Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Найти условна, при которых контактный разрыв исчезнет в результате взаимодействия. 13. Поршень, вдвигающийся с постоянной скоростью в покоящийся политропный газ, внезапно останавливается. Показать, что давление на поршне положительно (т. е, что газ нс отрывается от поршня). 14. Доказать, что в палитроппом газе после встречи ударных волн, идущих навстречу лруг другу, всегда образуются две ударные ванны. 15. Показать, что при столкновении одинаковых политропных газов с параметрами са, та, двигавшихся навстречу со скоростью да каждый, образуется область с температурой »'-,— 1 — (т — 1)н т= тон (»-Ь1)Н вЂ” (»-1)' где »+1 2 /+1 4 2 Н = 1+ — Ма ~ ) Мс+ Ма Ма = са,»аа. 4 ) 16. Построить графики распределения (функции от к) основных всдичин (и, р, р, а) для некоторою момента времени 1 ) О при распаде произвольного разрыва (1О конфигурапий). 1».
Вывести формулы лля решения задачи о распаде произвольного разрыва в акустическом приближении. 18. Проинтегрировать лиффсрснциальнос уравнение траекторий 4(т»'и» = и в центрироваипой простой волне при одномерном движении политропнаго газа с плоскими волнами. 19. При условиях прсдылущсй залачи проинтегрировать лиффсрснциальное уравнение характерна~их нспрямалинсйного семейства. 20. Показать, чга при определении рсзулыага преломления ударной волны на контакгном разрыве (см.6 13) в случае, когда по обе стороны разрыва находятся 216 Гллвл 1П. Одномигныа нггкс!японии!нинся движпния политропные газы с одинаковым показателем адиабаты, будет р.
> рз, если рз ) гзз и р. < рз, есяи рз < р,. 21. Вывести формулу лля отношения плотностей рз/р~ при отражении ударной волны от жесткой стенки в случае политропного газа (см. $ 18). Показать, что предельное значение этою отношения при рз/р~ ос таково: 22. Найти и проанализировать точное решение системы (20.2) при (3 = — 1, о = гг = 1. 23. Показать, что точное решение (20.18) совместимо с условиями на автомолельной ударной волне (20,24) в том смысле, что оио может описывать движение по обе стороны от разрыва. 24. Бесконечная труба с площадью сечения г' заполнена покоящимся политропиым гюом с извесгпыми параметрами и разделена па две части невесомым поршнем.
Найти силу, которую надо приложить к порпппо для того, чтобы мгновенно привести сто в движение с заданной скоростью бг. 25. Построить решение задачи о сильном сферическом взрыве в газе с показателем адиабаты 7 = 7. 26. Дать апю!из решения задачи о сильном взрыве лля одномерного движения с плоскими волнами. 27. Показать, что реп!ение задачи о порпше в случае одномерного движения с плоскими волнами, описанное в 6 21, совпадает с решением, полученным в 6 !8. ГЛАВА 1Ч Двумерные установившиеся течения Теория двумерных — плоскопараллельиых и осесимметричных —. установившихся течений составляет обширный и богатый конкретными фактами раздел газовой динамики.
Исторически эта теория выросла из потребностей аэродинамики самолета и снаряда. При этом ограничение двумерной моделью оправдано примерно тсми жс соображсниями, которые уже высказывались в начале главы РИ по поводу одномерных движений. Внешне модель двумерных установившихся течений имеет много обшего с моделью одномерных движений газа. Их роднит, например, наличие лишь двух независимых переменных и возможность наглядного изображения газодинамических ситуаций иа плоскости течения. Кроме того, сверхзвуковые установившиеся течения обладают определенным свойством эволюционности и для них плоскость течения (точнее, плоскость потенциала) может трактоваться как плоскость событий.
Для двумерных установившихся течений газ с уравнением состояния кс разделенной плостностью» (! 0.26), в час гности — для политропиого газа, справедливо преобразование Мунка-Прима (10.27). В этом случае можно ограничиться рассмотрением изэитропических течений. Радикальное отличие от модели одномерных движений состоит в том, что основныс дифференциальные уравнения уже не являются гиперболическими для всех возможных течений. Это влечет подразделсние установившихся течений на дозвуковые (эллиптичсский тип уравнений), сверхзвуковые (гиперболический тип) и трансзвуковые или околозвуковые (смешаниый тип).
Для каждого типа течения характерны свои постановки корректных краевых задач и свои методы исследования. До определенного предела теория развивается одинаково для плоскопараллельных н осесимметричных течений. Однако более богатая результатами (за счст болсс широкого группового свойства) теория плоскопараллсльных течений излагается в этой главе и более детально. Для нее развивается один из основных методов изучения и решения конкретных задач о безвихревых течениях — метод годографа. Разработанный еще в начале текущего 2!8 ГлАВА!У.
ДВУмегныа УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ столетия С. А. Чаплыгиным метод годографа и сегодня остается наиболее эффективным в этой области газовой динамики. Его ценность не только в том, что он позволяет получать аналитические решения ряда конкретных задач, но также в возможности выявления с его помощью качественных закономерностей течений. Одним из наиболее ярких достижений современной газовой динамики явилось познание закономерностей перехода через скорость звука. Трансзвуковая газодинамика дала толчок развитию новой области математической физики — теории уравнений смешанного типа.
Вместе с тем модели околозвуковых, а также гиперзвуковых течений особенно тесно примыкают к практическим задачам. Однако сегодня их разработку вряд ли можно считать законченной. Теоретическая газовая динамика еще далеко не разрешила всех своих проблем и нуждается в дальнейшем развитии. 922. Уравнения безвихревого течения Плоскопараллельные и оеееимметричные течения.
Изучаемые в этом параграфе плоскопараллельные и осесимметричные влечения газа обладают общими свойствами. Основными величинами здесь являются компоненты вектора скорости ц = (и,е), плотность р, давление р и энтропия о, причем последние связаны уравнением состояния р = )'!р, 5) н газ предполагается нормальным (см. Е 2). Основные величины рассматриваются как функции декартовых координат (х, у), При этом некоторого разьяснения требует изображение осесимметричных течений. Прежде всего, безоговорочно принимается, что ось симметрии совпадает с прямой у = О. Далее, физическая картина осесимметричного течения восстанавливается В трехмерном пространстве Нз путем вращения меридиональной полуплоскости у > О вокруг осн у = О. При повороте на угол 180' эта полуплоскость становится продолжением исходной, а любое изображение — зеркально симметричным исходному. Ясно, что этим же свойством обладает лреобразоеа- ННЕ СИАЬНЕтРНН р =-р, и'=и, о = — ю, (1) причем остальные основные величины сохраняются.
Следовательно, условие симметрии (!) является необходимым для правильного описания осесимметричных течений на всей плоскости В-(к, р). Во всех случаях плоскость )Г~(к, у) называется ляосклстлью л~ечения. Используется координатная форма записи различных соотношений, причсм частные производные обозначаются соответствующими индексами. 219 т 22, УРАВнения БВЗВихРеВОГО течения Исходные дифференциальные уравнения для основных величин следуют, например, из уравнений (12.17), (12.19): 1 ии + ии„+ -Рв 1 иив + ииа + ярк ирв + иру + р (ив + иа + ус) пав+ иск =О, =О, =О, =О, (3) и(х, 0) = О, (и = Ц.
Линии тока. Основным качественным элементом прн анализе и графическом наглядном представлении решений системы (2) являются лилии вака, которые для любых установившихся течений уже были введены определением 10.1. С учетом специфики двумерности течения они определяются здесь как интегральные кривые дифференциального уравнения (4) и(з, у) и(х, у) Это определение равносильно тому, что в каждой точке вектор скорости и = (и, и) направлен по касательной к линии тока, проходяшей через эту точку. В симметричной записи (4) нс предопределяется, какая из переменных, х нли у, является независимой, а какая — зависимой. Область течения, в которой вектор скорости удовлетворяет условию Лнпшица по обеим переменным и иа -.
'Рз ф О, однократно покрыта семейством линий тока. Их изображение иа плоскости )12(х, у) лает наглялное представление о течении газа, частицы которого как раз и движутся вдоль линии тока. где параметр и = 0 для плоскопараллельных течений и и = 1 для осесимметричных течений. Здесь первые два уравнения описывают закон сохранения импульса, третье есть уравнение неразрывности и последнее — одна из форм закона сохранения энергии (см. Е 3). Легко проверяется, по уравнения (2) допускают преобразование (1). Поэтому требование выполнения условия симметрии (1) означает, что в случае и = 1 рассматриваются только такие решения, которые инварианжны относительно этого преобразования. Следовательно, если область непрерывного осесимметричиого течения содержит ось у = 0 (или некоторый ее интервал), то необходимо должно выполняться условие 220 Глхвх 1Ч.
Двтмн ныв тс~хновиви1ився твчвния В дальнсйшсм анализе используюзся операторы дифференцирования вдоль линий тока Р~ и по нормали к линиям тока Р„: Р=и — +и —, Р.= — и — +« —. д д д д дх ду' " дх. ду' (5) Функция тока. С линиями тока тесно связан другой важный элемент описания течения — так называемая функция тока. Ее определение основано на том, что уравнение неразрывности (2) допускает равносильную запись в виде дифференциального закона сохранения: (у"Ри)* + (у'ро) = О Соотношение (6) показывает, что выражение — у'ри ах+ у'ри оу есть пол- ный дифференциал некоторой функции ф = ф(х, у), в силу чего сс частные производные даются формулами Фя= УРН фи=У Ри.
(7) Эта функция ф и называется функцией тока. аз Итак, для любого течения газа существует функция тока ф, которая определена уравнениями (7) с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Если и = 1 и в области непрерывного течения содержится интервал оси у =- О, то из (7) следует, что ф (х, О) = О. В этом случае прини! мается соглашение об однозначном определении функции тока дополнительным условием ф(х, О) = — О, Рис. 1 у'рп паГ = О, г Первое свойство функции тока состоит в том, что она постоянна вдоль каждой линии люка.
Это очевидно, так как непосредственно из определения (7) следует равенство Р~ф = О. Второе свойство функции тока связано с расходом газа между двумя линиями тока. Пусть линии тока .У~ и хз расположены в области непрерывного течения, и пусть Аз Аз и В~  — гладкие кривыс (сечения), ограничивающис вместе с .У, и хз область й С йз(х, у) (рис. 1).
Согласно интегральному закону сохранения массы (1А), записанному для плоскопараллельных или осесимметричпых движений, в установившемся течении выполняется 221 122. Углвнвния вшвихгввого за шння где и — внешняя нормаль к границе Г области П.
Здесь граница Г состоит из четырех кривых: сечений А~Аз и В1 Вз и отрезков линий тока А1В1 с .хз и А Вз с .хз. Очевидно, что в сиду определения линий тока и и = = О на А1В1 и АзВз. Пусть в — касательный вектор к А|Аз или В1Вз, указываюший направление персмешения от А, к Аз или от В~ к Вз. Удобно изменить направление орта нормали п, выбрав его так, чтобы оно после поворота на 90' против часовой стрелки совпадало с направлением в. При таком выборе нормали и равенство (9) принимает вид ()Фм.Уз) = / у рп пс(в= / у"рп пНв. (10) Л1Л2 н1 гм Величина сг(.Ум 'хз) называется расходом газа между линиями тока хз и хз.
Равенство (10) показывает, что это определение корректно, так как в силу (10) расход сг(.2'м.хз) нс зависит от выбора сечения. Ясно, что благодаря принятому соглашению о направлении нормали и из представления из Ыв = (Нх,ау) следует прелставление пг/з = (с(у, -Нх). Значит,п пг)з =- †одах -' ш(у и в силу определения (7) подынтегральное выражение в (!0) оказывается совпадающим с дифференциалом функции тока; у" ри .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
