Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Автомодвльныв движвния Наконец, функция Р находится из определения Я: (8) Полезно заметить еше, что для скорости звука из формулы с = эр1Р (газ политропный) в силу представления (1) и определения (8) получается выражение ( ~ ) Сз ~ Е (9) Линии уровня. Линии Л = сопя! называются линиялщ !ровня решения (1); на плоскости Кз(г,1) они имеют уравнение г = гх(1) = Лт . Картины расположения линий уровня для о > 0 показаны на рис.
!. Скорость движения точки вдоль линии уровня дается формулой г(гл гл — = Π—. о1 (1О) г О Рис. ! Поэтому из формул (1) и (9) следует вывод: линия уровня является траекторией частицы, если и только если на ней У = а; линия уровня есть Се(С )-характеристика, если и только если на ней У + С = о (У вЂ” С = о). Кроме того, в решениях с ударными волнами, движущимися по закону г = ге(1), участвует скорость волны Р, которую удобно здесь представить в виде Р =. ~ Ре(Х) тогда ударная волна является линией уровня, если и только сели Ре = а.
С помощью уравнений (4)-(9) могут быть рассмотрены задачи об автомодсльном разлете газа, о вытсснснии газа поршнем, о движении в результате сосредоточенного в точке г = 0 воздействия на газ путем приложения мгновенного импульса или путем мгновенного выделения энергии и т.
п. В таких задачах необходимо учитывать различные особенности исследуемого движения, связанные с заданием тех нли иных дополнительных условий. Такие условия следует интерпретировать, в первую очередь, 200 Глав» П!. Одномвгныв нвтстлновившнвся диижвния как дополнительныс к ключевому уравнению (4). Эти условия могут быть связаны с отысканием интегральных кривых, проходящих через его особые точки.
Так как характер и расположение особых точек уравнения (4) зависят от четырех параметров — показателей автомодельности а и»з, размерности пространства р и показателя адиабаты э, то в общем виде нарисовать поле интегральных кривых этого уравнения затруднительно. Это приходится делать в каждой конкретной задаче после того, как все или хотя бы некоторые из параметров фиксированы. При этом следует иметь в виду, что иногла показатели автомодельности удается определить только на основе очснь глубокого качсствснного анализа искомого решения.
В этом вопросе могут оказаться полезными выводимые нижс интегральные законы сохранения, которые для автомодельных решений принимают специальную форму. Интегральные законы сохранения. Рассматривая объем ы, ограниченный поверхностями то = сопя! и т = сопя! (при и > О надо взять в качестве ш соответствующий сектор слоя (та, г)), можно привести балансовые уравнения (1.4) для одномерных движений к следующим интегральным законам сохранения массы, импульса и энергии — рт Й+(рот ]„,=О; ГО Г г — / рст" г(т + ](р+ р0')т ];„= и ~ рт' ' г)т; ГО ГΠà à — -рс~+ р т" г(т+ с -ро~+ р т" =О., ГО где символ ] 11;„означает разность 1(т) — 1(то).
Здесь в законе сохранения энергии прйнято во внимание выражение (2.6) для внутренней энергии политропного газа. Для автомодельных движений (1) все выражения и интегралы (после замены перемснных т — Л = т! ) в (11) принимают вид произведения некоторой степени 1 на функцию от Л, например Г » !рот !" = !В " (Л"= ЙЦ», / рт гЬ' = !Леч" ~Л"Я НЛ ГО »О ГО »О !1 .д. Так как в (11) производные берутся при постоянном г, то для производных по Е от !™1(Л) = С 1(т1 ) справедливо выражение — 1 У(Л) = ! '(гп)'(Л) — аЛ2'(Л)) .
(12) 120. Автомодяльныв движы~ия 201 Применение формулы (12) в уравнениях (11) дает следующую систему интегральных законов сохранения для автомодельных движений (!): Закон сохранения массы (13) л. Закон сохранения импульса (3+ о(!о+ 1) — 1) ~Лил о(Л+ (Л"е'(Р+ ЯЕ!(с! — о))Я ло = (!л — 1) ~Л"Р о!Л. (14) ло Закон сохранения энергии л (!3+ со(!з + 2) — 2) Л"+' ~ — Лагг + Р о!Л+ 12 У вЂ” 1 ло л + Л"о ~ (У вЂ” о) -Я(1~ + Р + (!Р = О. (15) ло Л"Рт(У вЂ” о) = Ам; (16) при !3 ч- о(д + 2) = 2 из ( ! 5) получается интеграл энергии Л" ~~ (У вЂ” а) -ЯЕг~ + Р + (тР = Ан 1,2 у — 1 (17) Дифференцирование по Л соотношений (13)-(15) дает систему уравнений для У, г, р, эквивалентную (2).
Если параметры а, )3, д обращают в нуль какой-набудь из коэффициентов при интегралах, то соответствующий закон сохранения дает конечный первый интеграл системы уравнений (2). Например, при !3 + од = О из (13) получается интеграл массы 202 Гллвл 111.
Олномегные неуст«новившиеся движения Конечный интеграл импульса получается из (14) только при )г = 1 (плоские волны) и 17+ 2а = 1 Лг 1р + р(7((7 а)1 А (18) Здесь Ам. Ае. А1 — константы, равные значениям левых частей при Л = Ло. Свойства примыкания. При решении конкретных задач существенно знать, с какими другими решениями можно сопрягать автомодельное решение непрерывным образом или через сильный разрыв. В общей постановке зтот вопрос очень сложен и конструктивно не решается. Однако если ограничиться случаем примыкания двух автомодельных решений, то можно заметить следующее.
Во-первых, такое примыкание возможно, только если показатели автомодельности а и д лля обоих решений одни и тс же. Вовторых, во всех случаях сопряжения линия примыкания должна быть линией уровня Л = сопзе Действительно, в противном случае возникли бы два дополнительных тождественных соотношения между величинами (7, В, Р, не вытекающих из законов сохранения, а диктуемых только формой линии примыкания. Вообще говоря, такие соотношения несовместимы с системой уравнений (2) ввиду того, что ее общее решение зависит лишь от трех произвольных постоянных, подбором которых удовлетворить «лишнему» тождественному соотношению невозможно.
Далее, если примыкание осуществляется по линии уровня Л(Л = сопвг), то эта линия должна быть либо характеристикой (в случае нспрерывного примыкания), либо линией сильного разрыва (ударной волной). В первом случае на Л необходимо выполняется одно из соотношений (Г = а. (7+ С = а, (à — С = а, (19) в зависимости от того, является ли й траекторией или характеристикой семейства С+ или С . Во втором случас на Л выполнено соотношение для скорости перемещения ударной волны (20) Полезно заметить, что точки, в которых выполнено одно из соотношений (19), являются, вообще говоря, особыми для уравнений (2); зто видно непосредственно из уравнений (6) и (7), сели учесть соотношение (9). Простейший случай сопряжения разных решений — примыкание к постоянному решению. В силу предыдущего возникает вопрос, является ли автомодсльным постоянное решение (21) 1 20.
Автомодлльныв движения 203 с~ = ЧоЛ Л = ро Р = роЛ (22) должны удовлетворять системе (2). Простая проверка показывает, что (22) есть решение только в двух случаях: (а) 9о у: О, р = О и (о) оо = О, и произвольно. Итак, можно сформулировать следующий вывод. При скорости 9о ф 0 постоянное решение автомодельно только в одномерном движении с плоскими волнами; если же 9о = О, то постоянное решение всегда автомодсльно; во всех случаях показатели автомодельного постоянного решения имеют значения а = 1, )3 = О. Соотношения иа уларной волне. В случае политропного газа соотношения (4.12)-(4.14) могут быль записаны в виде (23) где (..
1 — символ скачка. В предположении, что показатели а и р' в форму- лах представления (1) и (20) по обе стороны ударной волны одни и те же, соотношения (23) могут быть псрсписаны в терминах величии (Г, Л, Р: (Л(и - )) = О, (Р+ Л(У вЂ” а)з1 = О, — — +-(П вЂ” а) ~ =О. 7 Р 1 з1 т — 1Л 2 ! (24) Введение величины Я согласно (9) дает возможность выделить йв систе- мы (24) два уравнения, связывающие только О' и Е: (25) Уравнения (25) удобны тем, что они позволяют интерпретировать ударный переход на той же плоскости Лз((Г, г ), где расположены интегральные кривые основного уравнения автомодельных решений (4). Из представления (1) видно, что решение (21) может быть автомодельным только при значениях параметров а = 1 и Д = 0 (при этом исключает- ся случай вакуума, когда ро = ро = 0).
Следовательно, здесь Л = г(1 и полученные из (1) выражения яр4 Гз!ьв«!!!. Одномв иыг. пкчстл!ювившисся лвижвния В важном частном случас, когда рассматриваются автомолельные удар!яме волны, идущие по нсполвижному газу с постоянными параметрами аостояния ккк = О, рк, рк, второе и третье соотношения (23) принимают вид (26) ( — ) (Рг + Йг((7г — ск) ) = р! + о р, ( — ) Как уже было отмечено выше, соотношениям (26) можно удовлетворить вдоль линии уровня г! = со!как, только если,3 = О и о = 1.
Случай сильной ударной волны. Здесь возможна приближенная постановка для очень сильлькх ударных волн, когда значснис давления перел волной рк много меньше давления за волной р . В предельном случае ркккрг — О это приводит к приближению, уравнения которого получаются из (26), если просто положить р! = О. Следует заметить, что, строго говоря, состояние политропного газа с р! = О и р! Р О достигается, только если в нем обрашается в нуль температура Т!. Хотя реально абсолютный нуль недостижим, как приближение такое прсдположснис является приемлемым.
В приближенной постановке, когда р! = О и р! ~ О, соотношения (26) могут быть удовлетворены при,3 = О и при произвольном а. Следовательно, для очень сильных автомодсльных ударных волн (с показателями автомодсльности Д = О и любым о), идущих по неподвижному газу с плотностью рк, приближенно справедливы следуюшис соотношения: Нг((7г — а) = — прк, т ккг 1 г 1 — + -(Уг — кк) = -о, З вЂ” 1йг 2 2 )эг+ Вг((7г — и) = ск Р!. Решение этих уравнений относительно величин с индексом «2» находится элементарно: 2ск кЗ 2(т 1) т + 1' ' (т + 1)г ' (27) 7+ 1 2гк' 77г „Рк )эг =- Рк. 7-1 ' 7+1 Третье из равенств (27) показывает, что в рассматриваемой постановке за ударной волной достигается предельное сжатие. Очевидно, что этот факт находится в полном соответствии с исходным предположением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
