К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 8
Текст из файла (страница 8)
е. Ф, есть отклонение действительного потенциала Ф от с>'х. Для определения Ф мы имеем дифференциальное уравнение Ф (а". — У ) + Фа, а'... = =ф„„~~.+ 1) иФ„+-'+'1'.+-'-,— 'Ф'„~-+ + Ад (УФ„+ Ф~Фв) — , '— б>=;Ф(х, у), где х — -- х, у=уУ1 — М' у М .= — ---. а. 12а) 12б) 12в) 'Прн таком выборе независимых переменных х и у члены, сохраняемые в приближении Прандтля — Глауэрта, остаются неизменными при изменении числа Маха. В самом деле, после перехода к переменным х н у з>ы получки -.Ф„л(1 — М ) а,, +тфр„(1 — М,) а, =та(к+-1) УФ -„Ф„- 1- + 2тай>-- (1 — — М',) 1у>1>„-+ йт Ф„--„Ф-Ф;,(1 — М',)+ +та (1 — М )(х — 1) УФыФд+тз — + — 1 (1 — М .) Фр-„Ф~+ „-, ":,— '(1 — М'„) Ф„-„-Ф.'-. <З) где а есть скорость звука в невозмуще>шом течении.
При обычной линеарнзации правая часть написанного уравиенн > отбрасывается. Для того чтобы получить представление о порядке ве.тичнн отбрасываемых членов, выполним одновременно с аффинным преобразованием Прандтля — Глауэрта разложение решения в ряд по параметру -.. Для этой цели примем, что а я члЕНЫ. ОТБРАСЫВАЕМЫЕ В ПРИБЛИЖении пРАндтля — глАУЭРТА 4Д !4ак и следовало ожидать, члены в пРавой части имеют самое меньшее второй порядок относительно т, в то время как все члены в левой части имеют первый порядок относительно т. Таким образом, при фиксированном числе Маха, составленном для скоросгн с«' в беско,ечиости, можно сколь уголно учепьшнть влияние членов правой части, если выбрать -.
достаточно малым. Мы получим меру ошибки, вносимой отбрасыванием правой части, если сравняч ва«кНЕйщие ЧЛены Этап частИ с опним из ЧЛЕНОВ Левай части. Прелположпм, что число Маха близко к единице; то~да влияние членов, содержащих множитель 1 — Л4~, будет небольшим. После отбрзсывания этих членов елинствеппыч членом, имеющим второй порядок относительно т, будет <. -1-1) !У«Р--б1 Оиюшенне это1о члена к первому члену левой части равно Ге(я+ 1) Ф-. !4) а, 11 — А4 "и) Если это отношение мало, 1о 11о«кно пользоваться правилом Прандгля.
Для того чтобы выяснить, чго из этого следует, рассмотрим какоеиибудь определенное решение дифференциального уравнения, упрощенного посредствоч правила Пранлтля. В таком решении выра«кение Ф- не зависит пи от числа Маха, пн от т. Относительная толи шипа п:вского тела пропорциональна Фгр т. е. пропорциональна т !1«1 — М„, поэтому в отношении !4) можно выразить т через относительную толщину.
Следовательно, для того, чтобы можно было пользоваться правилом Прапдтля, относительная толщина должна стремиться к пулю при приблня<епии числа .Чаха к единице, как величина 11 — М ) ' '), Вля трехмерных течений лезая часзь уравнения, определяющего потенциал, будет содержать еще член Ф .
Тогда может случиться, 'ио член Фхф. „который мы использовали выше для оценки ошибки, будет мал по сравнению с остальными членами левой части. Следовательно, сформулированное нами условие применимости правила Прандтля является для трехмерных течений достаточныч, но пе пеобхолнмыч. В самом деле, те трехмерные задачи, в которых толщина оотекаечого тела равна пуши, могут быть исследованы на основе линейной теории также при числе Маха, равном единице (см. стр. 69), Предыдущие рассу«кдения приводят к выводу, сходному с к которочу мь1 пришли в й 9 гл. 1 при рассмотрении метода 1 ) Из анализа автора следует, что ддя применимости правила Прандтая треб устоя стремление т к нулю бмеи«рее, чеч (1 — А4 ) *, — Прим. рееЗ.
44 гл. 11. 3АкОн пОдОБия для ОкОлОзвккОВых тс~!енин характеристик для околозвуковых течениИ. А именно, при составлении приближенного уравнения для околозвуковых течений необходимо сохранить член !к+ !) игР„ф„., т. е. необходимо ввести такое соотношение между т и 1 — М", чтобы этот член не выпадал. Можно, например, принять, что 1 — М,- Этот выбор не является единственным; с таким же успехом можно принять, что 2 (! — М,,) Свободу выбора соотношения между -.
и 1 — М. можно попытзться использовзть для того, чтобы при упрощении дифференциальных уравнения выполнить и другие условия. 5 3. Упрощение дифференциальных уравнений течения Перейдем к систематическому выводу упрошенного дифференциального уравнения для определения потенциала скоростей в околозвуковоя области, причем в отличие от предыдуншх исследований рассмотрим случай трехмерного течения. Затем в Э 4 мы остановимся на условиях, которые должны выполняться на скачках уплотнения, н, наконец, в ч 5 рассиотрим вопрос о граничных условиях, до снх пор остававшийся совсем нс затронутым.
Моягет показаться чрезмерной осторожностью исследование вопроса о том, следует ли учитывать влияние энтропии в околозвуковом течении. В самом деле, мы знаем, что в линсаризонзпных сверхзвуковых течениях изменением энтропии всегда пренебрегают. Однзко поступать так же с уверенностью для околознуковых течений мы не можем, во-первых, потому, что последние чувствительны к изменениям поперечного сечения !согласно уравнению 1, 2(10а), плотность потока массы нчест максимум при числе Махз, равном единице), а во-вторых, вследствие того, что повышение энтропии проявляет себя именно в увеличении поперечного сечения трубок тока.
В конце концов мы выясним, что изменением энтропии можно пренебрегать, однако нокз мы будем рассматривать энтропию как переменную величину. Течение будем считать изоэнергетическим, так как без этого предположения число Маха в исходном параллельном течении было бы близко к единице только на отдельных линиях тока.
3 3 упРощение диФФеРенцилльных уРАВнениЙ течения 45 Будем исходить из уравнения 1, 4(4), т. е. из уравнения неразрывности для установившихся течений ф( и) хо ' хо (Зб) Из уравнения Бернулли мы имеем а' — о„= -. (х+ 1) а*по + 0 (т'); а' — РР—.— а — , '0(т); а' — о. =а'о+0(т), Таким образом, сохранив в уравнении (!) только члены самого низ- кого порядка, мы получим — (х+ 1) а"о —;-ч- а" — +а* — = О.
до.о .з дои,з доо до ' дт д'. (4) Величина отклонений от критической скорости, возникающих в рас- сматриваемом течении, имеет порядок 0 (т); поэтому на основании известных формул для скачка уплотнения изменения энтропии имеют порядок 0(т'), Лля того чтобы внести скорости, определяемые формулами (3), в уравнение (2), вычислим вектор скорости о и его вихрь; мы по- лучим о=1(а'+то )+)т 'ц + мт 'и„, хо ( дт~ дй ~ хо(, д". дя ! (о) и из теоремы Крокко о вихрях го1 о Х о = Т ига 4 з. (2) Введем параметр т и характерную длину хо и примем, что составляющие скорости определяются формулами (Гудерлей [1), см.
лиг. 1) о, =а'"+т о 6 о1 ') (За) 46 Гл и 3АкОИ подОБия для ОкОл03ВукОВых течении где г, у' и й суть единичные векторы по направлениям х, у, е. Ограничившись членами самого низкого порядка, мы найдем из уравнения (2), что дпч до два до„ д6 д'. ' дЕ (6) Отсюда следует, что составляющая вектора вихря в направлении, перпендикулярном к линиям тока невозмушенного течения, равна нулю. В этом нет ничего удивительного, так как уравнение (2) не учитывает влияние энтропии и так как линии тока невозмущенного течения представляют собой приближение линий тока действительного течения.
Дальнейп!ие выводы о векторе вихря !южно сделать на основании того обстоятельства, что составляющая скорости, лежащая в касательной плоскости к скачку уплотнения, одинакова до и после скачка. Вели течение вначале было свободно от вихрей, то из только что сказанного следует, что вниз по влечению от скачка уплотнения составляющая вектора вихря в направлении нормали к поверхности скачка уплотнения равна нулю. Так как нормали к поверхности скачка уплотнения никогда не могут быть перпендикулярны к линиям тока (иначе линии тока не пересекали бы поверхности скачка) и так как, согласно равенствам (6), направление вектора вихря совпадает с направлением касательной к линиям тока, то вектор вихря после первого скачка уплотнения, а потому и после каждого следующего скачка равен нулю.
Таким образом, в рассматриваемом нами приближении должен существовать потенциал скоростей. Приняв для него выражение Ф = а"хат Ф 6 !) '"-) мы получим для его определения уравнение (7) — (х -1 — 1) ФеФН -+ Фчч -4- Фы — — О. (8) Для осесимметричных течений примем, что Ф вЂ” — а*х ".Ф(~, г), (9) где — г = угу'-1-еа. хф Фр — ('+1) ФеФН+="-+-Ԅ— „=". г 7)О) В этом случае мы получим для определения потенциала уравнение а 4 услОВия нА скАчкАх уплОтнения В 4. Условия на скачках уплотнения ,з з — -1 ть !т'и!! — и м+! Для вывода этого соотношения рассмотрим сначала прямой скачок уплотнения.
Уравнение импульсов, уравнение энергии и уравнение неразрывности имеют для такого скачка следующий вид: р!+Р!тэ! =Рн+Рпн!й (уравнение импульсов), а! + — тв! = — а! -! — — тв! (уравнение энергии), (2б) РР'! = Рптвп (уравнение неразрывности). (2в) Для составления уравнения энергии мы использовали уравнение 1, 2 !?). В дальнейшем правую часть уравнения энергии будем обозначать аля краткости через (2а) з+1 —,— а 2 Разделив уравнение (2а) на уравнение (2в) и заменив в соответствии = равенством 1, 2(б) хр/р через аа, мы получим и ! а Н вЂ” +тв! = — +тяп ° мгв! ' хюн (2) В предыдущем параграфе мы исходили из предположения, что составляющие скорости определяются формулзми 11, 3(3). Это предположение привело к нетривиальной форме дифференциального уравнения течения и тем самым себя оправдало.
Теперь остается исследовать, как принятое предположение отражается на других соотношениях, определяющих поле течения. Никаких дополнительных допущений вводить для этой цели не надо. В этом параграфе мы займемся условиями на скачках уплотнения, в следующем параграфе — граничными условиями и, наконец, в 9 9 — теми формами уравнения неразрывности и уравнения импульсов, которые эти уравнения принимают при сделанных допущениях. Об условии, согласно которому составляющая скорости, касательная к скачку уплотнения, не изменяешься Ври переходе через скачок, уже было скааано выше. Это условие удовлетворяется само собой, если потенциал скоростей при переходе через скачок остается непрерывным.
Таким образом, нам остается исследовать условия, которым должна удовлетворять составляющая скорости, нормальная к скачку. Будем отмечать состояния до и после скачка уплотнения посредством индексов ! и П у соответствующих букв. Для обозначения составляющих скорости в направлениях, нормальном и касательном к скачку, будем пользоваться индексами а и 1. Тогда для идсзльного газа мы будем иметь следующее соотношение, найденное Прандтлем: 43 Гл 11 злкОИ пОдОБия для Околозвуковых течении Воспользуемся теперь уравнением 126) н выразим а, через тв! и а', а ап — через тяп и а*„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
