Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 43
Текст из файла (страница 43)
це =-. -В,. (45) С помощью стандартных формул перемены ролей зависимых и незави- симых переменных (аналогичных (34)) из (45) окончательно получается искомая система уравнений на плоскости годографа: Мз 1 ц 'Ро = фо ~Ро = фо РЦ ' Р (46) Исключение из этих уравнений потенциала скоростей у дает одно незави- симое уравнение для функции тока ьс 1 — М дгц — Фов + —, ( -Ф = О. РЦ ' дц (,Р о/ (47) Уравнения (46) и (47) называются уривлениялш Чаплыгина.
В случае полнтропного газа, с использованием формул (44) и (4!), уравнение Чаплыгина (47) для функции тока приводится к следующему: (с„— ц )фвв+ с,— — ц )ц то -ь г,— — ц ци =О. (48) т+1,) " (, „+1 Особенно простую форму принимает уравнение (47) после введения вместо модуля скорости ц новой независимой переменной ~ = ~(ц), определенной формулой с , )~Рд,, о (49) Совместное рассмотрение этих соотношений показывает, что выражение в каждой квадратной скобке должно равняться нулю. Входящая сюда вели-, чина д(1/Рц) /г(ц вычисляется с помощью интеграла Бернулли (24) и оказы- вается такой (фактичсски она уже вычислена в (10.22)); 422.
Умвняния ьазвихгввого твчвння 233 где йо — некоторая положительная константа. С этой переменной уравнение Чаплыгина (47) дяя функции тока преобразуется в следующее: К(»)фгг+ ФСС = О. (50) Входящая сюда функция Чанльиина К определена формулой й(г 1г з оР (51) !!п1»(д) =+ос, !ии»(я) =»и, <О, я-о я и (52) то полная область годографа (О < д < у„,.
0 < д < 2к) отображается на полуполосу (»„, <» < ос, 0 < О < 2к). Обычно эту полуполосу продолжают, используя условие периодичности по О с периодом 2к, на всю полуплоскость» )» . При этом окружность критических скоростей 4 = с, переходит в ось» = О. Слсдовательно, на плоскости Л~(8, ») дозвуковым течениям соответствует полуплоскость» > О, а сверхзвуковым — полоса» <» < 0 (рис. 3). Рис, 3 Рис. 4 Поведение функции Чаплыгина К(») определяется тем, что ее производная всюду положительна, и дается формулой (величина т определена в (2.22)) К'(») = М"р з, (53) Плоскость независимых переменных Лз(д, ») называется модифицированной плоскостью годографа.
Так как в силу определения (49) величина» является монотонной функцией д, причем 234 ГЛАВА!У. ДВУМЕРНЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ а также предельными значениями К(0) = О, К(+ос) = (агоре) з, К(~~) = — сс, где ро — значение плотности в «точке торможения», т. е. при о = О. График функции Чаплыгина приведен на рис. 4. Можно показать, что в случае политропного газа К(Г) явяяется аналитической функцией во всем интервале ~ < Ч < ос. Вспомогательная константа йо использустся для той или иной лорнировкн. Обычно оиа выбирается так, чтобы было либо К(+со) = 1, либо К'(0) = 1.
Групповое свойство. Представляет интерес рассмотрение системы (23) с групповой точки зрения. При этом выявляется принципиальное различие в случаях и = 0 и и = 1. Так как при ы = 0 система (23) становится линейной в переменных годографа, то она допускает бесколечную группу преобразований, действие которой сводится к сложению и умножению на числа любых решений уравнения (40) или (47). Именно это свойство и делает метод годографа эффсктивным при исследовании плоскопараллельных течений. Кроме того, в случае и = 0 система (23) допускает однопараметрическую группу вращений (8.5.7'). Следствием этого является тот факт, что коэффициенты уравнений С, А. Чаплыгина (45)-(47) ие содержат угловой координаты О. В случае жс и = 1 система (23) не допускает ни бесконечной группы, ни группы вращений. Если эти группы преобразований во внимание не принимать, то при любом и остаются допускаемые системой (23) однопарамстрические группы лереносое по х (в случае и = О также и переносов по у) и раслиясений с одним параметром а (здесь штрихом обозначены координаты преобразованной точки) и =и.
1 и =и, ! (54) х =их. = йр, Эти группы можно использовать как для преобразований одних решений в другие (см, 28), так н для отыскания классов инвариантных решений (см. В !2) системы (23). Например, группа переносов по х пороясдаст (в случае и = 1) течение, аналогичное рассмотренному в В ! ! течению от источника. Поэтому нетривиальным может быть только решение, инвариантное относительно группы (54). В соответствии с определением !3.2 эта группа порождает коническое автомодсльное решение вида (32), которос является простой волной.
Тем самым при любом и у системы (23) существуют решения, которые будут называться автаиодеяьньсии лростььнн волналш. Эти решения и исследуются ниже. 6 22. Уахвнаиия авзвихгввого твчаиия 235 Подстановка выражений (32) в уравнения (23) дает систему обыкновенных дифференциальных уравнений, к решению которой сводится описание автомодельных простых волн: о +Ли'=О, (55) "(и — Ли)~ — (Л~ + 1)сз]и' = исти 18 В -ь 96В(69 1-18В 9(В((д' В результате подстановки этого выражения во второе уравнение (56) оно приводится к такому: 92 = сз(1 + (9й(Г~Щ)ъ), или, после разрешения относительно производной, к уравнению ,щ ~/М'-1 г(о Я (57) Для интеграла от правой части вводится стандартное обозначение (58) которое будет играть важную роль в з 24 прн анализе характеристик системы (23). С помошью функции (58) решение уравнения (57) с начальным условном В(с,) = Оо дается формулой 0 = ро х д(9).
(59) где штрихом обозначены производиыс по Л. Здесь необходимо рассмотреть отдельно случаи и = О и и = 1. Течение Прандтля-Мейера. Пусть г = О. Возможности, когда тождественно о' = О илн и' = О, следует исключить, так как они приводят к постоянному решению. Но при и' ~ О система (55) принимает вид Л = — Йи/Йи, (и — Ли)з = (Лз + 1)сз. (56) В силу неравенства Коши (и -Ло)з < (1+Лз)сз нз (56) следует, что течение является сверхзвуковым.
Кроме того, из (56) вытекает, что описание решения сводится к одному обыкновенному дифференциальному уравнению на плоскости годографа. Оказывается, что последнее сводится к квадратуре. Для вывода этого уравнения надо перейти к полярным координатам (39), в которых величина Л равна 236 РЭЕАВА!Ч. ДВУМЕРНЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ГБЧЫШЯ Тем самым на плоскости годографа получаются два семейства кривых (в зависимости от выбора знака в правой части), зависяших от параметра ОВ. Так как О есть полярный угол на плоскости годографа,то все кривыс, соответствуюшие фиксированному знаку в (59), получаются из одной (например г = Оо = 0) поворотом вокруг начала координат на угол ОВ.
Кроме гого, кривыс О =- е~р(9) получаются одна из другой зеркальным отражением относительно оси и =- О (заменой 0 на — О). Поэтому фактически есть Рис. 5 одна свРаРРдарлРРРая крРРвая, напри- мер 0 = — РР(9). На рис. 5 эта кривая показана жирной линией, а остальные кривыс семейства (59) — тонкими линиями, Введение угла Маха а ()!.22), с которым Ь/М вЂ” ! = ськ Рт позволяет упростить выражение для Л и привести его к виду Л = с!Я(0 + О), откуда следует более удобная запись уравнения прямых Л = сола!: у = — х гй(О + РР), (60) причем в (59) и (6()) берутся либо верхние, либо нижние знаки.
Так как угол Маха и зависит только от 9, то угол Р3 = О А- э есть угол наклона к оси х того луча Л вЂ” — согРВР, вдоль которого принимаются постоянныс значения величин д и О, т. с. вектора скорости ц =- (и, с). Тем самым формулами (59) и (60) искомос решение полностью определено. УказанньРс соотношения позволяют построить картину течения газа на плоскости 11з(х, у), показанную для стандартной кривой О = -РР(Р1) на рис. 6. Плоскопараллсльное тсчснне, описывасмос полученным рсшенисм,— автомодсльиой простой волной, называется течслиеи Прандлеяя- ЧеР)ера.
Одно нз полных течений Пранлтля — Мейера и дано на рис. 6. Все остальные течения этого типа получаются из него поворотом на произвольный угол вокруг начала координат (константа Оо в (59)) и переносом центра течения в любую точку плоскости 11~(х,у) (групповос свойство си- стемы (23) при и = 0), б 22.
УРАвнания ььзвнхгьвого ! Гчвныя 237 'Здмгчлпиа 2. когда с -. «,„, том О и интсгРал(58) по илтсРвалУ (смл ) является несобственным. Вообще говоря, он можес быть и расходящимся. В случае позитронного газа интеграл (58) вы щсляется яало. Для эюго надо сделагь полсгаловку М = 1 + г и заметить, что г = О лри в =. с,. Этим путем получашся г г формула с ХГ М вЂ” 1 — = ~/ — агсти —,(Мг — 1) — агс18 Ьгы' — 1. (61) г ссс 7Ч ! 7 — ! г ! с. Следовательно, в поли грод нам газе кледстьный у:од О, ловороща лопюка в полном течении Праллтля-Мейера конечен и равен Π— — — — 1 (62) Обтекание выпуклого угла.
С помошью течения Прандтля — Мейера рспгается коничсски автомодельная (см. 813) задача обтекания заданного выггуклово унга. В этой задаче требуется найти свсрхзвуковос течение, л которос было бы непрерывно всюду в области над угловой стенкой АОВ 2 с заданным углом Оэ < О (рис. 7) и сх с удовлетворяло бы условию обтекания с:с. д этой стенки.
Скорость течения вверх по потоку вдали от угла задана и рав- д нагд >с,. Решение основано на том, что в течении Праидтля-Мейера вдоль каждого луча д = сонат вектор скорости постоянен и потому часть тсчсния, заключен- С, С ная в любом секторе д, < () <,Яг может бь!ть непрерывно продолжена постоянными течениями в обе стороны. Рнс.
6 Для фактического построения решения надо найги угол О! = — 0(рл), а затем вычислить величину с)г из уравнения 0~ + Оз = — гз(дз) н взять ту часть полного течения Прандтля-Мейера, показанного на рис. б, которая заключена между лучами ьт! = сн + О! и )Зз == аэ + О! + Оэ, где углы Маха известиьг я!наг = сзггс)ы впар = сг)г)з. Непрерывное продолжение этой части в обе стороны постоянным течением и даст искомос решение (см.
рис. 7). ГААВА 1зг. дВумеРные устАнОВиВшиеся твчьиил 238 Рис. 7 Течения Буземана. В случае и .= 1 необходим качественный анализ решений системы из двух уравнений (55). С введением вспомогательной величины Х она переписывается в виде с' = — Ли', Хц' = сзс, М = (и — Ло)з — (Лз + 1)сз. (63) Осесимметричные автомодельные простые волны, описываемые уравнениями (63), называются теченшти Бузечана. К системе (63) добавляются начальныс данные вида и(ЛВ) = ио, с(ЛВ) = ео.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
