Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Поэтому условис дозвукового обтекания М < 1 сеть дополнительное ограничение, накладываемое на исломос решение. Далее, сели на обтекаемом контуре Т есть три уг;ювые точки„представляющие собой вершины выпуклых углов, то нспрсрывпос решение задачи обтекания контура Т нс существует. Этот факт аналогичен известному в теории двумсрной задачи обтскання тела потенциальным потоком нсвязкой несжимаемой жидкости. Дело в том, что непрерывное решение в окрестности выпуклого угла обладает следующим свойством: вершина такого угла всегда является лизкой ризветвленкя проходя|пей через нее линии тока.
Однако наличие трех (или большего числа) ~очек разветвлсния невозможно согласовать одноврсмснно с условием непрерывности решения и условием на бесконечности. Основным являстся тот случай, когда на контуре Т находятся две точки ветвления, в которых раздслястся, а затем соединяется в одну линия тока, образующая Т. Поэтому общая качественная картина течения лолжна быть такой, как на рис. 7, где показаны линии тока и паправлснис лвижения частиц вдоль их.
Здесь В и С -- точки ветвления линии тока ЛВСР, часть которой образует контур Т. Циркуляция. Слсдуюшая особенность двумерной задачи обтекания состоит в том, что в случас гладкого контура Т се решенис заведомо нс единственно; вообще говоря, она имеет однопараметрическос семейство решений. Роль произвольного параметра играет циркуляция вектора скорости по любому простому замкнутому контуру Т', окружающему Т: (25) ГЛАВА 1ч, двммегные усичиввявввййдся твчвиня 254 Рис.
7 где контурный интеграл берется в направлении против часовой стрелки; очевидно, что его величина от выбора контура Т' не зависит. Эта неединственность решения, также хорошо известная в теории несжимаемой жидкости, вытекает из возможной неоднозначности потенциала скоростей в силу его особого поведения на бесконечности. Величина циркуляции Г связана с положением точек ветвления на Т, Априори можно задать положение только одной из них; тогда положение другой и циркуляция Г определяются однозначно. В частности, если иа Т есть одна угловая точка (типа точки С на рис.
7), то необходимо потребовать, чтобы оиа была точкой ветвления. Это условие, по аналогии с несжимаемой жидкостью, называется условием Жуковского. Оно определяет величину циркуляции Г однозначно. В осесимметричной задаче возможны два типа обтекаемых контуров, показанные на рис. 8. Первый из них является сечением одно- связного тела вращения (типа снаряда). Обтекание такого контура является бесцирхуляциоппым (Г = О), а точки ветвления линии тока всегда лежат на оси симметрии.
Второй тип представляет кольцевидное (торообразное) тело вращения, от которого на плоскости течения остается лишь его меридиональный профиль (с учетом отмеченной в 522 симметрии). В этом случае положение с циркуляцией и точками ветвления такое же, как и для плоскопараллельной задачи. К сожалению, по осесимметричной задаче обтекания пока еще нет таких результатов, которые можно было бы достаточно просто изложить в данном тексте. Поэтому нижеследующее относится только к плоскопараллельному обтеканию. Аналог теоремы ЖУкввского. Ввиду отмеченных выше особенностей решения задачи обтекания принципиальное значение имеет вопрос об асимптомическом поведении дозвукового течения иа бесконечности. Знание асимптотики позволяет также, как выяснится ниже, вычислить важ- $23.
Дозвуковые течения Рис, 8 ную для приложений величину силы, действующей на Т. Получение этой асимптотики — задача довольно трудная, решенная до конца сравнительно недавно, лишь в конце 50-х голов. Оказывается, что асимтпотическое поведение потенциала х н вектора скорости ц при т — со в системе координат, в которой направление оси х совпадает с направлением вектора ц„(т.е. когда ц, = (иее, 0)), описывается формулами д = и х + — вгссй(3с с8 Я + 0(т ~+'), (гб) йГ ( У х) „ „ ,+, 2я хз + язуз Здесь (т, )5) — полярные координаты, вводимые равенствами х = т соз |3, у = т зш К (27) à — циркуляция (25), а е ) 0 — любое сколь угодно малое число.
Символом (с обозначена величина (28) а символ 0(те) означает функцию, которая после деления на те остается ограниченной при т -~ оо. Явно выписанные слагаемые асимптотики (26) можно найти сравнительно просто формальным путем, если заметить, что при больших т уравнение для потенциала скоростей (22.28) (с и = 0) приближенно имеет вид с величиной и из (28) и после замены переменной х = кх' превращается в уравнение Палласа, для которого асимптотика решений известна.
Одна- 256 Главк! Ч. Двтмягные устлновившияся твчвния ко выражения (26) для порядков остаточного члена таким путем получить затруднительно. Вектор Х силы давления газа на контур Т определяется формулой Х= ~рпгЬ (29) с нормалью и, направленной внутрь Т. Замечательно, что для силы Х по- лучаются такие жс формулы, как и в случае обтекания несжимаемой жид- костью, а именно справедлив следующий аналог глеореиы Жуковского. Теорема 1.
Каилоленмы силы Х .= (Х, У) дакилсл формулами Х = О, )' = - р, и сГ. (30) Х = — /(рп+ рп(и п))Нв, где и — внешняя нормаль к окружности Тд,, причем в полярных координа- тах (27) справедлива формула п = (соз Р, зш Д). На основании асимптотичс- ского представления вскгора скорости (2б) с помощью интеграла Бернулли выводятся соответствующие представления давления и плотности: р=р ' р и — -~0(г ). кГ У .
-г 2Я кг.~ йгуг — О( ) гг 2Я кг: 1гуг (31) Отсюда следует представление подынтегрального выражения в полярных юзордннатах (27) на окружности Тл. рп+ри(и и) =((р, + р, и„,) соа,Э,Р, зшГ))+ й(М, аш)усов(1,1) +Р н Г г, г +0(В ) 2яЯ(соаг)З+ йг з1пг(7) Доклзлтнльство. Г!рименение интегрального закона сохранения потока импульса (1.4) к области ш, заключенной между контуром Т и окружностью Тл большого радиуса г = В, с учетом равенства и п = О на Т дает для интеграла (29) выражение й 23. ДОЗВУКОВЪ|В Зжчениэт 252 С учетом равенства вида 2~~ г(х, у)Йа = Л / Г(ГтсоаК Ва(пЯ<Ц3 тл о в результате элементарного вычисления интегралов от слагаемых предыдущего выражения и предельного перехода Я вЂ” ~ <ю получаются формулы (30).
Некоторые качественные результаты. Для любых дозвуковых безвихревых течений справедлив принцип максимума модуля скорости: максимальное значение величины о = (и, 'достигается только на границе области течения. Применительно к задаче обтекания контура Т это означает, что веднчина д принимает свое наибольшее значение си в некоторой точке Е б Т. Поэтому дозвуковой характер течения во всей области П гарантируется, если ск < с.. Теоркиа едилсглвеилосви решения задачи обтекания справедлива в следующей формулировке; условиями (22) н [23) течение опрсделено единственным образом в случае контура Т с одной угловой точкой; то же верно и для ~падкого контура при дополнительном условии, что задана циркуляция Г.
Эта теорема служит основой для моделирования течений. Именно, пусть контур Тг геометрически подобен контуру Т и относитсльно подобно расположен, т.е. получается из Т преобразованием растяжения х'=ах, у'=.ау (а>0). Тогда при одинаковых условиях иа бесконечности поле скоростей пм будет подобно полю и в том смысле, что п1(ах,ау) = п(х.у), а циркуляции будут связаны соотношением Г, = аГ, Теоремы существования решения задачи обтекания справсдливы во всем диапазоне входных данных (включая задание циркуляции Г в случае гладкого контура), гарантирующих неравенство дд < с„.
Упомянутые результаты являются итогом очснь глубокого и трудного анализа, использующего современные мстоды теории функций, функционального анализа и квазиконформных отображений. Подробности можно найти в журнальных статьях, цитированных в Я. 258 Гллвл 1ц двумя ныя тстлновившився твчання 8 24. Характернстнкн н простые волны В этом параграфе изучаются свойства гладких чисто сверхзвуковых двумерных безвнхревых изэнтропических течений. Здесь определяющим является свойство гиперболичности основных уравнений и связанные с ннм факгы локализации возмущений в областях, ограниченных характеристиками.
Теория чисто сверхзвуковых течений во многом аналогична теории одномерных движений, рассмотренных в Я 15, 1б. Исследованию возможных вырождений сверхзвукового течения при переходе через звуковые линии или скачки уплотнения будут посвящены дальнейшие параграфы.
Исходные уравнения. Основные уравнения (22.23) здесь удобнее взять в первоначальном виле иэ — и, = О, (ри), + (ри)„ = — -ури, и присоединяя к ним интеграл Бернулли (22.24) с постоянной константой у Согласно (10.8) его дифференциальная форма имеет вцл (2) Из рассмотрений 8 !О вытекает„ что прн с > с (или М > 1) система (1) является гиперболической. Поэтому для нее важно найти характеристики и условия на них, а также построить транспортные уравнения для описания распространения слабых разрывов вдоль характеристик и выяснения возможности градиентной катастрофы, Необходимые для выполнения этой программы выкладки будут более компактными, осли сразу ввести в качестве независимых переменных потенциал скоростей д и функцию тока сс Йр = и г(х + и Ну. г(гЭ = — у ри дх + у" ри г(у.
(3) В дальнейшем плоскость )гз(р, ф) будет называться ллоскостыо поаенуиала. Для возвращения в плоскость течения служат вытекающие из (3) уравнения рг1~г1х = ридр — у "иг(~Ф. Рг1~г(у = риг(~р+ у "иг(гр. (4) В последующих формулах будет использоваться у ол Маха а = агсз1п(1/М), связанный с числом Маха М = у/с соотношениями (б) ыпгз= —, сгйо=цМ вЂ” 1 ~0<о<-/1. М' ~ 2) 9 24, ХАРАКТЕРИСТИКИ И ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ 259 Наконец, наряду с декартовым представлением искомого вектора скоро- сти и = (и, и) будет рассматриваться его полярное представление через модуль д н угол наклона В к осн х (полярные координаты на плоскости годографа, уже введенные в 9 22): (б) и = дсозВ, и = дзшВ. Естественно, что в этих переменных получится аналог уравнений Чаплыгина (22.45).
Однако для охвата также и осесимметричных течений уместно дать краткий вывод преобразованных уравнений, С помошью формул (3), (6) и с учетом соотношений (2), (5) для левых частей уравнений (!) получаются выражения и~ — ив = и~и — ни~+ у р(иие Рисе) = — д В~+ у рдде (~ )*+( ) = = и(ри), + и(ри), + у'р( — и(ри)е + и(ри)е) = =д'р + рдд + у"р'д'В„ = — рд стйзо д + у рздзВЕ. у"рд, — дВ, = О, сВй~ а д — у" рдВе — — ~ сбп В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
