Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 35
Текст из файла (страница 35)
12). В некоторый момент времени 1о в сечении х = хс ударная волна приходит в контакт с простой волной. Требуется дать описание и расчет процесса взаимодействия ударной и простой волн для 1 > 1о. Рис. 12 Качественное отличие этой задачи от предыдущих состоит в том, что возникающее при 1 > 1о движение уже не состоит только из ударных и простых волн. Процесс взаимодействия ударной и простой волны происходит в течение конечного промежутка времени и в конечной массе газа. За время взаимодействия по этой массе проходит ударная волна переменной интенсивности, оставляя за собой энтропийный след — область с переменной энтропией.
В итоге вырабатывается движение, элементами которого являются идущая вправо преломленная ударная волна и идущая влево преломленная простая волна. На основании изложенных в ~ 15 общих соображениях об областях определенности, влияния и зависимости решения вырабатывается качественное представление о возникающей конфигурации на плоскости событий, показанной на рис.
13. На отрезке взаимодействия ЛХР линия ударной волны искривляется, а характеристики С простой г-волны претерпевают излом. Выше .зинин ЫР образуется область переменной энтропии, которая показана на рис. 13 семейством траекгорий Со, нанесенных пунктиром. Область ЯМАЛ представляет преломленную простую волну, идущую по газу в состоянии 2 с энтропией Я = Вз. В областях 1, 2, 3 и 5 движение является постоянным, а область 4 с границей КРЕС представляет собой энтропийный след.
РЕЕ ГЛАВА ! Гь Одномееяни! Неустянеяиенгвыеся дйийения Рис. 13 На рис. 14 показана (и. р)-диаграмма этого процесса, где линия 1-3 изображает данную простую г-волну, а линия 2 — 4 есть геометрическое место состояний движения за ударной волной на участке взаимодействия М)'. Эта линия отнюдь не совпадает с (и,р)-диаграммой Р возможных переходов из состояния 2; на самом дело она заранее неизвестна. Поэтому здесь для расчета пропссса взаимодействия надо непосредственно решать довольно сложную задачу Коши с начальными данными при 1 =- 1о, постоянными при ж < хьы разрывными в точке М и известными, но не постоянными на интервале МЖ.
Решение этой задачи уже не сводится к алгебраическим уравнениям и может быть найдено только чисяснным расчетом (см. 0 также (6)). Возможные здесь приближенные методы связаны с прсдположснном о том, что ударная волна Рис. 14 слабая. Акустическое приближение. В этом приближении рсшснис строится элементарно. Здесь предполагается, что ширина простой г-волны мала и она изображается иа плоскости событий одной характеристикой С а область взаимодействия сводится к одной точке (см.
Рис. 14), Основными малыми величинами можно считать изменение скорости в простой волне из = () и отклонение скорости ударной волны от скорости звука )3 — с1. Состояние 2 опредсляется формулами (20), где надо положить 13з .= Р, а давление в состоянии 3 . из перехода 1 — 3 в простой волне: (24) 189 618.
Сгмь злдлч решение уравнений (и.р)-диаграмм переходов 2-4 и 3-4, которые имеют, соответственно, вид рэ + А~ил =- рз + 61 из, Ра — и г ил — Рз — 10 и з, и использование формул (20) и (24) даст значения величин за фронтом: п4 О г 0 сы Рл Р1 г Р1е~(О ' г с~) 1 2 (26) Для качественного анализа решения можно сравнить давление в областях 2 и 3 с давлением в области 4.
С помошью формул (20) и (26) нз (25) полу- чаются выражения Рл — рз = Р1сг( — с1), рл — рз = — р1еЛ. (27) Первое из них, в силу теоремы Цсмплсна 5.4, показывает, что в газ 3 всегда ндст ударная волна. Из второй формулы (27) следует, что взаимодействие сохраняет характер простой волны: если до взаимодействия была волна разрежения, для которой У > 0 (или волна сжатия, для которой У < 0), то и после взаимодействия простая волна останется волной разрежения ввиду неравенства рл < рз (соответственно, волной ежа~на ввиду неравенства рл > рз).
7-1 с=со-ь и. 2 (28) Задача о безударном сжатии. Этой задаче посвящен большой цикл работ А. Ф. Сидорова [14). Здесь она рассматривается в классе одномерных нзэнтропнчсских движений политропного газа с плоскими волнамн. В этом случае задача решается в явном виде. Постановка такова: пусть на отрезке 0 < к < а находится покояшийся политропный газ с известными параметрами ро, со и пусть в момент времени 1 = 0 в этот газ из положения к = 0 начинает вдвигшлься поршень с нулевой начальной скоростью. На плоскости событий (к, 1) из точки О выходит прямолинейная характеристика ОВ, разделяюшая области возмушенного и покояшегося газа, которая приходит в точку В в момент времени 6 = а/го.
Требуегся найти такой закон движения поршня т .= Л (1), чтобы его траектория соединяла точки О и В и чтобы в области ОАВ не возникала гралиентная катастрофа (см. рис. 15). Оказывается, что при заданном значении а > 0 эта задача имеет единственное решение. Действительно, из теоремы 10.2 следует, что область ОАВО должна покрываться простой 1-волной, т. е, в ней скорость газа и и скорость звука с связаны (см. (16.9)) соотношением (7 — 1)и — 2с = — 2со, откуда 190 гллвя 111.
Одномвгньа пвкстьновив!лился движкпяя О а х Рис. Г5 Возникаюшая 1-волна необходимо должна быть цснтрирована в точке В, так как иначе нс будет выполнено либо условие безударностн движения (отсутствие градиентной катастрофы), либо условие направленности движсния поршня в сторону газа (детальная проверка предоставляется читателю). В (-волне, центрированной в точке В, для любой (прямолинейной!) характеристики С типа АВ (рис. 15) с уравнением сх~д1 = и т с выполнено равенство (с учетом (28) и а:=. сеЬ) соЬ -х 1+1 Ь вЂ” 1 2 =и+с= — иьсо, которое в точке А поршня переписывается в виде дифференциального уравнения для искомой функции Х(г) ссЬ вЂ” Х(1) Ь вЂ” 1 2 Х'(г) + сс.
Игггегрированне с начальным условием Х(0) == 0 приводит к искомому результазу Х (!) = сс6 + †" (Ь вЂ” Г) — †соЬ ' '(Ь вЂ” 1)т'г~ (29) 2сс "г + 1 з .1 Полезно отметить, что после растяжения переменных х, 1 Ьт. Х(1) = сеЬУ(т) 119. Асим!поги«веков иовалгнив удявнца волн 191 формула (29) приобретает стандартный вид з У(,т) = 1 + — (1 — т) — ' (1 — т) т+ 2 Л",.1 э+1 (30) дающий решение «эталонной» задачи о безударном сжатии для значений параметров а = б = се = 1. В результате движения поршня по закону (29) вся масса газа гп = про, первоначально распределенная по отрезку (О, а), при 1 = б сжимается (коллапсирует) в одну точку х .=- а, где достигается бесюнечиая плотность.
Аналогичные одномерныс задачи о цилиндрическом или сферическом безударном сжатии также решались, но лишь численными методами. ф19. Асимптотическое поведение ударных волн Амплитуда слабых ударных волн. Вначале выволятся формулы ударного перехода, удобиыс для анализа слабых ударных волн. Пусть индекс «!» обозначает постоянное состояние перед фронтом и индекс «2» — со- В приложениях часто встречается такой вид движения, когда под действием некоторого локализованного во времени и пространстве возмущения поюящегося газа с данными параметрами рн р~ формируется ударная волна, которая затем распространяется до бесконечности.
При этом ввиду прекращения внешнего воздействия движение ударной волны происходит так, что ее амплитуда, вообще говоря, убывает и стремится к нулю при à — оо. Например, такое движение может быть произведено поршнем, который, начиная с момента времени г. = О, движется с постоянной скоростью, а затем В МОМЕНТ ВРЕМЕНИ ге > 0 ВНЕЗаПНО ОетаиаапнааетСЯ И ПОКОИТСЯ ПРИ Г > Го. Оно может быть вызвано также взрывом, когда при 1 == О в области г < го возникает высокое давление ро > ры которое при г > 0 производит, в результате распада разрыва на границе г = го, уходящую от центра взрыва ударную волну. Итак, воздействия на газ, вызывающие ударную волну, могут быть различны и начальныс условия не являются строго фиксированными.
Тем не менее оказывается справедливым замечатсльньш факт, имеющий большое познавательное и практическое значение, состоящий в том, что при предположениях достаточно общего характера асимптотическое поведение одномерной ударной волны при Г ж оказывается, с точностью ло одной постоянной, вполне определенным. Здесь будет дан вывод этого закона «затухания» для плоских, цилиндрических и сферических ударных волн.
!92 Глхвх111. Одномв ныв нвтгтьпОвиви!икСЯ двнжш!Ия стояние на заднсй стороне фронта ударной волны. Вводится безраваерная величина Рг Р! (1) р!с, г называемая аиллитудойударной волны. Если амплитуда г задана, то согласно тсорсме 5.5 вес остальные величины на заднсй стороне фронта однозначно определены. Для вывода асимптотики достаточно найти их разложения по стспеням г до определенного порядка. В дальнейшем будет использовано обозначение часто встречающейся величины (2.25) д(рс) ти + 2 с. др 2 (2) Непосредственно из определения (1) следует г Рг Р! ! р! с!г' Далее, в силу теоремы 5.2 справедливо представление (6) Яг = д! -1- 0(г~). (4) И"(р!) = —, И'"(р!) = — — „ / д(рс) ! 2В! ргсг рзсз! с, ~ др ~ рз!св! Следовательно, 'т"г —.— ) ! — 1'"! г -1- — г + О( ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
