Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 46
Текст из файла (страница 46)
равномерно относительно и =- 1,2,... Кроме того, представление (12) можно дифференцировать по Ф Отсюда следует, что ряд (!1) абсолютно сходится в области АВВ'А' и его можно дифференцировать почленно один и два раза по переменным а и О. Поэтому формула (! 1) дает решение уравнения (22.47). Легко проверяются также и граничные условия (4). Итак, решение задачи на плоскости годографа дается формулой (11). Отсюла с помощью формул перехода (22.43) можно вычислить любые величины на плоскости течения.
Например, для отыскания расхода согласно (2) достаточно найти величину Ь, Это делается интегрированием дифференциала г(у вдоль линии ВС, так как (см. рнс. 1) Ву = йс йод. нс Для дифференциала Ыу имеется выражение (22.43), которое на линии ВС принимает вид ау = (а!пд/0)ззег)0 и, в силу второго уравнения (22.46), оказывается таким: г(у!нс = р 1в!пВ ф (цыВ)г)0. 248 Глхвх 1У. Двь ма нык тс.~хиовившиася тгчвния В результате полстановки сюда представления (11) и почленного интегри- рования получается соотношение Я 2гйпдо ~ ~з,',(О1) ( — 1)иии О Асо†Р1 Оо , г„(о1) из — 1 Так как в случае плоскопараллсльного течения формула (2) принимает вид ГЭ = 6 р1оы то из это~о соотношения следует равенство, определяющее искомую величину 6 .: ло = " (1+ Ф(Ф Оо)) где 2в(пдв ч О1з„'(Ч~) ( — 1)"и„ ф(О,,О,) = ОО зи(91) и — 1 Для некоторых конкретных значений угла Оо это решение описывает характерные течения.
Например, при Оо = я~2 — истечение струи газа из полупространства через шаль в плоской стенке, а при Оо = и — истечение струи газа из всего пространства в плоский иасадокБорда. Решение пригодно для любого ц~ < с„. Можно показать, что оно справедливо и прн о1 = с., причем в этом случае струя выравнивается иа конечном рпсстоянии огл оаверсщи». Тем же мстодоьп с небольшим усложнением, решается задача об истечении иесиимеаричиой струи, когда сечение выходного отверстия не перпендикулярно оси сосуда.
Для построения такого решения проще всего задать угол, образуемый вектором скорости в бесконечности вниз по течению с осью сосуда. На годографе рис. 2 это сведется к смешению точки разрыва граничных данных (3) С = С' по дуге окружности о = и1 от ес симметричного положения в сторону точки В или В'. При совпадении С с В получится задача об истечении струи газа вдоль прямолинейной стенки из-под щита, решение которой фактически дается формулой (11).
Струйное обтекание клина. Аналогично рассматривается задача о симметричном струйном обтекании клииовидиой (или конусовидной) стенки конечной длины. Качественно картина течения показана на рис. 3, где С.О и С'О' — уходящие струи, на которые натекающая струя ЕЕ' разделяется твердой стенкой ВАВ'. Заданы параметры зо < со в натекающей струе, ее ширина (диаметр) 2ло, угол Оо и ширина (диаметр) основания клина 26.
Требуется определить силу давления струи на клин и угол Оы з23. Дозвтковыв ~гчания под которым наклонены уходяшие струи к оси симметризп (эйаезж годо- графа этого течения показана на рис. 4. А я Рис. 3 Рис. 4 Далее рассматривается только плоскопараллельнос тсчсиие. Снова дело сводится к решению задачи Дирихле для уравнения (22.47), благодаря симметрии, в секторе АВСЕА плоскости годографа (рис. 4) с граничными условиями Ф'(ЕАВГ = О, ф'(св = 'ч', (14) где (,) — полурасход в натекающей струе, который известен и равен с) = йсроцо. Ясно, что решение этой краевой задачи может быть получено изложенным выше методом. В этой задаче представляет интерес тот факт, что сила Х, действующая на клин, выражается непосредственно через данные задачи и угол д1 простой формулой. Для ее получсния надо применить интегральный закон сохранения потока импульса ( П4) к области МАВСПЕМ (предполагая ссчения Сг7 и НЕ находящимися на конечном расстоянии и ортогональиыми вектору скорости) и затем взять проекцию на ось к (см.
рис. 3). При этом следует учесть, что иа свободных границах р = ро, ц. и = О и что интегралы вида / р~ <Ь по этим границам сводятся к интегралу /Ыу и вычисляются явно; "' "/-"" ./'" вс вс вс °вЂ” рп г(» = — ро ~ в)идола = — ро / г(у = ро(рв — ув), ое 250 Главк!У. Двтмгм!ыг: тстжновившився тачш!ия а такжс заметить, что разность уо — уе конечна и равна но соаВ!. Этим путем, с учетом того, что сила Х по определению равна Х=2 / рг(у, в результате элементарного подсчета получается формула Х = 2!зро + 2(1 — сов Вз)йоросоз. (15) Что же касается угла Вы то его можно определить лишь как корснь трансцендентного уравнения через рсшенис ф(Ч, В; В!) упомянутой краевой задачи.
Для этого надо вычислить величину П, например, по формуле Ь = ) с(у, АВ которая в силу (22.43) и (22.4б) преобразуется к виду ао л = з!пйо/ з фв(Ч,Во, 'В!)цЧ. 01 — М РЧ (15) Соотношение (! 6) при извсстной Ь и сеть уравнение относитсльно Вз, определяющее этот угол. Для специальных исходных данных в этой задаче получаются некоторые характерные течения. Например, решение с Во = к~2 описывает струйное обтекание пластинки. Можно также сделать клин бесконечным (5 = со) и получить обтеканис угла (в этом случае О! = Во). Кроме того, смещая точки С, С' и Е по окружности Ч = Чо на годографе рис.
4, можно тем жс методом найти решения целого класса задач о несимметричном обтекании клина. Во всех получаемых течениях точка А является точкой гнормозкения потока; в ней скорость обращается в нуль, т. с. Ч = О. Свободные струи. Представяяст интерес также класс свободных струйных тсчений газа, в которых твердые стенки отсутствуют. Примером служит симметричнос течение, возникающсс при лобовом с!нолкновении двух свободных струй (рис. 5). Здссь заданы параметры Чо ( со и ширина 26! струи АА', текущей слева направо, и тс же параметры и ширина 26з струи РР', текущей справа налево. В результате столкновения этих струй возникаст точка торможения О и две боковыс струи, ВС и В'С'.
При этом образуется разделякнуая пиния тока Е'ОЕ, слева от которой остается всеь газ, принесенный струсй АА', а справа — всеь газ, принесенный струей РР'. Требуется дать описание течения, в частности, найти угол О! наклона боковых струй к оси х, а также разделяющую линию тока Е'ОЕ. з23. Лозвтковын течения 25! Рис. 5 Оказывается, что в этой задаче угол ез очень просто выражается через исходные данные, а именно справедлива формула (17) Формула (17) выводится применением интегрального закона сохранения потрка импульса (1.4) аналогично тому, как это было сделано в предыдущей задаче.
Что же касается разделяющей линии тока, то сс можно найти только в результате решения краевой задачи. Область годографа рассматриваемого течения представляет собой круг радиуса оо, показанный на рис. 6. В силу симметрии соответствующую задачу Дирихле достаточно рассмотреть в полукруге РВА с граничными данными Рис. 6 Лчос = пзРоло. 'Ф~вя = отрог(о фЮх = () 252 Гллвх !Ч. Двтмш пыв тстлновившився гвчвния Эта задача легко решается изложенным выше методом, в результате чего определяется функция ы(Ф О). С ней годограф разлсляющей линии тока дастся уравнением ф(о,0) —. О.
(19) Дифференциальные уравнения разделяющей линии тока согласно определению (22.4) могут быть записаны в виде г(у — = Нгйпд г!Π— = Нсов0, Ия г(0 (20) с некоторой функцией Н = Н(0). Вычисление с помощью уравнений (22.43) и (22.46) дает для Н выражение Ь '~ч + (1 М ) т'а) . !лгуч (21) Задачи обтекания. Здесь будут рассмотрены задачи обтекания конечного тела безграничным потоком.
Этот класс задач играет важную роль в аэродинамике крыла и снаряда. Резулщаты анализа и расчета задач обтекания используются при решении ряда актуальных проблем высокоскоростной (реактивной) авиации и внешней баллистики. Общая постановка задачи обтекания уже упоминалась в й 7 и формулируется следующим образом. Требуется найти непрерывное в замкнутой области Й решение системы уравнений (22.23) и (22.24), определенное во внешности П заданного простого замкнутого контура Т гй Яз(к, л), удовлетворяющее условию на бесконечности с заданным вектором ц, (22) !пп ц(я, р) = и, и условию обтекания контура Т (23) ц .и!т = О, Функция Н(0) получается подстановкой в формулу (2!) зависимости л = 0(0), опредсляемой уравнением ( )9).
Довольно сложные струйные течения возникают при несимметричном столкновении свободных струй. Решения этого типа могут быть получены смещением точек Н, 22, В' по окружности о = чс (см. рис. б) и рассмотрением возникающей задачи Дирихлс во всем круге. При этом надо следить за соблюдением интегральных законов сохранения массы и импульса на плоскости течения. з 23. Дозвуковыа течгния 253 где г =,/х- "+ рз и и нормаль к Т. Кроме того, прсдполагаются заданными уравненис состояния р = Г(р, Яо) (ищется изэитропическос тсчснис) и давление р, на бесконечности.
Тсм самым заданы также скорость звука с„„ и число Маха М е = ц .7с, где ц =,'и (. Очсвидпо, что такос задание условии на бесконечности позволяет найти константу в интеграле Бернулли (22.24), который в силу этого становится вполне определенным.
Возможна и другая постановка, когда константа в интеграле Бсрнулли считается заданной; тогда величина с однозначно опрсделяется условием (22). Из-за специфики рассматриваемых в этом параграфе двумерных дозвуковых тсчений эта постановка нуждается в уточнении. Прежде вссго, требуется, чтобы в шобой точке было д < с или, в терминах числа Маха, М < 1. Для этого необходимо выполнение неравенства (24) которое, однако, не является достаточным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
