Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 41
Текст из файла (страница 41)
пНв = у'р( — ос!х + ай~) =- ф,с(х + риду = с(зр. Поэтому равенсгво (10) равносильно следуюшему: С)(М,, ~з) = ф(жз) — т,'). (11) 5 = Б(ф) (12) и интеграз Бернулли 9'+2(с') --9;.(Ф) причем здесь цз = из + оз. (13) Соотношение (11) н выражает второе свойство функции тока: расход газа между двумя линиями тока равен нрираисенит функции тока. Из него следует, что в области непрерывного течения функция тока различает линии тока в том смысле, что на разных линиях тока она необходимо имеет разные значения. В 9 10 уже были получены два интеграла, (!О.б) н (10,10), основных лиффсрснциальных уравнений движения газки справедливые лля любого установившегося течения. В силу свойств функции тока, для уравнений (2) они могут быть записаны в уточненной форме, подчеркивающей зависимость констант интсгрировання от СХ Это интеграл энтропии в22 ГЛАВА 1Ч.
ДВУМЕРНЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ Вектор вихря щ в случае двумерных течений легко подсчитывается по формуле (11.!). При этом в случае и = 1 надо перейти к полярным координатам в плоскости (Го з) н пРинЯть во внимание, что в настоЯщем паРаграфе с обозначает у-компоненту вектора скорости в той мсридиональной плоскости, в которой и = О.
Вычисление показывает, что во всех случаях щ имеет только одну ненулевую компоненту, равную (в обозначениях данного параграфа) величине щ = в, — и„. Изэнтропичность безвихревых течений. Дальнейший анализ двумерных течений связан с предположением о безвихрсвом характере движения (см. 5 11). При этом система (2) дополнястся уравнением щ = О или (14) В таком течении, согласно лемме 11.1, должно выполняться соотношение (1!.3), которое здесь сводится к одному скалярному и переписывается в виде р~Я р 5~ — О. (15) Очевидно, что соотношение (15) может быть справедливо лишь в следующих трех случаях: (а) 5 = сопвг тождествснно; (Ь) р = сопв! тождественно; (с) функции р и 5 связаны функционаяьной зависимостью р = р(5). Предположсние (а) об изэнтроппчности течения является основным; такие течения в дальнейшем будут изучаться подробно.
Прсдположснне (Ь) приводит к кчассическим уравнениям безвнхревых течений несжимаемой жидкости, которыс в газовой динамике играют роль приближенной предельной модели (см. З 9). Что жс касается случая (с), то он требует специального исследо- ванин, резулыаты которого приводятся ниже. Если 5 ф гопы и р = р(5), то всс термодинамические параметры становятся функциями только энтропии 5. В силу интеграла (12) это равносильно тому, что все они являются функциями только вслнчины функции тока сх Но тогда из интеграла Ьернуллн следует, что н модуль скорости 9 тоже является функцией только г.ь Кроме того, в силу равенства 2)ср = р'(ф)Ргь' = О уравнение неразрывности (2) упрощается до следующего: и, — 'суЧ вЂ” В=О, К р Для удобства дальнейшего анализа вместо С~ вводится новая величина С, определяемая интегралом 4 (17) $ 22.
уеквнвния ввзвихгавпнзгтггчтцла а ее производные получаются из формул (7): (18) В силу представления модуля скорости д = 9® дифференцирование со- отношения из + оз = цз по х и по у с учетом равенств (14) и (18) дает уравнения ии, + ии„= — у дц'и, (19) ии, + ои„= у'дц'и, равносильные уравнениям импульса (2), Здесь штрихом обозначена производная по б. Итак, для трех функций, и(х,у), и(х,у), и Ях,у), получилась система из жести дифферснциальных уравнений первого порядка (14), (1б), (18) и (19), в которые еше входит пока неопределенная функция 9(б). Так как из этой системы получаются выражения для всех производных первого порядка (для функции б они даются формулами (!8)), то при данной функции д(б) ее общее рсшенис может зависеть самое большее от двух произвольных постоянных. Однако вопрос о существовании решений этой системы нетривиалсн, так как получаемые выражения для производных должны удовлетворять условиям совместности. Легко заметить только, что всегда существует носпюяноое ресиение и = ио = сопвг, и = оо = сопвС, причем в случае и = 1 в силу (3) должно быть оо = О.
Теорема 1. Всякое осесимметричное безвикревое течение с переменной энтропией есть поступательное движение в направлении оси симметрии. Не постоянное (глоскопаргьывльное безвихревое течение с переиенной энтропией описывается грормулами и = -ауц', и~ = ц~ — азу цч. г1 = ехр(аС), (20) где а = <х>пвС, причем линии тока этого течения образуют семейство концентрических окружностей. Доклзлтнлвстио. Еслибы = С(У),то о = О ни, = ии =. О, что пРиводит к постоянному решению. В противном случае можно взять у и С в качсстве независимых переменных.
Тогда, если временно положить и = й(у. ~), и = й(у, б), то уравнения (19) приведутся к виду оби —— - у'цц и. "и= уИ ° 224 ГЛАВА !тг. ЛВумевные устАнОВиВшиеся течении Интегрирование по у даст выражения У и=- — 99' ' г'(б), и -с 1 (21) ! 2к Р2 2уиь! н = — (ч9 ) 99 1(ч) + л(ч) (и.!. !)з и+ 1 где ) и 6 — произвольные функции только с. По построению найденные функции п и н удовлетворяют уравнениям (! 9). Легко проверить, что с этими функциями обращается в тождество также и уравнение (14). Остается удовлетворить уравнению (16). После подстановки в него иайленных из (21) производных от и и н и сравнения членов с одинаковыми степенями р получаются слсдующие результаты. В случае и = 1 необходимо 6 = 0 и либо 2 = О, либо д' = 0 и г' = сонат.
Обе возможности приводят к постоянному решению. В случае и = 0 существует нетривиальное решение 6-=9з-.г"~, г"=69~, 9'=ад с постоянными а и 6. Отсюда, с точностью до несущественного переноса по переменной р, получаются формулы (20). В силу этих формул диффсренциальнос уравнение линий тока (4) принимает вид 'г' ' Чч*= — ггг и сводится к квадратуре, так как 9 = сопя! вдоль линии тока. В интеграле этого уравнения (ах — хо)з + азрз =- 9 з(с) (22) константа интегрирования хо, вообще говоря, может зависеть от переменной С. Однако дифференцирование соотношения (22) по у с учетом формул (18) и (20) приводит к равенству хо® = О, т.е.хо = сопзк Следовательно, уравнение (22) описывает семейство концентрических окружностей, радиус которых зависит от ~.
И Этот результат означае~, что достаточно широкий класс двумерных установившихся безвихревых течений образуют лишь течения с постоянной энтропией. Однако необходимо помнить, что если в течении присутствует скачок уплотнения (см. 9! О), то за ним образуется, вообще говоря, вихревое течение с переменной энтропией. В оставшейся части данного параграфа течение предполагается безвихрсвым и нзэнтропическим. ЗАмечлние !. Каж,!ое бсзвнхревое нззнтропнческос течение является нзозвергеглнческнн !см. Е !О), т. с. в нем константа С~„в инте~раве Бсрнуялн (!3) нс зависит от тз.
Этот факт легко проверяется неносрелствснно, дифференцированием соотношения (!3) по х н у с использованном уравнений (2) н (!4). й 22. Уехвнения Безвихгьвого твчапия Основные уравнения. Важное свойство рассматриваемых течений состоит в том, что они описываются системой из двух уравнений для компонент вектора скорости. Первое из них есть уравнение (14), а второе выволится путем исключения производных р, и рю из уравнения неразрывности (2). Для этого используются выражения этих производных, из уравнении импульса (2) в силу равенства пр = сгпр: с ре = — р(и,и, + пи„), г с ря — — — р(игя + ии„).
Окончательно получается следующая система уравнений Двумерных безви- кревых изэнтропических аечений: и„— и., =О, (нг — ег)и + 2иии + (иг — сг)и = исаи, и у (23) где квадрат скорости звука сг выражается через цд = иг + иг из интеграла Бернулли о +Х(с)=ч (24) с постоянной, в силу замечания 1, величиной д~,. В случае политропного газа интеграл Бернулли (10.12) удобно записывать с критической скоростью (10.13): 2 г 0+1 г с= с,. 2 †(25) Уместно вспомнить, что анализ типа уравнений любых установившихся течений уже был выполнен в З 10. Он легко повторяется для системы (23) и показывает, что она имеет эллиптический тип на дозвуковых течениях и гиперболический тип на сверхзвуковых течениях (см. опрелеление 10,3), Это различие существенно, оно с необходимостью влечет различие в постановках, методах исследования и решениях краевых задач.
Более подробный анализ каждого типа течений и соответствующих задач будет проводиться в следующих параграфах. Здесь же внимание концентрируется на тех фактах, которые априори с типом системы (23) не связаны. Уравнениям (23) можно придать множество равносильных форм, каждая из которых имеет свои преимущества при анализе тех или иных конкретных задач об отыскании газовых течений. Дальнейшее изложение посвящено выводу и предварительному изучению наиболее важных эквивалентных форм записи основных уравнений (23), 226 Глквк 1Ч. Двумсвныа установившиеся твчания Потенциал скоростей.
Первое из уравнений (23) равносильно существованию функции ~р = нэ(х. у), производные которой даются формулами 'ээл=и ээл=и (26) Эта функция у называется потенциалом скоростей. Ясно, что данным безвихревым полем скоростей (и,и) его потенциал определен единственным образом с точностью до постоянного слагаемого. Из сравнения определений (7) и (26) вытекает следующая связь функции тока с по~енциалом скоростей: фл = У РЭэу ьк = У РРл (27) где плотность р выражается через уэ =;оэ + ~о~ с помощью интеграла Бернулли (24) Поэтому соотношения (27) образуют независимую систему из двух дифференциальных уравнений первого порядка для искомых потенциала скоростей х и функции тока 1э, равносильную системе (23), При наглядном графическом изображении течений на плоскости г(~(х,у) наряду с линиями тока полезны также линии равного потенциала р(х.у) = сопац или эквипотенииили. Так как ~з7ээ~ = о, то расстояния между двумя эквипотенциалями характеризуют величину скорости течения в.
Кроме того, из (27) следует равенство ~?ф '7р = О, а это значит, что в любой точке плоскости течения проходящие через нее эквипотенциаль и линия тока взаимно ортогональны, Следовательно, линии тока и эквипотенциали всегда образуют на плоскости течения ортогоничьную сеть. Вытекающее из (27), в силу определения операторов (5), равенство П ф = у"р)3гр дает представление о соотношении сторон прямоугольных ячеек этой сети.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
