Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 42
Текст из файла (страница 42)
После подстановки выражений для и и и из (26) во второе уравнение (23) последнее становится уравнением для ух Разумеется, оно должно совпадать с уравнением (11.20), которое надо только взять в соответствующем двумерном варианте. Любыл~ из этих двух способов получается следуюи)ее уравнение длл потенвиали скоростей: (иэ — с )р„+ 2ио., — (оэ — с )~р = -с~р, (28) у которое, конечно, надо рассматривать одновременно с интегралом Бернулли (24). В частности, в случае политропного газа уравнение для потенциала з 22..уааФЮння ввзвихвввого твчвння скоростей наново: (и — с,) + и ~ Укк+ 2ииРкк+ ! ~+ з 2 7 1 2 ~'У-1 3 7+1 з 2 + ~ и + — (и — с )~:рзт —— 2 2 — сз ( 2+ 2) — Г+ 2 Г 1 2 2 У ~ 2 " 2 (29$ Метод годографа.
Существует специальный метод исследования двумерных безвихревых изэнгропических течений газа, имеющий большое теоретическое и практическое значение, — так называемый л~еаод годографа. Он основан на том, что описание таких течений сводится к отысканию отображения гг1(х,у) гтз(и,и), определяемого формулами На плоскости годографа вектор скорости и изображается радиус-вектором точки (и, и), приложенным в начале координат. Ясно, что в силу интеграла Бернулли (24) годограф любого течения содержится внутри круга радиуса а с центром в начале координат (рис. 2).
При этом все дозвуковые М течения попадают внутрь круга радиуса с„, а все сверхзвуковые течения— в кольцо с. < а < а (см. замечание после определения 10.3). Окружность а = у является годографаи состояний вакуума. Отображение (30) будет взаимно однозначным не для любого течения. Например, каждая область постоянного течения имеет своим годографом одну точку. ИсРис, 2 следование локальной взаимной однознач- и = и(х, у), о = и(х, у). (30) Определение 1. Плоскость Вз(и.и) называется ллоскостью годографа.
Для каждого течения, заданного формулами (30), годографом любого, содержащегося в области течения, множества точек плоскости Вз(х, у) называется образ этого множества при отображении (30) на плоскость Вз(и, и). В частности, определен годограф любой точки, лилии или области. 228 ГЛКВК 1тс. ДВЧМКЕНЫВ тетКПОВИВщнаея твЧГНня ности этого отображения сводится к выяснению того, обрапямпФсгли яко- биан В(и,о) У, ияьв ивич В(х, у) (31) Простые волны осесимметричных течений. В случае н = 1 система (23) имеет точное решение и = О, о = о(у), принадлежащее классу простых волн.
Оно описывает двумерный испючник газа и получается с помощью интеграла уравнения неразрывности (2) в виде соотношения, аналогичного (!1.25), а именно, ури =- Я = сопли Качественная картина течения в двумерном источнике такая жс, как и для сферического (см.
рис. 11.2). Все остальные простые волны описываются следующей теоремой, в которой предполагается, что решение не является постоянным или решением типа источника. Теорема 2. Всякая осеснлмсетрачная простая волна есть автомодельное решение систелсы (23) и, с точностью до переноса по коордтсате х, дается форссулани и = и(л), и о(А): 2 = з/у. (32) ДОКкЗЛТЕЛЬСТВО.
Пусть простая волна определена зависимостью и = Г(и). Тогда, после подстановки в систему (23) получаемых из этого равенства выражений для производных, она примет следующий вид; с оч = Р ссю ((из — сд)Р" + 2иог' . (пз — с '))уп, == сзо. (33) где штрих обозначает производную функции Р по о. Выражение в квадратной скобке нс может быть тождественно равно нулю, так как инасс получилось бы, что о = О и и = — Р'(О) — -- солнц т.е.
постоянное течение. Поэтому из второго уравнения (33) можно найти величину уо„как функ- в нуль или нет. Как известно, тождество У .=- О равносильно сушсствованшо функциональной зависимости между функциями (3О). Но сели в некотором течении и =. Г(с) (или и = Е(сс)), то со~ласно определению !3.! это течение сеть простая волна. Поэтому важно найти и исследовать все решения — простые волны системы (23).
В случае н = О множество простых волн достаточно обширно и будет подробно изучено в 224. э 22. УРАВняния БезвихРГВО! О тгчяиня 229 цию только и, например уи, = С(и). Здесь удобно заменить переменную и вспомогательной переменной .ю, определив последнюю формулой )пю = — ! —. !(и С(и) Тогда соотношение уие — — С(т ) преобразуется в соотношенис уюк -ь ю = О, которос интегрируется и дает интеграл ую = б(х), где ((х) — некоторая, пока произвольная функция. Но ясно, что для величины ю, так жс как и для и, справедливо уравнение вида псрвого уравнения (33), а именно: и: = — а(и!)юю Подстановка сюда найденного выше выражения ю = б(х)/у дает соотношение с разделенными переменными б'(х) = юа(ю), которое, в силу независимости переменных х н и, может быть справедливым, только если б'(х) = Ь и и!а(ю) = Ь с постоянной Ь ф 0 (при Ь = 0 получается двухмерный источник). Поэтому, с точностью до переноса по х, будет б(х) = Ьх, и, значит, ш = Ьх/у.
Ясно, что во всех случаях годограф области, занимаемой простой волной, на плоскости течения есть линия на плоскости годографа. Поэтому в области простой волны отображение (30) нс однолистно. Слсдовательно, за исключением постоянных течений н простых волн, течение общего характера отображастся на плоскость годографа локально взаимно однозначно. В таких течениях величины и и и могут быть приняты в качсстве независимых переменных. Уравнения на плоскости годографа.
Метод годографа и состоит в рассмотрении определяющих течение величин как функций лереиенных годара!ра (и,и). Существует несколько вариантов получения преобразованных уравнений (23) на плоскости годографа, кажда!й из которых имсст свои преимущества и недостатки. Ниже излагаются два наиболее часто используемых варианта такого преобразования. Имея в виду охват единым анализом как плоскопараллельных, так и осесимметричных течений, целесообразно принять в качестве искомых величин координаты точки (х, у). Использование свойств якобианов позволяет выполнить преобразование производных с помощью цепочки равенств вида д(и,у) д(и, у) д(и,и) д(х, у) д(и.
и) д(х. у) где использовано обозначение (3 !). Аналогично преобразуются остальнь<е производныс, что приводит к стандаргнным !рормулан перемени ролей зависимых и независимых нераиелныт! ир — /Хл ил уь ик )Хм (34) 230 ГЛАВА!Ч. ДВУМЕРНЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ В результате подстановки выражений (34) в систему (23) и пов(Еиааавв Ис- комая система уравнений на плоскости годографа: х» уи — 0 (и — с )у„— 2иох» -Р (и — с )хи = — с п(хиу» — х„уи). 2 2 2 2 и 2 (35) и Непосредственно видно, что система дифференциальных уравнений (35) в случае и = 0 является линейной, но остается нелинейной, если и .= !. В этом факте коренится принципиальное различие описания плоскопараллсльиых и осссимметричных течений, Введение поп2енциала Лежандра Ф = Ф(и. В) с помошью соотношений (Зб) х=фи, у=ф» позволяет удовлетворить первому из уравнений (35). При этом второе при- нимает форму уравнения Монжа — Ампера2 (и с )Ф»» 2иифи» + (о с )Фии = (Фииф»» Фи») ° (37) Дифференцированием по х и у легко проверяется, что потенциал Лежан- дра Ф связан с потенциалом скоростей р соотношением (38) »2 = хи + уи — Ф.
Переход от 22 к Ф согласно равенству (38) называется преобразованием Лежандра. Особенно простую форму принимает уравнение (37) в случае плос2юпараллельных течений (когда и = О) после перехода к полярным координатам (а, О) на плоскости годографа (см. рис, 2): и =- осоку.
и = аз!Ид, (39) После небольших вычислений уравнение для потенциала Лежандра Ф = Ф(п, О) плоскопараллельных течений оказывается ~аким: (М' - !) Фее - Езф„- (Мз - !)аф, = 0. (40) где использовано обозначение числа Маха М =- д!с. Важное свойство уравнения (40) состоит в том, что оно нс только линейно, но в нем переменные а и й разделяются. Это дает возможность строить его решения методом разделения переменных.
Очевидно также, что уравнение (40) имеет гиперболический тип, если М > 1 (сверхзвуковое течение), и эллиптический $ 22. УРАВНЕНИЯ БЕЗВИХРЕВОГО ТЕЧЕНИЯ 231 тип, если М < 1 (дозвуковое течение). Рассматриваемое для всевозможных скоростей 0 < М < ОО, т.е, в максимально широкой области плоскости годографа (см. рис.
2), уравнение (40) является уравнением смешанного мина. Кроме того, это уравнение вырахсдаееся (в смысле сто типа) также на окружности вакуума М = Ос, где с = О, В случае политропного газа, в силу вытекающей из интеграла бернулли (25) формулы (41) уравнение для потенциала Лежандра таково: (г з)ф г г гф (г г) ф О (42) Уравнения С.А. Чаплыгина. Другой вариант преобразования системы (23) на плоскость годографа состоит в том, что в качестве искомых величин берутся потенциал скоростей р н функция тока р. Это преобразование особенно эффективно в случае плоскопараллельных течений, для которых оно и дастся ниже. Непосредственно из определения потенциала скоростей (26) и функции тока (7) следуют равенства (для и = 0) др=иШ+иду, уф= — рсдт+риг(у.
После разрешения относительно г(к и ду и перехода к полярным координа- там (39) эти равенства принимают вид г(т = сов гбр — В"'"т(Р, г(у = з Йр-; с ~ Ы. (43) 9 Ру ' 9 ' Р9 Если считать 9 н в функциями переменных р и еи то условие полного дифференциала для г(я в раскрьатой форме приводится к соотношению Б1пу ~-Оя — — ( — ) а ~ -' сову — 9Š— — О = О. ,У,')Р9) Р~ ' ~г Реи 232 Гллвл! Ъ'. Двумя нык гстхновивгвиься тьчкпия Аналогично, условие полного дифференциала для Нр даст совр -де — — — ц — зщ Π— це — — 0 = О. А )'1 ~г (44) Поэтому из предыдуших соотношений следуют уравнения М вЂ” 1 ц В, = ц,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
