса, представимая в виде сходящегося ряда. Если использовать формулу преобразования Г(Я, 8; 1: у) = (1 — у) ВГ '( !У, 1 — Д; 1; — ), у у -1) то можно усмотреть, что при целых положительных значениях числа,9 этот ряд представляет элементарную функцию, С учетом выражения (49) для !У отсюда следуют значсния показателя адиабаты — (к = 1, 2,...), 210+ 1 2(г — 1 (58) для которых функция Римана, а потому и решение задачи о взаимодействии выражаются через элементарные функции.
9 1'7. Распад произвольного разрыва Возникновение градиентной катастрофы в неравномерных движениях газа является скорее правилом„чем исключением. Как было выяснено в предыдущем параграфе, для ее предотвращения должны выполняться специальные ограничения, связанные со знаками градиентов инвариантов Римана. Так или иначе, в момент наступления градиентной ка~астрофы основные величины становятся разрывными и при дальнейшем продолжении движения оно будет, вообще говоря, содержать сильные разрывы.
Тем самым возникает необходимость изучить и описать обобщенные движения газа (см. определение 4. !), опредсляемые разрывными начальными данными. В ес полном обьеме эта большая задача газовой динамики на рсшсна до настоящего времени даже для одномерных движснии с плоскими волнами.
Простейшая из такого сорта задач — ко~да в начальных данных имеется всего одна точка разрыва первого рода основных величин, которые по обе стороны от точки разрыва постоянны, различны и не связаны априори 5 17, Рлгпхл пгоизвольного гхзгывь 167 никакими соотношениями. В связи с тем, что сложное движение, возникающее из таких начальных данных, содержит несколько распространяю- шихся в разные стороны сильных и слабых разрывов, эта задача получила название задача о распаде произегьзьпого разрыва Следует отметить, что эта простейшая задача интересна не только сама по себе. На самом деле, исторически (ссылки можно найти, например, в (б)) она послужила тем элементом, на основе которого были созданы высокоэффективные методы численного расчета произвольных одномерных движений газа и развиты качественные математические методы доказательства теорем существования и единственности более широких классов обобщенных решений.
Ниже дается полное решение этой задачи для одномерных движений с плоскими волнами, Постановка задачи. Для уравнений одномерного движения газа е плоскими волнами задаются при 1 = 0 начальные данные вида и(х,О) = из, р(х,О) = рз, р(х,О) = р~ (т < О); и(х,О) = из, р(х,О) = рз, р(т,,О) = рз (т, > 0), (1) где из, рз, ры из, рз, рз — заданные постоянные. При этом допускается, что газ в состоянии «1» (х < 0) и газ в состоянии «2» (х > 0) имеют различную физическую природу, т.
е. разные уравнения состояния. Предполагается, что оба газа являются нормальными (определение 22). Требуется найти решение (вообще говоря, обобщенное) при 1 > О. задача (1), очевидно, коническн автомодельна (см. з 13). поэтому ее можно решать в классе автомодельпых решений (см. з 13 и б 20), имеющих представление и = и(Л), р = р(Л), р = р(Л); Л = х/з. (2) Согласно (2) распределения основных величин по пространству (по координате х) в любой момент времени 1 > 0 получаются из одного такого распределения при г = 1 простым изменением масштаба по осн х (растяжением координаты т). Так как в решении вида (2) основные величины постоянны вдоль каждого луча Л = сопяц то его изображение на плоскости событий )1з(х.,е) должно состоять из секторов с вершиной в начале координат, определяемых неравенствами вида Л' < Л < Л", внутри которых движение гладкое, а границы представляют собой линии сильного или слабого разрыва.
При этом, если гладкое движение в некотором секторе нс постоянно, то оно должно быть простой волной, линиями уровня которой являются лучи х = Лг. Слсдовательно, тамзй сектор с необходимостью образован центрированной (в точке (О. 0)) простой волной разрежения. Один из возможных типов решения показан на рис. 1. 168 Гллвл Ш. Одномемп,п: цгкстлповившиеся движения Г) ьеРнр, х "» Р~ )Ь Рис. 1 Направление обращении волн. В связи с тсм что решение может включать простые н ударныс волны, бегущие в разных направлениях, для дальнейшего анализа целесообразно фиксировать некоторые конкретныс правила и термины, учитывающнс специфику одномерного движения.
Прежде всего, ось т, считается расположенной горизонтально и направленной слева направо. Нормаль к фронту ударной волны (в пространстве )тз— к плоскости, псрпсндикулярной оси я) выбирается раз навсегда направленной в положительном направлснни оси х. Поэтому в уравнениях ударного перехода всегда будет и„ = и и 0„ = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
