Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Каэффичиеиги уставная характеризует отношение избыточного давления дгрз = рз — рм получаемого после отражения, к избыточному давлению Ьрз = рз — р~ в падающей ударной волне; 1 = 3рз/дрз. (13) Если падающая волна слабая, т.е. в ней относительное изменение давления а = Ьрз(р~ мало, то для отыскания величины (13) можно воспользоваться акустическим приближением (см. з 17). В этом приближении криволинейный треугольник 1-2 — 3 на (и, р)-диаграмме рис. 7 аппроксимируется равнобедренным прямолинейным треугольником (с равными сторонами 1 2 и 2 — 3).
Это означает, что рз — рз = рз — р~ и формула (13) даст значение А = 2. Следовательно, при отражении слабой ударной волны избыточное давление удваиваопся. Оказывается, что сели падающая волна очень сильная, т, с. а -"- дгрз~р~ велико, то коэффициент усилсния (!3) может быть значительно больше При этом величина р~ удовлетворяет уравнению (11) автоматически, причсм р~ ( рз, так как состояние 1 находится перед падающей ударной волной, которая, по предположению, рассчитана по состоянию ! и ее скорости 77.
Поэтому уравнение (11) служит для определения давления рз > рз. После того как рз найдено, остальные величины определи- ются обычным путем. В частности, для скорости 77о отраженной ударной волны с помощью уравнения сохрансния массы (17.12) выводится формула 1 18. Свмь задач двух, Оценка легко выполняется для политропного газа, когда уравне- ние (11) в силу (17.!5) принимает вид (Рз — Рз) (7 + 1)Рз + ( / 1)Рз (7 -Ь 1)Р~ + (З вЂ” 1)Рз и после элементарного решения относительно Рз дает величину коэффици- ента усиления (37 — 1)а+ 47 / Ьрз й= ~а=- ( ! в 1)а+ 27 (х Р~ (14) Из (14) следует, что й = 2 при а = 0 и возрастает с ростом а.
При а - сс предельное значение й . коэффициента усиления есть (15) и = пз > О Р = Рз Р = Рз (т < 0)' и=О, Р=рз, р=рз (х>0), в которых состояние 3 может считаться известным (теорема 5.5) Как показывает (и, р)-диаграмма рис. 9, в результате распада этого разрыва в газ 2 всегда пойдет ударная волна, соответствующая переходу 2-4. Ес можно назвать презагыеллой, получаемой в результате преломления пришедшей на границу раздела падаюшей ударной волны, Остаюшийся позади Например, для воздуха Э = 1, 4 и формула (15) дает возрастание избыточного давления после отражения в !г = 8 раз.
Этим объясняется известное из практики большое разрушительное действие сильных ударных волн. Преломление ударной волны. В трубе, заполненной двумя покоящимися газами 1 (при х < О) и 2 (при х > 0) с данными значениями Р~ и Рз и с одинаковыми давлениями Р~ = рз, по газу 1 слева направо идет О з ударная волна с заданной постоянной скоростью ьз (рис.
8). В момент времени ! = 0 эта ударная волна достигает границы раздела сред в сечении к = О. Требуется дать описание и расчет последующего движения газа для ! > О. Ясно, что в момент времени ! = 0 в сечении т = 0 образуется произвольный разрыв, в силу чего задача сводится к задаче о распаде разрыва со следующими начальными данными: 184 Гэььвв 1И. Одномвяввтв нвтс гхновившикся движения прсломленной ударной волны контактный разрыв межлу данными газами всегда приходит в движение со скоростью иа.
Преломленная ударная волна будет сильнее илн слабее падаюшей в зависимости от того, какую ветвь (и,р)-диаграммы с центром (из рз) пересечет (и,р)-диаграмма ударных переходов с центром (О,Рг). В акустическом приближении, когда падаюгцая ударная волна слабая (отношение (рз — рг ) /рз), зти две О и, и, и, и, возможности различаются величиной нмпсданса (17.16) исходных состояРис. 9 ний газов. Если газ 2 является бо- лее жесекизс чем газ 1, т.е. импе- данс 6г > 6!, то на (и,р)-диаграмме линия перехода 2-4 пойдет выше линии 1 — 3. В этом случае после преломления ударная волна усиливается, скорость потока за ней уменьшается, а по левому состоянию газа 3 идет отраженная от границы раздела ударная волна. Если жс газ 2 более мягкий, чем газ 1, т.
е, импсданс 6г < 6м то после преломления ударная волна ослабевает, скорость потока за ней увеличиваегся, а по левому состоянию газа 3 распространяется простая г-волна разрежения. Конфигурации на плоскости событий для этих двух случаев аналогичны тем, которые изображены, соответственно, на рис. 17.6 и рис. 17яй Критерий для точного различения двух возможностей выводится на основании (и, р)-диаграммы рис.
9. Пусть известна скорость за падаюшей ударной волной. Тогда можно вычислить вспомогательную величину р, как больший корень уравнения (17) (р- — рг)(!гг — И'(р*: )хг: р )) =: — и равный давлению за фиктивной ударной волной, которая шла бы по состоянию 2 со скоростью из, за фронтом. Сравнение величины р с рз приводит к слсдуюгцим выводам. Неравенство р„> рз соответствуст случаю усиления ударной волны после преломления, когда назад по газу 3 идет отраженная от границы раздела ударная волна. Неравенство р.
с рз соответствует случаю ослабления ударной волны после преломления, когда назад по газу 3 идет волна разрежения. Взаимодействие ударных волн. 1!о трубе, заполненной покояшимся газом с параметрами рз, р! идет ударная волна с постоянной скоростью )эг. !85 1!!. Сгмь зхдлч Имеется вторая ударная волна, которая перемещается также с постоянной скоростью Пз (рис. 10). Требуется дать описание и расчет движения после момента встречи этих волн. Рис. !О Возможны два случая: а) ударные волны движутся навстречу друг другу и, значит, обе идут по состоянию 1, и б) ударные волны движутся в одну и ту з!се сторону, например слева направо, и значит, ударная волна Рз идет по состоянию 2 за ударной волной х)з. В обоих случаях встреча этих двух волн неизбежна, что в случае б) следует из теоремы Цемплена 5.4, в силу которой в области 2 справедливы неравенства Пз > иг -ь сг > ()э.
Ясно, что в момент встречи (скажем, в точке х = 0 при ( = 0) в распределении основных величин образуется произвольный разрыв с известными параметрами при х < О н при з > О. Дальнейшее движение для ! > 0 буде~ распадом этого разрыва, который определяется (и, р)-диаграммамн, показанными на рис, 11 сплошными линиями для случаев а) н б). б) а) Рис. ! ! В действительности может оказаться, что положение точки 4 на (и, р)-диаграмме будет другим, например положением 4' (пунктирная линия 186 ГДАЛА НЕ ОлнОУН Рнык НЕУС!АНОВРННИИЕся ДВИЖЕНИЯ на рнс.
11, а). Здесь также можно дать критерий различения разных возможностей (которых на самом лслс больше, чем показано на рис. 11), опираясь на тот же принпнп, с помощью которого бьш получен критерий (17) в задаче о преломлении ударной волны. Если положение точки 4 на (и, Р)-диаграмме опрслслено, то дальнейший расчет процесса взаимодействия выполняется по стандартной методике расчста распада произвольного разрыва (см. е 17).
При решении задачи в акустическом лрибгижвиии дяя слабых ударных волн 1)г и Оз адиабата Гюгонио заменяется касательной к ней в точке (рырг): Р— Рг = с,(Р— Р1). (18) Уравнения ударного перехода 1-2 в этом случае сведутся к следующим: Рг — Ргсгиг = Ры Рг(Ггг — нг) = РгГЗг, рг — рг = с,(Р Рг). ,г (19) которые элементарно решаются, определяя состояние 2: иг = )3г — гы Рг = Рг + Ргсг()3г — сг). Рг = рг)3г/сы (20) В случае а) уравнения ударного перехода 1 — 3 имеют аналогичный вид и определяют состояние 3 (здесь )гз < О): из = 1)з+ сы рз = Р, — р|сг()3з+ сг), Рз = — ргРз/сы (21) Теперь для решения задачи о распаде разрыва между состояниями (20) и (21) необходимо найти состояние 4 путем совместного решения уравне- ний (и, р)-диаграмм переходов 2-4 и 3-4, которые, соответственно, таковы (здесь предполагается, что измснениями импеданса можно пренебречь): Р4 + рг сгн4 = рг т р1сгиз, Р4 — Ргггн4 = Рз — Рзггпз.
(22) Н4 = Рг + 0з, Р4 = Р1 + Рггч(ВЯ вЂ” )3з — 2сг), Р1 — — р~ ()гг — 17з — сг )/сы (28) Итак, в случае лобового столкновения двух слабых ударных волн, в ре- зультате их взаимодействия, в обе стороны пойдут ударные волны, между которыми образуется область постоянного движения с параметрами (23). В результате решения этой системы, в силу формул (20), (21) и (18), опре- деляется состояние 4; 187 Тем же способом исследуется в акустическом приближении случай б), когда одна волна догоняет другую. Оказывается, что если изменением импе- данса пренебречь, то в этом случае после взаимодействия остается просто одна ударная волна, которая идет по газу 1 со скоростью 23з.
Другими словами, догоняющая ударная волна как бы поглощает ударную волну, идущую впереди нее в том жс направлении. Взаимодействие ударной и простой волн. По трубе, заполненной покоящимся газом с параметрами ры р~ слева направо идет ударная волна с постоянной скоростью 2). Навстречу сй распространяется простая г-волна конечной протяженности с заданным распределением параметров (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
