Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 50
Текст из файла (страница 50)
З 24. Хлвлктявистики и и«остыл волны 271 à — волны разрежения сжатие г — волны сжатие разрежения Рис. 3 Доклзлтлльстпо. Очевидно, что (рнс. 3) на плоскости потенциала «ручка веера» в любой простой волне находится спереди, если и только если Ыф/йр~,, > О), и находится сзади, если и только если ~Щ)аф, < О, Так как в любой простой волне для наклона прямолинейных характеристик справедлива формула ~г(ч)/г(у( = рак о, то из выражений (32) и (2) следует соотношение гид нг+ 2 вшгх Ри. г(у 2 сов сгзо Поэтому «ручка веера» спереди, если и только если ри > О, и сзади, если и только если ри < О. Например, течение Прандтля-Мейера (см.
рис. 2) является простой волной разрежения. Различение простых волн сжатия и разрежения существенно с точки зрения возможности непрерывного продолжения течения, Нетрудно убелиться в том, что при неограниченном продолжении течения вниз по потоку градиентная катастрофа не наступаст в волнах разрежения, но неизбежна в волнах сжатия. Геометрически последнее очевилно, так как в волне сжатия прямые характеристики рано или поздно начнут пересекаться и будут приносить в точку пересечения значения величин д и В.
Аналитический вывод основан на замечании, что для простых волн в решении вида (22) транспортного уравнения вдоль прямолинейных характеристик подынтегральнос сти потенциала формулируется одинаково. Он дается следуюшей теоремой о «ручке веера». Теорема 3. Простая волна як«яется волнои сжатия (соответственно разрежения), если и только если «ручка веера» ее нрялюлинейнмх характеристик находится снереди (соответственно сзади).
272 Гллвл 1Ц Лвтмноиыв тстяиовившився ткчьпия выражение постоянно вдоль пути интегрирования. Поэтому формула (22) упрощается ло следующей: (33) 1 — по ., (ф — фо) то+2 ро в1п' 2оо Но в простой 1-волне для величины Л справедливо выражение с1ц о Я=ги= — 2 ц. =2 — сгйо р . о и 2 Поэтому в 1-волне разрежения будет Но < О и при всех ф > фо величина )1 остасгся ограниченной. Напротив, в 1-волне сжатия Ло > О и знаменатель в (33) обращается в нуль при конечном 1н ~)л =- рьло рн 1Ь = ' Р1Кп ' 'Р~. (34) Так как величины р и и зависят только от а, то их можно рассматривать как извсстныс функции разности 1 — г. Исключение из системы (34) по- тенциала р (путем перекрестного дифференцирования) даст одно линейное дифференциальное уравнение второго порядка для функции тока тч (36) Плоскость инвариантов Римана.
Для анализа свсрхзвуковых течений общего характера иногда цслссообразно рассматривать величины ~7 и 1' как искомыс функции независимых переменных г и 1. Плоскость гг (г,1) называется плоскостью инварнантов Римана (фактически она является деформированной плоскостью годографа). Ясно, что соответствующие диффереш1иальные уравнения могут быть выведены нспосрсдствснно из уравнений Чаплыгина (22.46) в области их гипсрболичности путем перехода к характеристическим переменным (12). Однако проще всего вывести их из уравнений характеристик (14) (при и = О) тем жс присмом, каким были получены уравнения (16.46). Для этого достаточно заметить, что так как вдоль характеристики Сь меняется только инвариант Римана 1, то сс дифференциальное уравненис г)оз = ройойэо равносильно уравнению вл = ргко рь Аналогично преобразуются уравнсния характеристик С , и окончательно получается следующая система линейных дифференциальных уравнений сверхзвукового течения на плоскости инвариантов Римана: 424.
Хягяктагистики и цгос~ыв волны 273 з = 2р(д), С(г) =— га(л) + 2 8 гйп о(д) соз а(ц) (37) В отличие от его анапа~а (!б.47), уравнсние (36) нс упрощается сколь-нибудь существенно даже в случае политропного газа. С этим связаны значительные аналитические трудности в исследованиях сверхзвуковых течений. Задача об истечении струи. Из прямолинейной трубы ширины 2уо, в которой течет постоянный сверхзвуковой поток газа с известным уравнением состояния и заданными параметрами ра, ро, д ) сс, газ вытекает в окружающую среду (покоящийся газ), в которой задано давлснис р~ < ра. Требуется найти установившсеся течение газа вне трубы, считая границу с окружающей средой контактным разрывом. Рис.
4 До тех пор, пока течение в струе остается непрерывным, оно является безвихрсвым и изэитропическим. Данные задачи определяют константу а-' з интеграле Бернулли и тем самым все функции параметров состояния от модуля скорости а, Так как при персходс через контактный разрыв давление должно меняться непрерывно, то давление в струе на сс границе также равно рь Следовательно, вдоль границы известны плотность р1 и скорость звука сы а значит, и постоянное значение модуля скорости ды определяемое интегралом Бернулли цз + 1(с1) = а Одним из преимуществ записи уравнения (35) является сто самасалрялсеьэ яая форма. В раскрытой форме это уравнение принимает вид уравнения гарбуз фм — О(( — г)(Ф~ — ф,) = О, (36) где функция с7(г) определсна параметрически: 274 Пааво 1ц Лвтмягныь тстлиовившиься твчыозя Граничные условия симметричны относительно оси трубы.
Из единственности решения следует, что если непрерывное решенно существует, то оно лолжно быть также симмстричныль Поэтому можно ограничиться рассмотрснисм «верхней» половины тсчсния, изображенной на рис. 4. Граница струи и ось симметрии должны быть линиями тока, причем ы = 0 ва оси и й = зро = роооуо на границе. Следовательно, задача ставится на плоскости потенциала в полуполосс П = (О < ф < фо, р ) О) как сжсшаииан задача Коши с начальными данными при р = 0 4(0, тз) = чо В(0, ф) = 0 (О < ф < 1оо) (з8) и граничными условиями 0(р,О) —.. О, д(р,тьо) =уз (р>О). (39) При движении вниз по течению в вытекающей струе образуется последовательность характерных областей О, 1...., 10, ..., показанных на рис.
4. К области 0 постоянного решения 4 = уо, 0 = 0 вдоль прямой АзВз (характеристика С ) примыкает центрированная простая волна 1 с центром в А, и уравнением г = го. Это течение описывается уравнениями (40)  — 7з(д) = — Р(до) У вЂ” Уо = т тц( — сг). В области 2 формируется постоянное течение с параметрами 4 = оз, 0 = Вз, где угол Вз определяется из(40): Вз = Р(рп) — Р(4о)- К области 2 вдоль прямой ззГзАз (характеристика С«) примыкает простая 1-волиа 4, уже не являющаяся центрированной, с уравнением (41) О+)з(а) = Вз+7з(рп).
Она заканчивается характеристикой ВзЗУз, аваль которой 0 = 0 в силу первого граничного условия (39). Поэтому вдоль ВзХз постоянное значение д = да находится из уравнения (4!); р(ца) = Вз + ц(уз) В области 5 снова образуется постоянное течение с параметрами 4 = Вь, В = О, к которому вдоль )тзВз примыкаетпростая г-волна 7 с уравнением В 1з(ч) = 7з(чз). 275 325. косил склчки тпло~ишшя Область 8 снова есть область постоянного течения, причем так как 9 = 91 иа Азиз, то Ра = 1т(чг) — Эг(чь) = -йг. В области 10 снова формируется простая 1-волна с уравнением В -~- д(ц) = — Ог -ь л(сп), переводяшая течение в постояннос в области 11 и т.
д. В областях 3, 6, и 9 образуются течения общего характера, Для их расчета требуется решать нскоторыс краевыс залачи, которые могут быть поставлены иа плоскости ннвариантов Римана. Напримср, в области 3 вдоль характеристики В,Ф1 семейства С~ дано г = — д(9~), вдоль отрсзка В1 Вг оси симметрии о' = О, т.е. г+ 1 = О, и вдоль характеристики Ф,Вг семейства С дано 1 = д(да). Поэтому на плоскости инвариантов Римана область В| М1 Вг имеет вид треугольника, показанного на рис.
5. Б нем надо найти решение уравнения (Зб) по граничным условиям на линиях ВгВг, где просто ф = О, и В1 Мм где функция тока известна из описания центрированной простой водны в области 1. Этими данными искомое решение определяется Ж ! единственным образом, так как в силу сии- В --- 1.=л(ч;) метрии возникающая краевая задача на са- э =о 3 мом деле сводится к задаче Гурса в квадра- , 'х~ те В~Х1ВгХ,' с данными на характеристи- „' '~д ках В,Х1 и ВгХг, Постановка на плоскости ~ В„ инвариантов Римана краевых задач, возникаюших в областях 6 и 9, предоставляется чи- г,=д(а) О г тателю. Важная особенность построенного тече- Рис. 5 ния состоит в том, что простые волны 1 и 4 суть волны разрежения, а простые волны 7 и 10 являются волнами сжатия.
Поэтому не исключено, что в них произойдет градиентная катастрофа и дальнейшее непрерывное продолжение течения будет невозможно, Однако окончательное решение этого вопроса до настоящего времени ие получено. 1 2й. Косые скачки уннотнения Установленные в $ 5 свойства ударного перехода связаны с нормальной к фронту ударной волны составляющей вектора скорости. Эти результаты являются окончательными, если движение газа таково, что направление вектора скорости перед волной ортогонально фронту. Однако в обшем случае вектор скорости образует с фронтом ударной волны 27б 1'ллвл 1Ы двум9 аньж усзхновившин;я тнчиния острый угол, и тогда лля полного описания движения за волной необходимо учитывать касательную составляющую вектора скорости. Это особенно важно в модели установившегося течения газа, когда за улариой волной могут получаться как сверхзвуковые, так и дозвуковыс скорости.
В й 10 уже сообщены предварительные сведения о стационарных ударных волнах — скичклх уплотнения в установившихся течениях. Они использукпся в данном параграфе для более детального анализа поведения течения в косых скачках уплотнения (для краткости в дальнейшем слово «уплотненияя опускается).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
