Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Если состояние перед фронтом находится справа (соответственно, слева) от него, то говорят, что ударная волна абраи1ела вправо (соответственно, обращена влево). Далсе, так как через любую звуковую характеристику газ течет, то у нес также есть персдняя сторона и задняя сторона и можно различать состояния псред характеристикой и за характеристикой, вполне аналогично ударным волнам. Говорят, что характеристика обращена вправо (обращена влево), если состояние газа перед характеристикой находится справа от нее (соответственио, слева от нес).
Очевидно, что всякая характеристика С всегда обращена вправо, а всякая характеристика С всегда обращена влево. Простая волна называется обрашснной вправо (обращенной влсво), сели се прямолинсйныс характеристики обращены вправо (соответственно, влево). Со~ласно прсдыдушему выводу, всегда простая )-казна абраи)ена вправо, а простая г-вгына обращена влево. Ввиду того, что каждая простая волна имеет конечную протяженность в направлении оси к, говорят также о состоянии движения перед простой волной и о состоянии движсния за яростной волной. Метод (и,р)-диаграмлп При рсшении задачи о распаде разрыва (а также и в некоторых других вопросах) используется специальный мстод построения и анализа так называемых (и, р)-диаеразьи как для простых, так 9 17.
Рл(т(лд пвоизвольнОГО РлзРывл 169 и для ударных волн. Этн диаграммы описывают состояния двмясеиия (и, р), в которые может перейти данное состояние движения (ио, ро) в рсзультате прохождения какой-либо волны, в предположении, что фиксировано также некоторое значснис энтропии ао. При этом плоскость Й (и, р) называется г плоскостью состояиий двигк ения. Определение 1. (и, р)-диаграммой простых воли, с цеитрам (ио, ро) называется геометрическое место точек плоскости состояний движения, изображаюшнх вссвозможныс состояния (и. р) за простыми волнами, нмеюшимн состояние (ио, ро) перед волной.
Уравнения простых волн (16.16) и (16.17) показывают, что (и,р)-диаграмма простых волн есть некоторая линия, уравнение которой получается, если величину о рассматривать как функцию давления р, т. е. а = а (р). Тогда уравнение (и, р)-диаграммы с центром (ио, ро) простых г-волн запишется в виде и+ а(Р) = ио -' о(ро), (з) Г) гч а для простых 1-волн — в виде Рис. 2 и — о(р) = ио — т(ро), (4) Полная (и, р)-диаграмма простых волн показана на рис. 2. Ветви, на которых р ) ро, соответствуют волнам сжатия, а ветви, на которых р ( ро,— волнам разрежения. Ясно, что эта диаграмма симметрична относительно прямой и = ио. Важные для дальнейшего выражения первой и второй производных от и по р легко вычисляются исходя из определения (16.4) и, с величиной тп из (2.22), даются формулами ((и ! ((зп гп .Р 2 (5) (Р Рг' Дрз 2Р2(3 Определение 2. (и,р)-диаграмиайударных воли с центраи (ив, ро) называется геомстричсскос место точек плоскости состояний движения, изображающих всевозможные состояния (и, р), в которыс состояние (ио, ро) (прн фиксированном значении энтропии оо) может перейти в ударных волнах.
При этом не предполагается, что состояние (по, ро) находится перед волной. Уравнения (и,р)-диаграммы ударных волн вытекают из уравнения ударного перехода (4.17) и уравнения адиабаты Гюгонио. В уравнении (4.! 7) 170 ГлА»л 111. Одиомкгныв нвтсглновившився движвпия надо индекс «1» заменить индексом «О», убрать индекс «2» и заметить, что в — оо = и — ио в силу определения (4.11), после чего это уравнение примет вид (и по) = (Р— Ро)(«о «).
Входящая сюда величина И является функцией р, определяемой адиабатой Гюгонио с центром ('«шро). Эта функция, введенная равенством (5.1) и исследованная в з 5, здесь имеет вид (б) 1' = И'(Р' "о Ро). Подстановка выражения (б) в предыдущее уравнение и дает уравнение (и, р)-диаграммы ударных волн (7) (и — по) = (Р— Ро)(«о — И'(Р1 И7,ро)) Входящая сюда величина Ъ'~ однозначно определяется значением ро из уравнения состояния ро = д(Ъ~, Яо), так как значение Яо предполагается закрепленным. Необходимо иметь в виду, что (и, р)-диаграммы простых волн и ударных волн с данным центром (ио, ро) меняются при изменении энтропии Яо (или удельного объема К>) и, следовательно, образуют однопараметрнческое семейство (с параметром 5о или 14~).
Непосредственно из (7) видно, что (и, р)-диаграмма ударных волн симметрична относительно прямой и = ио. Дифференцирование уравнения (7) один и два раза дает соотношения 2(и — по) — = Ъо — Иг — (Р— Ро) —, г(п г(И7 ~(Р йр ' (8) Нэи 7 Н«1 дИ' (2И; 2(и — ио) — + 2 ~ — ( .= -2 — (р — ро) —. (9) (Р ЩР' Соотношение (9) в точке (ио, ро) приводит к формуле (10) где последнес равенство следует из (5.7). Это лает два различных, отличающихся знаком, значения дяя производной Ни/Нр в центрс (ио,ро). Поэтому (и,р)-диаграмма (7) состоит из двух ветвей, пересекающихся в ее янн, 4 ! 7. РАСПАД ПРОизволъного РА3РыВА ! 7! центре:щщгкивечным углом. Далее, в силу (7), из (8) получается неравенство (и — ио)(р — ро) — > О.
г(и (11) др (12) (и — Р))о = (иа — Р)Ъ', который можно преобразовать к следующему виду; (и — иа)Ц = (Р— ио)()о — Ъ'). Отсюда следует, что знак произведения (и — ио)(р — ро) совпадает со знаком всличины Р— ио, который определяется тем, куда обращена ударная волна. Именно, всегда Р > ио для волн, обращенных вправо, и Р < ио для волн, обращенных влево. В силу неравенства (!!) это означает, что ветвь (и,р)-диаграммы, на которой Ни/ор > О, соответствует волнам, обрашенным вправо, а ветвь Ыи/ор < 0 — волнам, обращенным влево. Полная (и, р)-диаграмма ударных волн показана на рис. 3. Значение производной г)~и/Нрз в центре (ио,ро) вычисляется путем дифференцирования соотношения (9) и после преобразований с учетом формулы (5,7) и обозначения (2,22) оказывается таким (для ветви с пи/пр > 0): ози тпо+ 2 0 и, Сравнение формул(!О) и (! 3) с (5) показывает, что (и, р)-диаграммы простых и Рис. 3 ударных волн с общим центром (иа ро) имеют в точке (ио, ро) одинаковый наклон и одинаковую кривизну, т.
е. имеют клеенке второго порядки. В политропном газе, в силу уравнения (4.21), функция (б) такова; (7 1)Р ч (7 + 1)ро (7 + 1)р + (7 1)ро (14) Отсюда и из теоремы 5. ! следует, что каждая из ветвей есть монотонная кривая, вдоль которой принимаются все значения давления, 0 < р < оо. Кинематическое различие этих ветвей выясняется с помощью закона сохранения массы в ударном переходе !72 ГЛАВА И!. ОлномеРНЫЕ НЕУСГАНОВИВШиехя д!Н!Жлния Г1оэтому в политропном газе (и. р)-диаграмма ударных волн описывается элементарными уравнениями каждой из ветвей 21о и = ио -Е (р — Ро) (2 - 1)р -Р (3 — 1)ро (15) где знак «+» берется лля волн, обращенных вправо, и знак «-» для волн, обращенных влево.
Существование и елинственность автомолельного решения. Основной качественный результат формулируется в виде следующей теоремы. Теорема 1. Задачи о распаде произва7ьного разрыва в пормачы!ох! газе при любых начальных данных (1) имеет одна и только одна автомодечьное рещение вида (2). Дг7кА !Ательстно. Согласно теореме единственности 15.1 в некоторой окрестности полуоси х < О решение постоянно: и = и !.
р = р!, р = р!. Это решение может измениться либо непрерывным образом в некоторой центрированной г-волне разрежения, либо через ударную волну, обращенную влево. Этим изменениям соответствуют (и.р)-днаграммы, состоящие и! правой нижней ветви на рис. 2 и левой верхней ветви на рис. 3. Их совмещение на одном чертеже дает (и, р)-диаграмму воз»7ожных состояний, в которые может перейти состояние 1 (рис.
4). Аналогично строится (и. р)-диаграмма возможных состояний, в которые может перейти состояние 2 посрслством волн, обращенных вправо (рис. 5). Если обе эти диаграммы совместить на одном чертеже, то онн обязательно пересекутся, и притом только в одной точке. Этот факт вытекает из свойств нормального газа и алиабаты Гюгонио (теорема 5.1), в силу которых эти диаграммы определены в интервале О < р < ос и монотонны, причем вдоль (и, р)-диаграммы ударных волн ',и! — оо при р -- оо. Исключением является лишь тот случай, когда точка а! оказывается лежащей лсвсс точки аз.
Всего имеется 1О типов случаев в эависимосги от того, на какие части (ударного У или непрерывного П перехода] (и, р)-лна!рамм возможных сос гояний попадает точка пересечения. Утверждается, что точка пересечения (из.рз) даст рсшсние. Действительно, оба газа после переходов 1-3 или 2 — 3 имеют В состоянии 3 одинаковую скорость из и одинаковое давление рз. Поэтому их можно связать контактным разрывом, идущим по лучу х = изй вдоль которого могут претерпевать разрыв плотность р и энтропия Я. Полный перечень всех 1О возможных типов конфигураций распада произвольного разрыва дан на рис. 6 — 15, где пунктиром на плоскости Лз(х, Е) показана траектория х = изб Исобходимо доказать еще, что луч Л = из всегда идет в секторе между задними фронтами волн, осуществляющих переходы 1-3 и 2-3. 174 ГНАВА Ш. ОДИОМЕРНЫР НЕУОГАНОВИВШИРРОЯ ДВИЖЕНИЯ О и о и, Н Рис. 6 о х Рис.
7 о и, и Рис. В о и> и Рис. 9 Рис. 1О 417. РАОП~ЦФЩМВПВОЛьНОгО ГЛЗРЫВЛ 175 Рис. 11 о и Рис. 12 О и, Рис. 13 О х о и~ и Рис. 14 а, вх и Рис. 15 !7б ГЯАВА П!, ОдномегныБ нвустАновившиься двины!ия или ударных), обращенных в одну сторону. Например (рис.
!6), если бы существовали две ударные волны, обращенные вправо, идущис со скоро- стями )21 > 27',, то должны были бы выполняться неравенства Р! > и1, )7, > и1. Тогда в силу теоремы Цсмплена (теорема 5.4) было бы 22! — и < с , 01 — и! > С1, р ( ) п1 и1+ п(р, У1) — гг(Р! У!) (Р > Р1). (р < р!) и для переходов из состояния 2 (рис. 5) е'~(р) =- из — а(р. Уз) . Р о'(р, Уз) т (р > рз).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
