Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Основная задача заключается в том, чтобы описать все состояния движения, достигаемые за возможными косы ил скачкигли, через которые может преобразоваться некоторос фиксированное состояние движения перед скачком. При этом, как показано в 9 10, течение перед скачкол~ необходимо должно быть сверхзвуковым. Конфигурация направлений в косом скачке показана на рис. 1. Здесь А точка течения, лежащая на линии скачка, и АМ вЂ” касательная к этой линии в точке А. Предполагается, что передняя сторона скачка (как ударной волны) находится слева от АХ, а его задняя 0, сторона . справа от А У.
Отрезок АВ~ длины 99 > с,, изображает вектор скорости п~ перед скачком. Отрезок АВг изображает вектор скорости ц за скачком. Условие равенства касательных составляющих вектора скорости до и после Рис. 1 Ударная полнра. Легко сообразить, что упомянутая совокупность состояний за косыми скачками образует однопараметрическое семейство. Действительно, если угол между вектором скорости и поверхностью скачка задан, то состояние движения за скачком полностью определено, гак как касательная к поверхности скачка составляющая вектора скорости при переходе через скачок меняется непрерывно, а нормальная составляющая и термодинамические параметры газа однозначно определяются условием 0„= О (теорема 5.5).
Кроме того, векторы скорости перед и за скачком и нормаль к поверхности скачка всегда лежат в одной плоскости. Поэтому для описания упомянутого олиопарамстричсского семейства состояний достаточно рассмотреть косые скачки в плоскопараллельном течении (в частности, этим объясняется отнесение обсуждаемых вопросов в раздел двумерных установившихся зчсний). 277 125. косыг. склчки Уплотнения скачка равносильно перпендикулярности прямой В1Вг к АМ.
В системс коорлннат, в которой ось х направлена по вектору скорости пы справедливы представления векторов скорости в компонентах п1 = (лы О) н и = (и, и). Тем самым рис. 1 можно рассматривать как совмещение плоскости течения и плоскости годографа с началом координат в точке А. Через зс обозначен угол между направлениями линии скачка н вектора скорости в точке А.
Отрезки ВгХ и Вгзч равны, соответственно, величинам нормальных состашгяюших и„, н и„„а отрезок АЮ вЂ” величине касательной составляющей ие. Изложенные выше соображения показывают, что лля заданною угла т положение точки Вг определено однозначно. Поэтому при изменении х точка Вг опишет некоторую кривую, которая называется ударной лолярой. На плоскости годографа точки Вз н Вг являются годографами одной и той жс точки А плоскости течения; онн соответствуют разным сторонам скачка в точке А.
Поэтому ударную поляру можно назвать также годографом косых скачков. Аналитическое представление. Дяя получения аналитического представления ударной поляры используются все соотношения в ударных волнах, полученные в г 4. В случае установившихся движений соотношения (4.12) н (4.13) могут быть переписаны в виде р,и,ч =. рги,„, рг — р1 = ргигч(игч — и 1).
Для компактности дальнейшей записи вводится алоьзилгуда скачка (19.1), а именно величина г = (рг — р1)/р|с,, г с которой предыдущие уравнения равносильны таким: с|г = ич,(икч ' ип ) = ик,(1 "г/11) где )г = 1/р — удельный объем. К уравнениям (1) надо добавить уравнение адиабаты 1'югонио (4.20) нли (5.1), которому здесь целесообразно придать следующую форму: )'г = Ъ;(1 — Г(=)). (2) Вволимая уравнением (2) функция Г(г) представляет адиабату Гюгонио в безразмерном виде. Ее график, вытекающий из установленных в г5 свойств адиабаты Гюгонио в нормальном газе, показан на рис. 2, где гг = Рг/РИ,.
,г Г;1ЛЛА 1У. ДВУ 1ЕРИЫЕ УСТЛИОВИВИ1ИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ Уравнения уларного перехола по нормали к скачку (1) и (2) замыкаются геометрическими соотношениями, вытекающими из конфигураций рис. 1. Из полобия треугольников В1 РВЕ и В1.УЛ следуют равенства 11 ч1 И Ип~ апя й и„, рц Второе равенство (3) в силу первого уравнения (1) дает выражение МЗ 41 Ф (4) Наконец, подстановка (4) в (5) дает искомое уравнение ударной поляры: Г(М1(41 — и)/171) (6) (д1 — и)з (41 — и)/41 Из уравнений (4) и (5) вытекает также следующее параметрическое пред- ставление ударной поляры: и = 171(1 — М, з), 11~ = с1(яГ(з) — Мгззз).
(7) Геометрическая форма ударной поляры определяется свойствами монотонности и звездности адиабаты Гюгонно, которые равносильны таким жс свойствам функции Г(е). Из иих следуст, что уравнение Г(ас) =- М, ~зо (8) при любом М1 > 1 имеет единственный корснь гс = го(М1) (см. рис. 2). Поэтому ударная поляра определена в интервале О < з < гс. Из звездности функции Г(г) следует, что ударная поляра также звездна относительно точки В1. Наконец, наклон касательной к ударной полярс в точке В1 оирсделяется нз уравнения (5) прслельным переходом 1ип '1(и/г(и' = 1 М1 — 1 = стк 1т1. я 0 где введсно число Маха течения перед скачком М1 = 41/сг.
Так как из = 4,' — из,, то первое равенство (3) с использованием (!) и (2) приводится к виду Г(:) = М,— — 1. (5) (4 — и)з г 279 2 25. кОсые скАчки уплотнезщзв 14з этих фактов вытекает, что ударная поляра имеет форму сааза с угловой точкой Вы показанного на рис. 3. В силу свойства звездности угол наклона у линии скачка к направлению вектора скорости перед скачком п1 всегда больше угла Маха О1 для состояния перед скачком. Точка (ис,О), где ис = яз = яз(1 — Мз гс), Рис.
2 соответствует прямому скачку. Поэтому из теоремы Цемплена 5.4 следует, что ио ( сэ, т. е, течение за прямым скачком всегда дозвуковое. Что же касается косого скачка, то за ним течение может быть как сверхзвуковым, так и дозвуковым. Кривую (б) можно рассматривать и для значений з ( О. В этом случае, согласно следствию 5.4, состояние «1» должно находиться на задней стороне скачка. На рис. 3 значениям э < О соответствуют бесконечные ветви, расположенные в области и ) Рн Вертикальная асимптота этих ветвей связана с поведением функции Г(г) при г < О (см.
рис. 2) и дается уравнением и = и~ = йщ(1+ г1). Рис. 3 Важной особенностью косых скачков является то, что угол поворота вектора скорости 0 не может превосходить наибольшего значения Р„ка, показанного на рис. 3. 280 Главк!Ч Днтмкгн!л:. Чстхповившисся тнчвн!яя В политропном газе функция Г(г) дробно-линейна: Г(г) = 2 + (7 т 1)г (10) Н ударная поляра является кривой третьего порядка, которая известна как строфоида: Наряду с формулами (6) и (7) полезно отметить еще аналитическую зависимость между углами В и т в косом скачке. Она выводится с помощью равенства ити = о! гйп т, в силу которого из (!) следует уравнение г = М! вш ЧГ(г). (12) Подстановка получаемого отсюда выражения для Г(г) в (7) и замечание, что и!и = 18 В, дают соотношение <М! г) ГКВ = Чйх (18) которое вместе с (12) и определяет искомую зависимость после исключения амплитуды г.
Для полнтропного газа с помощью (! 0) получается формула 3 — 3 гйп т — М, !8В=сгйХ ть! 2 з!г! Х+ М-, (14) В(0, ф) = О, В(0,!В) = с! > с! и граничным условием В(д, 0) = Во > О. Рассматриваемая задача альтер- нативна задаче обтекания выпуклого угла (см. 8 22); она также является аналогом задачи о поршне, но на этот раз вдвигаюи!емся в газ.
Обтекание вогнутого угла. Постоянное плоскопараллельное сверхзвуковое течение над стенкой В!Л отклоняется, обтекая угол В!АВг, меньший 180' (рис. 4). Задача состоит в построении течения во всей области внутри этого угла. Как краевая задача для системы уравнений (22.23) (при и = 0) с постоянными граничными данными вдоль лучей В!лн, = О, ч)лн, = 4! > с!, В(л в, = Во > О, она является конически автомодельной (см.
8 13). При этом одной из искомых величин будет постоянная скорость аг = а!лн,. Можно также поставить эту задачу и как задачу Коши на плоскости потенциала в области ( р > О, ф > 0) с начальными данными при р = 0 4 25. копыл скачки уплотнвния В, А Рис. 4 Непрерывное решение этой задачи не существует. Действительно, в случае непрерывного течения к заданному постоянному сверхзвуковому потоку вдоль выходящей из вершины угла характеристики Со должна примыкать простая (-волна (теорема 24.2). Оиа обязана быль центрированной в вершине угла, так как иначе вдоль некоторой принадлежащей ей характеристики С > будет сильный разрыв. Но ~акая центрированиая (-волна может быть только волной разрежения (теорема 24.3), н потому она должна вырабатывать на стенке АВ скорость <з ) 4<.
Однако это противоречит факту сохранения инварианта Римана <, в силу которого )<(<)<) = <)о + д(<Эз) и лолжно быть оз ( д<, так как ро ) О. Можно найти решение, в котором постоянное течение вдоль В< А переводится в постоянное течение вдоль АВз посредством косого скачка уплотнения. Для этой цслн надо по данным <)ы сы р< построить ударную попару и провести луч из начала координат под заданным углом до (см. рис. 3). Точка пересечения Вз этого луча с ударной полярой дает искомос решение, в котором АХ сеть линия косого скачка.
Это реп<ение н показано на рис. 4, где также изображены (тонкими линиями) характеристики Сч до и после скачка. Найденное решение используется в задачах обтекания клиновндных тел равномерным сверхзвуковым потоком, Напримср, в случае бесконсчного клина, обращенного острием А навстречу потоку (рис. 5), течение разделяется прямой линией тока В<А на два течения — обтекания вогнутых углов В<АВз и В<АВз. Здесь возникают следующие важные обстоятельства. Во-первых, пересекающий луч может встречать ударную поляру как минимум дважды, например в точках Вз и Вз, что дает два возможных решения (см. рис. 3). То, которое соответствует точке Вз, называется слабым решением, а соответствующее точке Вз — сильна<м решением. При этом для отбора един- 282 ГЛАВА 1Н.
ДВУМ!.!'ИЫГ У<1АНОВИВШИКСЯ ТЕЧВНИЯ ствснного решения требуются какие-то дополнительныс условия, которые в настоящее время точно нс сформулированы. Во-вторых, указанные решения существуют, только если угол Оа достаточно мал, точнее, сели Оо < Оам, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
