Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Для выяснения этого вопроса надо обратиться к транспортным уравнениям, как раз и описывающим эволюцию трансвсрсачьных производных (градиентов основных величин) вдоль соответствующих характеристик. Полученныс в э 15 для любых одномерных движений транспортные уравнения (15.13) н (!5.15) в случас изэнтропических движений существенно упрощаются и, как оказывается, могут быль проинтсгрироваиы. Прежде всего, из сравнения формул (15.7) и (6) видно, что здесь ве- 153 Глава!П.
Одномввныв нвтщлновившився лвижвпня личины Л и Е просто равны произволным по т от инвариантов Римана: й=гя. Б=! . (29) Кроме того, в уравнении (!5. !3) надо положить и == О, а также, в силу постоянства энтропии, Л4 == О. В результате транспортное уравнение для величины Л вдоль характеристики С ь принимает вид 4 ' 4 (30) Аналогично выглядит транспортное уравнение для величины Е вдоль характеристики С; оно может быть получено из (30) заменой Р+ на Р и Л на Е, а Е на В. Конечно, уравнение (30) (и ему аналогичное для Б) нетрудно получить и непосредственно, применив оператор Р, к уравнению Р+г =.
0 (или Р ! = 0). Уравнение Бернулли (30) приводится к линейному подстановкой В =- = 1/с: щ — 2 тч.2 4 4 (31) Действительно, во-первых, из формулы 2сР, = Рь — Р и того, что Р ! = = О, следует равенство 2сЬ вЂ”.— Р ьй Кроме того, определение (6) и соотиощенне Рьг = О влекут равенства Р+! = Р+(! — г) = — 2Р<.а(с) = — — Р р.
2с Р Вместе с предыдущим это дает другое выражение для величины Ь (анало- гично получается н выражение для й): 1 1 Р ' Р (33) Во-вторых, в силу определения (2.22) величины т справедливы равенства — — — — — — — = — 1~ у1-. гп — 2 Лю 1 1д Л д )с (34) 4Р 4( 2Р 4др рз др ~Р' Для его интегрирования следует заметить, что коэффициент при г может быть записан в виде — Ь =. Рь )и 1( -„. (32) й!6. Итэнгеопичкскил двггжвпня г олескими волнами 159 Теперь очевидно, что из (33) н (34) следует (32).
С помощью выражении (32) уравнение (31] легко приводится к следующему: (35) .О+ г11 При решении этого уравнения нсобхолимо помнить, что производная Вч берется вдоль характеристики Сч. Без потери общности можно считать, что интегрирование вдоль С по Г начинается от точки т =- О. Пусть значения величин при 1 = 0 отмечаются индексом нуль. С этим соглашением интегрированис уравнения (35) даст соотношение — =- зо — + — — Ш. с(с Наконец, возвращение к величине Я = 1/г дает окончателыю следующую явную формулу для решения транспортного уравнения (30): (36) (4 )г ) т+2 /Рва 'и дсс о(с.1 Формула (36) описывает изменение трансвсрсальной производной й = ге инварианта Римана г вдоль любой характеристики С+.
Аналогичная формула справедлива для описания измснсния трансверсальной производной Е = (, ннварианта Римана ( вдоль любой характеристики С; (37) ) 7п 2 Яйз о<с 1 Формулы (Зб) и (37) показывают, что если )2с > О и Ес > О, то при всех 1 > 0 будет также Л > 0 и Е > О. Значит, если начальные распределения ннвариантов Римана (38) Г(х,О) = го(к), 1(х,О) = (с(г) удовлетворяют неравенствам го(г) > О (о(ж) > 0 (39) 1бо Гльвь ОК Олномьвньл- нвзс~лновившигся движения то в решении задачи Коши с такими начальными данными градненгпнан катастрогра невоз1южна.
Если же в некоторой точке ко будет, например, г (то) .- Йо(то) < О, то вдоль выхолящсй из точки (ко, 0) характеристики Сч все время будет й < О до тсх лор, пока знамснатель в (36) пе обратится в нуль, Там, где это случится, и произойдст градиентная катастрофа. Момент настугшсния градиентной катастрофы 1, определяется уравнением — 1 — =- — О.
гп -ь 2 1рсо 1 4 У Рог Яо (40) о~с, ) (41) 1,. Л то- 21' о Здесь при Во < 0 градиентная катастрофа неизбежна, причем в момснт времсни, опрсделяемый непосредствснно по начальным данным: 1„= — ' „(Л.<О). (шо 1 2))?о (42) Этот результат согласуется с выводами о поведении простых волн, полученными вслед за теоремой 3. Неравенство й = гв < 0 в простой 1-волне равносильно неравенству (и -ь с)е < О. В силу теоремы 3 это означает, что характеристика С+, на которой в момснз времени (42) наступает градиентная катастрофа, принадлежит волнс сжатия. Аналогичные результаты справедливы для простых г-волн. Плоскость инвариантов Римана.
При изучении гладких изэнтропических движений газа с плоскими волнами, носящих общий характер, Для момснтов врсмсни 1 > г„непрерывное движение нсвозможно. В действительности оно продолжается, ио уже как движсние с сильными разрывами. Отсюда становится понятной одна из важнейших особенностей движсния газа: в первоначально непрерывном двихеении со временел~ гиогут возникать сизьные разрывы. Применение этих выводов к простым волнам дает особенно краснвыс рсзультаты.
Например, в простой (-волне вдоль прямолинейных характеристик семейства С подынтегральное выражение в (36) сохраняет постоянное значение, равное его значению при 1 = О, в силу чего эта формула упрощается до следующей; й !б, изэпт!'опичлскив движения с плоскими волнлми !б! иногда с успехом используется метод перехода в уравнениях (!3) к независимым переменным -- инвариантам Римана. Это возможно, ссли на данном (или на искомом) решении из системы уравнений г —: г(.т,.1), 1 = 1(х,1) можно однозначно выразить всличины х и ! как функции переменных г и 1: (43) х = х(г,1). ! = 1(г,1). В таких случаях говорят о преобразовании плоскости событий Я~(х,1) в лласкасть анвариантав Римана йз(г, 1)..
Йз(х, 1) — Рз(г, 1) . (44) Достаточным условием локальной взаимной однозначности преобразования (44) является отлично от пуля якобиана В силу уравнений (13) для этого якобиана получается выражение (45) ! = 2сг,1 . Отсюда видно, что на данном движснии газа при с ф О тождественное равенство 3 = О возможно для трех типов движения. Если г = О, то из (13) слсдуст, что также тч — — О, в силу чего инвариант г тождественно постоянсн.
По теореме 1 непостоянное движенис этого типа есть простая г-волна. Аналогично, если 1 = О, то непостоянное движенис есть простая 1-волна. Наконец, если одновременно г =. О и 1н = О, то движенис является постоянным. Эти выводы согласуются с тем, что область на плоскости событий, занятая простой г-волной, изображается на плоскости инвариантов Римана линией г = ! а, область простой 1-волны — линисй 1 = 1о, а область постоянного движения — одной точкой (г, 1) = (го, 1о). За исключеююм этих особых случаев, преобразование (44) отображает область движения на некоторую область плоскости Йз(г,(), Вывод уравнений для функций (43) можно выполнить разными способами.
Проще всего заметить, что так как вдоль характеристики С! мснястся только инвариант Римана 1, то ее уравненис 0х = (и + г)а1 равносильно уравнению х! = (и+ с)1!. Аналогично, вдоль С меняется только г и !62 Гллпл !!!. Одиюмагиыь наустл!!Ови!!шикс'я движения х! -- (и — ' с)!!, х„= (и — с)1,, (46) где индексами обозначены частныс производные по г и 1, а величины и н с являются, согласно (10), известными функциями независимых переменных (г, 1). Так как система уравнений (46) линвйла, то тем самым установлен важный фаик уравнения одномерных изэнтропичсских движений с плоскими волнами допускают а!очную яинеаризацию; она достигается преобразованием на плоскость инвариантов Римана.
Послс исключения величины х (путем перекрестного дифференцирования и вычитания) система (46) сводится к специального вида линейному однородному дифференциальному уравнению с частными производными второго порядка — уравнению Дарбу: 1„! — Н(г 1)(1, — 1с) = О. (47) Здесь извсстная функция Н(а) опрсделсна параметрически: г =- 2а'(с), И(") = ги(с) + 2 8с (48) с параметром с, гдс га =- !гс(с) сеть величина (2.22), рассматриваемая как функция от с.
Для политроиного газа справедлива формула Н(г -1) = — ', д == ,~3, 7+ ! и — 1' ' 2(7 — 1)' (49) причем уравнение (47) становится уравнением Эйлера-Пуассона: — — (Π— !!) = О. (50) При решении краевых задач для уравнения (47) полезно иметь в виду слсдуюцсие формулы, справсдливыс с величиной Л = рс, которая рассматривается как функция от а:= г - 1: с) =- с — !п!и !! = — —,!п!с. (51) д, ! д 'дг ' 2 да — (и+ г) = —,(и д, д дг д1 Здесь существенно то, что в силу последней из этих формул уравнение (47) записывается в самасанряженссай форме: (52) (!н!)„+ (!ц„)! = О.
получается уравнснис х„-.- (и — с)1,. Следовательно, искомыс уравнения движения на плоскости инвариантов Римана таковы: а !б. изэнтгопичгскив Лвижгния с плпскими вОлилМи !бз Взаимодействие центрированных волн. Рассматривается зш!ача о взаимодействии, даюшая пример применения метода расчега движсния газа путем решения уравнения (52). Простейшая постановка задачи такова. При 1 = 0 на ннтсрвалс х1 ( х < хз задано посгоянное решснис и = ио. с == со! простые волны, которые согласно тсорсме 2 должны примыкать к этому постоянному движению, предполагаются центрированными в точках А(лз,О) и В(яа,О).
Требуется описать движение газа после того, как эти центрированные простые волны вступят во взаимодействие. Качественная геометрическая картина движения на плоскости событий показана на рис. 4. Характеристики АЛ7 н ВМ с уравнениями, соответственно, я = лз + (ио + са)1 т = кз + (ио — со)1 ограничивают область постоянного рсшеиия. В области АЛ(Р находится простая 1-волна, цснтрированная в точке А, а в области ВЛ)Я вЂ” простая г-волна, цснтрнрованная в точкс В, В этих областях решение описывается формулами вида (19), (20). Областью взаимодействия является криволиисйный четырехугольник РЛЩВ, в котором и надо найти решение.
Так как характеристики МР и Лэсли и распредсления вдоль них искомых величин известны из описания цснгрированных волн, то рассматриваемая задача сволнтся к задаче Гурса (см. ~~ 7). 0 з'~ ь=ц с ьэ Рис. 5 Рис. 4 Для ее решения необходимо построизь образ движения при отображении (44) на плоскость инвариантов Римана. Координаты точки Лу(го. 1о) таковы: го =- ио+о(со) 1о = ио — о(го). Вдоль МР справедливы равенства 1 = 1о г = 1о + 2п(с).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
