К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Обозначим через е„„ единичный вектор, нормальный к цилиндру, через еп — единичный вектор, кзсательный к поверхности цилиндра и лежащий в плоскости х =- сопзй и через е„ вЂ” единичный вектор в нзправленни х. Пусть отклонение поверхности обтекаемого тела от аппроксимирующей цилиндрической поверхности при -.
†." О задано кзк расстояние хзлт'ь, измеренное вдоль направления нормали. Прн таком определении л не зависит от т и х,. Тогда при -.гь О единичным вектором нормали к поверхностй тела приближенно будет ,,дд „ч дь е =е,— т" — е — т" хз- — еп, д5 м дг г) Такое предположение всегда делается при исследовании крыльев малой толщины, но оно не всегда выполняется', например, оно безусловно не осуще.
стваяется в тех точках контура, где производные претерпевают разрыв, бЗ 5 а ГРАничНые услОВия где хе с(с и с(Г суть линейные элементы в направлениях ем и еа. Вектор скорости также разложим на трн направления е, е„и еы. Составляющие в направлениях е„, и аь обозначим через о„ н Гаа Так КаК СОСтаВЛЯЮЦГИЕ О И П, ПОЛУЧаЮтСЯ ИЗ СОСтаВЛЯЮЩИХ Ок И П„тО они пропорциональны т'Ь, поэтому мы можем положить О ч т П А О Г ™ П ~ Г и тогда для вектора ю получим выражение и = (а' Г- тп ) е + -.Е*и„е„, + тч Огеы . Составляющая скорости в направлении, нормальном к поверхности обтекаемо~о тела, должна быль равна нулю.
Следовательно, если сохранить только члены наименьшего порядка относительно т, граничное условие примет вид — „дл Π— а" —, = О. дэ (3) р — р = — — (юа — а* ), 2 которое следует вычислить на поверхности обтекаемого тела. Эта поверхность отклоняется от поверхности аппроксимирующего цилиндра на величину порядка тэк Так как производные от скорости вдоль поверхности обтекаемого тела предполагаются ограниченными, то для определения давления вдоль этой поверхности в первом приближении получается формула р — р' = — та*а' Ф„., В этой формуле функция Фа должна вычисляться для аргументов, взятых иа аппроксимирующей цилиндрической поверхности; поэтому функция Ф- не зависит от т, и, следовательно, давления на поверхности обтекаемого тела в первом приближении пропорциональны т.
Исключением является осесимметричное тело конечной протяженности. При ;.= 0 тзкое тело стягивается в отрезок прямой, лежащей на оси х. Так как для дифференциального уравнения 11, 3 (10), определяющего потенциал скоростей осесимметричного течения, все точки оси являются особыми вследствие наличия в уравнении члена Ф„-(г, то потенциал скоростей вдоль отрезка оси, лежащего внутри тела, Если производная дГГ/дс достаточно гладкая, то пк можно выразить через значения О, и о, на аппроксимирующей цилиндрической поверхности.
Мы видим, что в последнее уравнение составляющая а~ не входит. Если отклонения от критической скорости малы, то из уравнения 1, 2(9) мы получим аля разности давлений р — р* выражение 54 гл и закон подовия для околозвтковых тичинии не должен быть обязательно регулярной функцией. Легко убедиться, что первые члены разложения потенциала скоростей в ряд вблизи оси имеют вид (6) Ф = а х„ту,(()+а'хетага(()1п г = — а'хзтФ, где г г = — гч хо (см.
стр 46). Такой вид имело бы решение дифференциального уравнения !1, З(10), если мы пренебрегли бы членом (к+1)Фефсн Порядок величины поправочных членов, учитывающих влияние отброшенного члена уравнения, одинаков с порядком величины га!пег. Для определения контура тела необходимо вычислить составля|ощую скорости в направлении г. Продифференцировав равенство (6), мы найдем дФ дг, тхаад(с) „=а хех — =- — =а дг а'г г Если контур тела задан уравнением г = г (х), (7) то из условия, что скорость касательна к поверхности тела, мы получим дг (х) ФДг, х) У, (!) хз дх а* г (с) откуда -аг г т- = тхаад (ч) Положив г = ".
дхзг (с), (8) мы найдем (9) следовательно, диаметр пропорционален тн хз. Последнее уравнение представляет собой граничное условие на обтекаемом теле. Само тело заменяется отрезком оси х, состоящим из особых точек. Коэффициент 7з(4) перед членом 1п г в решении (6) может быть вычислен с помощью равенств (7) — (9). Для определения давления на поверхности тела следует исходить из уравнения (4); мы получим аз ГРАничные услОВия (9), — составляющую скорости уе(Е) * ч ГГГ г(Е) аЕ а затем, использовав равенство о„= — а* г' ° Следовательно, р — р' = — р"а* т Х Х ( — + —,( — ) !и -. -1- —, ( — ) 1п г (Е)+ — ( — ) ~, (10) Мы видпм, что члены правой части этого равенства, обязанные своим происхождением составляющим о„ и о„ имеют величину одного порядка, за исключением члена — — „(.— ) 1п т.
Доказательство того, что при вычислении давления необходимо учитывать полю, вносимую составляющей скорости о„, можно найти в работе Осватича и Берндта (см. лит. 1). Примечательно, что здесь мы получили этот результат чисто формальным путем. Как выбирается масштаб для т, роли не играет; это означает, что если в каком-либо известном течении произвести аффинное преобразование коорлинат в соответствии с законом подобия, то независимо от выбора масштаба лля т получается всегда один и тот же результат. Для того чтобы убедиться в этом, сравним два поля течения, связанные между собой законом подобия.
Пусть этим полям соответствуют давления р и р', параметры т и т' и радиусы г и г'. В таком случае лля вычисления р' необходимо в уравнении (10) заменить ; на "', а затем выразить в уравнении (10) и в уравнении, а'5 /г тт полученном из него после замены т на т', член — ( — ) с помощью а(5 1,2 ) равенства (8) в следующем виде. тле Тогла мы будем иметь = — р*а* -. ~ —.' + — „, (- — ) (п г (Е) + — Ы ~ В правой части членом оя!2 всегла можно пренебречь по сравнению с членом а*о . Полставив в уравнение (6) значение г, соответствующее поверхности тела, мы найдем сначала составляющую скорости о„= та + га' — "! и (тг (Е) ), . луг, . ауа ГЛ Н.
ЗАКОН ПОДОБИЯ ДЛЯ ОКОЛОЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИИ , .а т' 1п-.' Ф /гзт з = — р"а" -.' [ — '+ — „"-( з )1п г (с)-1- — ~ — ) ~. (11) Исключив нз обоих уравнений выражения, стояшие в квадратных скобках в правых частях, мы получнп а 1 гз т т. е, давление р' зависит только от отношения е"т. Член йсс' ~ 2,) опрелеляется формой рассматриваемого тела. ф 6. Закон подобия 1) Так как осесимметрччное тело конечной протяженности и квазицилинлрическое тело деформируются при аффинном преобразовании различным образом, то ие существует закона подобия для полей течения, в которых обтекаемое тело представляет собой комбинацию обеих указанных возможностей (примером такой комбинации мо1кет служить сочетание фюзеляжа с крылом).
Если для исходного тела было бы известно все поле течения, то, конечно, можно было бы рассчитать контур нового обтекаемого тела после аффпнного преобразования истодпого течения путем введения параметра ю Следовательно, аффинное преобразование поля течения дает более широкие возмо1квости, чем закон подобия. Допустимость аффиияого преобразования поля течения путем введения параметра т можно считать обоснованной формулами П, 3(3), позволившими выполнить упрощение лифференциальяого уравнения течения.
Само собой напрашивается мысль о вывозе закона подобия из упрощенного дифференциального уравнения 11, 3(8), однако логически такой вывол был бы неправомерным. Согласно результатам прелыдушего параграфа, для широкого класса тел, а именно для крыльев (квазицилиндрические тела) и осесимметричных тел, деформация поверхности тела, происходящая вследствие аффинного преобразования, и изменения давлений просто связаны друг с другом, Для тела, форма которого получается из формы экспериментально исследованного тела путем деформации на основе выведенных выше правил, можно найти распределение давления из распределения давления на исходном теле, не прибегая к выявлению других свойств поля течения.
Соотношения, позволяющие это сделать, выражают закон подобия лля околозвуковых течений'). 1!апомним результаты предыдуигего параграфа в той мере, в какой они необходимы для понимания закона подобия. Соответственными точка,иц в различных полях темения, связанных друг с другом законом подобия, булем называть такие точки, для которых значения г, т и "., определяемые формуламн !1, 3(3б), 57 б б ЗАКОН ПОДОБИЯ совпадают. Значения х, у и ", отвечающие значениям 1, й и ', изменяются, с одной стороны, вместе с хб, а с другой стороны,— вместе с -.. Первая возможность означает просто изменение масштаба всего поля течении, а вторая — собственно аффинное преобрааованне в соответствии с законом подобия.
Если фиксировать значение хб, то в соответственных точках х пропорционально т", у и г пропорциональны т-' В соответственных точках оп<лонение составляющей скорости в направлении х от критической скорости пропорционально -., а отклонения составляюших скорости в направлениях у и з пропорциональны та. Обтекаемое тело (за исключением тела вращения) заменяется цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси х, причем потенциал и его производная вдоль этой поверхности претерпевают разрыв.
Аппроксимируюшая цилиндрическая поверхность деформируется при аффинном преобразовании так же, как координаты. Отклонение поверхности тела от аппроксимирующей цилиндрической поверхности пропорционально тт . Тело вращения заменяется отрезком осн х, состоящим из особых точек; радиус тела вращения пропорционален хбтч .