Л.В. Овсянников - Лекции по основам газовой динамики (1161634), страница 19
Текст из файла (страница 19)
2' (10) Уравнение для потенциала скоростей. Из уравнений (10) можно исключить плотность р и получить одно независимос уравнение для потенциала,р. С этой цслью используется справедливое при 6' = сопаг равенство Рр = сзРр, в силу которо~о из (3) при г( = Р следует сзРр = рР(. Поэтому первое уравнение (10) после умножения на с2 переписывается в виде Р1+ с ЛЗ2 = О. Наконец, примснсиие оператора Р ко второму уравнению (10) и исключение Р( дает требуемый результат: Р у~ + -)~ф~ — с~Ь;о = О.
2 (11) Р = д/д1+ 27~р 27, (12) Это уравнение называется уравиениеи д.ы потенииала скарасн~ер1 безви- хрсвого изэнтропического движения. В нем через первые производныс от потенциала 22 выражаются как оператор Глхвх П, Спьцихльпыв моЛили движнпия <лзх ! 04 гак и входяшая в определенную уравнением состояния газа зависимость с- —. сг(<) энтальпия <, значения которой даются вторым уравнением (10). С расшифровкой оператора Р согласно (12) уравнение для потснциала скоростсй (11) принимает вид <ч<р ! ч<<р,.7 ( 1(т7<р!г — сг<хр = О. <,2 Наконец, в декартовых координатах, когда:р = чу(к, 1<, г, 1), уравненис (11) в подробной записи выглядит так: <р«+ 2изгя< + 2ьру< + 2ш<р„+ +(иг — сг)р + (иг — с )<р„„+ (шг — гг)<р„+ -~-2ию<рчу + 2ишчугл -1- 2и<н<ру.
—— О, (14) где (и, и, ш) =- (Чуя, <ру, <р,). Уравнение (14) является кваэилинейнььи дифференциальным уравнением с частными производными второго порядка. Характеристики уравнения (14) определяются <ерсз нормальные характеристические векторы аналогично тому, как это делалось для системы уравнений газовой динамики в г 6.
Роль характеристической матрицы (6.15) здесь играет характеристическая квадратичная фора<а, которая составляется по следующему правилу: берется векгор 6 = (т, 6, <7, С), и в уравнении (14) каждая производная второго порядка заменястся произведением соответствуюших координат этого вектора, например, на место уг«подставляется г', на место р„подставляется Рг и т. д. В результате для уравнения (14) характеристическая квадратичная форма оказывается такой: (!(6) =гг + 2и~г+ 2и<!г -1- 2шСт -<- (и — с~)с + 4- (о' — сг)<)г 4- (шг — гг)Сг + 2иибП+ 2иш6С+ 2ишг)С.
Очевидно, что ес можно записать компактно: 6)(ье) г сг(ч +9 +ч ) (16) где Х = т+ и~+ и<) 4 и<~ — уже встречавшееся выражение (6.16). Нормальные характеристические векторы б определяются как векторы, обра<цаюшие в нуль форму Я(~). Из (! 5) видно, что они совпадаю г с теми, которые опрсделялись равснствами (6.19), т. с. дают две звуковые характеристики разных семейств. Зто означает, что уравнение (! 4) на любом решении имсст гннербоу<нчесхий тнн. Отыскание самих характеристических поверхностей путем задания их уравнением вида Ь(х,г) = сопвь выполняется так же, как это делалось для обших уравнений в г 6.
111. Бьзвихгввыя лвижвния 105 Из этого построения следует одна нз особенностей описания бсзвихревь»х изэнгро»»ических движений с помощью уравнения для потенциала: здесь не получаются контактные характеристики. Это означает, что слабый разрыв реп»ения уравнения для потенциала (14), опредсляемый, естественно, как разрыв некоторых производных вгларого порядка от потенциала 22, может иметь мссто только на звуковых характеристиках. Так как тем не менее контактные характеристики существуют (они есть на любом решении уравнений газовой динамики), то отсюда следует важный вывод. В бсзвихревом изэнтропичсском движении газа г шбый разрыв на конмактных тарика»ерисл»иках невоъноаюе»».
Другими словами, всякий разрыв на контактной характеристике нсобходимо является сильным разрывом, Необходимо заметить, что этот вывод справедлив, только если непрерывнос движение является бсзвихрсвым изэнтропическим ло обе стороны контактной характеристики. Если же по одну с~орону движение безвихревое, а по другую — вихревое, то иа такой контактной характеристике обязательно будет слабый разрыв. Это следует, например, из формулы вихря (6). Поэтому в общем случае область безвихрсвого изэнтропичсского движения всегда отделена от области, в которой этот характер движсиия нарушен, некоторым сильным или слабым контактным разрывом, Другая замсчатсльная особенность уравнения для потенциала скоростей (!4) состоит в том, что оно является уравнением Э»мера для экстрсмалей функционала над 22 вида ((»р, й) = Ф(»)»(й, (10) где вместо удельной энтальпии» надо подставить ее выражение из (!О), интеграл берется по любой области й С )»" (х, т), а функция Ф есть решение дифференциального уравнения (штрихами обозначены производные по») сз(»)Ф" (») + Ф'(1) = О.
(17) В частности, для политропного газа сз —. (э — 1)», уравнение (17) легко интсгрируется и функция Ф, с точностью до несущественных постоянных, оказывается такой: э — 2 Ф(») = » ' ' (7 ф 2), Ф(») !п(, (э =-2). (18) Вывод отмеченной связи уравнения (14) с функционалом (16) для функции Ф, определенной формулами (18), выполняется стандартным методом.
Это свойство уравнения (14) позволяет рассматривать некоторые краевые залачи газовой динамики для безвихревых изэнтропичсских движений как задачи вариационного исчисления. ГЛАВА 1!. ОНЮ1илльнык молгли лаижкния !пзбг !06 Молель установившегося течения. Модсль бсзвихревого изэнтропичсского установившегося течения ввиду се относительной простоты получила широкое применение на практике, особенно при решении задач аэродинамики летательных аппаратов.
Ес особенности вытекают из объединения тех фактов, которые установлены выше в данном параграфе и в 9!О. Здесь потснциал скорости:р нс зависит от врсмсни 1, т. с. !о = у(х) = =:о(х, у., г). Поэтому константа Ь в (9) также нс зависит от !., в силу чего интеграл Коши-1!агранжа совпадает. с интегралом Бернулли 9 Ч- 1(с ) = д (19) Следовательно, в этой модели интеграл Бернулли (19) равносилен уравнению импульсов и максимальная скорость 9 ие зависит от линии тока, а является характерной константой всего движения в целом. То жс самое верно и для критической скорости с„ (в области непрерывного течения).
Уравнение для потенциала скоростей (!4) укорачивается до следующего: (и — с )Зз . + (о — г )~Р„к + (гд — с ) Л„+ — . '2щлр,„-Ь 2июЛ„~; 2оюэз„, = О. Соответствующая характеристическая квадратичная форма (15) для единич- ного вектора б = (б, 9. ~), ~б~ == 1, принимает вид (21) з!Лп = —, 1 М' (22) Так как ц Е = 9соа(ц,Е), то всегда ,'ц. б с 9. Поэтому характеристическое уравнение Я(б) = 0 при 9 < с нс имеет вещественных корней, причем форма („1(б) является (отрицательно) определенной.
Это означает, что в обласгпи дозвуковых скороспсй уравнение (20) имеет эллипгпический пшп. Если жс 9 > с, то характеристическое уравнение Я(Я) = 0 имеет два вещественных корня, соответствующих двум различным характеристическим направлениям. Это означает, что в облисти сверхзвуковых скоростей уравнение (20) имеет гиперболический тпп. Корни характеристического уравнения в случас 9 > с можно наглядно представить геометрически, если (в данной точке пространства) ввести в рассмотрение угол и между «орикгперпс пичсския направлением и вектором скорости ц (рис.
1). Так как соя(ц, Е) = в!и гх, то положительный корень характеристического уравнения дается формулой з 11. Бкзвнхгввые лвижьния 107 (23) Легко проверяется, что векторное поле вида (23) всегдабезвихрсвое, причем его потенциал р зависит только от переменных (г,1). Очень простым оказывается описание непрерывного изэнтропического установившегося течения типа источника, которос сводится к анализу конечных (алгебраических) уравнений. В этом случае р =-;э(г) и вектор скорости имеет вид и = рр'(г). (24) Знак производной и(г) указывает направление течения: если -' > О, то течение от центра (источник); если з.' < О, то тсченис к центру (сток).
Анализ обоих случаев, по существу, одинаков, и для определенности далее предполагается, что ээ'(г) = д > О. Разными способами можно убедиться в том, гго уравнение (20) для потенциала ьз = ~(г) имеет интеград Рчг = Я Я = сольц), (25) где М вЂ” число Маха (см. 5 10). Второй корень получается из (22) заменой а на — о. Определенный формулой (22) угол о(0 < о < к/2) называется углом Маха. Итак, характеристические направления сверхзвукового течения в каждой точке наклонены к вектору скорости под углом Маха.
В общем случае течение рассматриваемого вида может содержать как области дозвуковых, так и области сверхзвуковых скоростей. Переход через скорость звука осуществляется на звуковой поверхности, характеризуемой равенством 4 = с или М = 1. Такис течения называются смешанными до- и сверхзвуковыми или трансэвуковььии. В об- Рис. 1 ласти трансзвукового течения уравнение для потенциала скоростей (20) имеет смеи~анный (эллиптико-гиперболический) тип.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
