Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 38
Текст из файла (страница 38)
12!. ЗАЛАчи О пОРИВ!Р и О сильпОЫ ВЭРыВК 205 Общие соображения и подходы к изучению одномерных автомодельных движений газа развиты в монографии Л. И. Седова 17), где приведен также подробный анализ и дано рсшенис многих конкретных задач. Две из них рассматриваются более подробно в слсдующем параграфе. й 21. Задачи о поршне и о сильном взрыве Задача о поршне, уже рассмотренная в 118 для одномсрных движений с плоскими волнами, представляет интерес и для движсний с цилиндрической или сферической симметрией. В этих случаях сравнительно простое — автомодельнос — решение существует лишь тогда, когда поршень вдвигается в покоящийся газ, расширяясь из точки (начала координат) с постоянной скоростью; для других красных условий задача о поршне нсавтомодсльна.
Тем не менее исследование решения задачи о поршне полезно для понимания общей методики отыскания таких решений. Постановка задачи о поршне. В неподвижный политропный газ с показателем адиабаты О и с постоЯнными паРаметРами состолниЯ Ры Рь заполняющий все пространство п~, в момент времени 1 = 0 из точки г =- О начинает вдвигатьсЯ с заданной скоРостью 9о поРшень, фоРма котоРого соответствует цилиндрической или сферичсской симметрии. Впереди поршня возникает ударная волна, идущая по покоящемуся газу.
Трсбустся определить скорость перемещения ударной волны, а также движенис газа между ней и поршнем в предположении автомодельности; в частности, представляет интерес величина давления на поршень. Из результатов б20 следует, что автомодельность движения газа за ударной волной возможна только для показателей автомодельности О = 1 и 4 = О. В этом случае представление решения (20Л ) таково: 9 = -"и<Л). р =- Я~Л), р = — ", Р<Л); Л = -'. Здесь основнос дифференциальное уравнсиис (20.4) упрощается до следующего: ду у 2.~Š— (У вЂ” 1)(Зги — 2) (2) 011 У,л уг — (СУ вЂ” 1) 2 где . = Ь вЂ” 1)Ь вЂ” 1) + 2 и величина Я дастся формулой (20.9).
Если уравнение (2) имеет решение Я = Я(У), удовлетворяющее граничным условиям иа поршне и на удар- 206 ГЛАВА Ш. ОднОмеРные неустАИОВившиеся дВижения ной волне, то зависимость (Г(Л) находится квадратурой из уравнения (20.6), которое здесь упрощается и может быть записано в виде „~~ ((Г Цг (3) л д уе — ((г — 1) (г (Р(90) = 1 Так как точка (Л,(У) = (9О,1) не является особой для уравнения (3), то условием (4) его решение определено однозначно. Условие на ударной волне вытекает из (20.25). Пусть индекс «ф» отмечает значения величин на фронте (за волной).
Тогда с учетом того, что скорость перед фронтом (Г1 = 0 и а = 1 уравнения (20.25) упрощаются и равносильны следующим: гф = (1 — (Гф)(г1+ (Гф), 7 — 1 ,2ф = Е1 + (Гф(2 — ОГф), 2у где г'1 есть значение величины 2; перед фронтом. Эти уравнения легкО решаются относительно величин за фронтом и дают (гф = — (1 — ~А), 2 7+1 (б) При переменном г1 формулы (5) определяют на плоскости ггг(К х") ли- нию — геометрическое место всевозможных состояний за фронтом. Эта линия ударной волны после исключения из (5) параметра У1 дается явным уравнением уЯ = (1 — 11) 1+ — У т — 1 2 (6) Значение параметра Яы определяющего положение точки (5) на линии ударной волны (6), связано с постоянной (в силу (20.20)) скоростью )3ф перемещения ударной волны через соотношения (20,9).
Именно, так как закон Граничные условия на поршне и на ударной волне дают начальные ланные для решения уравнений (2) н (3). На поршне, закон движения которого есть г = дс1, известно значение Л = 9О и, согласно (20.19), должно выполняться условие з 2 !. ЗАДАЧИ О ПОРШНЕ И О СИЛЬНОМ ВЗРЫВЕ движения фронта есть г = Х)ЕЗ, то из (20.9) следует равенство тг, = с',(Ве, где с! есть скорость звука в покояшемся газе. Структура плоскости (ЬУ, Я).
Картина расположения особых линий уравнений (2) и (3) на плоскости )1з(Г Я) (нули числителя и знаменателя) и линии ударной волны (6) показана на рис. 1. Из нее следует, что в области полосы 0 < У < 1, лежащей выше линии ударной волны (6), производная пс/с(У в (2) непрерывна и всюду положительна. Поэтому каждая интегральная кривая уравнения (2), выходяшая в этой области из какой-либо точки Ф линии ударной волны, необходимо достигает линии поршня У = 1 в некоторой точке П.
Зта интегральная кривая и дает искомую зависимость г от У, в которой еше присутствует неопределенный параметр ЕЗ, т.е. на самом деле функцию Е = ЯЩ Е!). В частности, определяется значение величины Я = Я„на поршне. Рис. ! После этого зависимость (г(Л) находится квадратурой из уравнения (3) и оказывается однозначной, так как в рассматриваемой области всюду !(Л/НУ < О. Интеграл от (3), взятый по всему промежутку (УЕ, 1), позволяет учесть условие (4) и, в силу равенства Ле = 134, дает соотношение , )34 ) Зг(и,г,) — (и — Цз,((1 / р~7(и,7!) ((! 1)з (т ' У~ Зто соотношение, с учетом выражений (5) и (7), следует рассматривать как уравнение относительно оставшегося до сих пор неопределенным парамет- 208 ГЯАВА!11.
ОД!юмеРньш неУСГАнОВиВшиесЯ ДВижениЯ ра о!. Соотношение (8) можно также рассматривать как уравнение, неявно определяющее зависимость вида Мф = с(МВ) (9) между числом Ыаха поршня Мс = до~с! и числом Маха ударной волны Мф = )7ф !с!. Входящая сюда функция г определяется расчетом, включающим численное интегрирование уравнения (2) и выполнение квадратуры (8). Очевидно, что функция г' является стандартной, зависящей только от показателя адиабаты 7 и размерности пространства Р.
Выполненные расчеты (см. (7)) показывают, что при прочих равных условиях порожденная поршнем сферическая ударная волна перемещается медленнее, чем плоская. Давление на поршень. Для определения давления на поршень необходимо обратиться к уравнению (20.7), которое в данном случае после комбинирования с уравнением (3) принимает вид дифференциальной связи Л с (г: (10) Начальное условие к нему вытекает из первого условия (2024) на ударной волне, которое приводится к виду (11) !тф =- (1 — сГф)Р!.
Интегрирование уравнения (10) вдоль всей кривой ФП (см. рис. !) с учетом условия (11) приводит к формуле которая определяет значение плотности рп на поршне. Так как значение о„ величины л на поршне известно (оно уже получено при интегрировании уравнения (2)), то давление рп на поршне определяется вытекающей из соотношений (20.9) формулой 2 Рп = 0орпп и.
Учитывал, что "гр! = сз!р!, ее можно записать в безразмерной форме: Рп ЕРп р! = 7спМ —. ю й 2!. ЗАдАчи О повил!е и о сильном взгывв 209 ()чсвидно, что правая часть формулы (!3) зависит только от числа Маха поршня Мо. Расчет показывает (см. (7)), что, при прочих равных условиях, давление газа на сферический поршень меньше, чем на плоский. Следует заметить, что хотя наиболее интересными зиачсниями параметра (з здесь являются ц = 2 и )з = 3, приведенное решение задачи о поршне годится и для )з =- 1. Тогда получаются результаты, которые уже обсуждались в з! 8. Проверка этого факта предоставляется читателю.
Зидича о сильном взрьие представляет большой интерес не только в связи с практической возможностью оцснивать энергию взрыва, например при атомных взрывах в воздухе или в воде, но также ввиду достигаемого здесь изяшиого описания сложного неустаиовившсгося движения газа посредством относительно простых конечных формул. Постановка задачи о сильном взрыве. В покояшемся политропиом газе с показателем адиабаты 7 и паРаметРами состоЯним Ры Ры заполнЯюшем все пространство !1~, в момент времени 1 = 0 в точкс г = 0 мгновенно вылепилась большая (по сравнению с внутренней энергией газа) конечная энергии Ео (произошел взрыв). При 1 > 0 в газ распространяется ударная волна, вызываюшая одномерное движснис с плоскими, цилиндрическими или сферическими волнамн. Требуется найти закон перемешення ударной волны и движение газа за ее фронтом. На основании рассмотрений 9 20 легко устанавливается, что точное автомодельиое решение этой задачи не существует.
Действительно, так как фронт ударной волны должен быть поверхностью уровня Л = Лв, то выражснис для полной энсргии, заключснной в шаре радиуса гж = Л,р1, дается формулой (см. (20.12), (20.15): 1!з!(л з) з 1 ( 1 )Т(уз + 1 )э у+з (Л (14) / 1,2 ! — 1 о Если здесь показатель степени при ! отличен от нуля, то при( 0 для Е(1) в прсдслс получится либо значение нуль, либо бесконечность. Ясно, что это противорсчит постановке задачи, так как при ! 0 должна получиться конечная энергия Ео. Поэтому необходимо !5+ (и + 3)п — 2 = О. (15) С другой стороны, ударная волна идет по покояшемуся газу и потому показатели автомодельности должны бьжь и =- 1 и 18 = О. Однако при этих зиачсниях соотношснис (15) нс выполняется ни при каком и > О.
По этой причине автомодельное решение задачи о сильном взрыве возможно лишь в приближенной постановке, которая уже обсуждалась в 9 20. 210 Глава 1!1. Одиомьвныв нгя становившиеся движения Она годится как приближение для очень сильных ударных волн, что хорошо согласуется с предположением о большой величине выделенной энергии Ес.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
