К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 14
Текст из файла (страница 14)
там в выражении потенциала главную роль играет член. содержащий !Вг, Но именно этот член делает невозможным применение линейной теории к обтеканию осеснчметричного тела. Поэтому необходимо потребовать, чтобы Использовав равенство (2), мы можем переписать это условие в виде (3) Но величина дх,~ д есть не что иное, как производная от площади поперечного сечения тела в направлении х, следовательно, уравнение (3) выражает собой требование о постоянстве площадей поперечных сечений тела, лежащих в плоскостях х = сопз!. Но площадь начального поперечного сечения тела конечных размеров (например, крыла) равна нулю, следовательно, пространственная линейная теория применима только к телам с нулевой толщиной.
В практически наиболее важном случае, когда обтекаемым телом является крыло, цилиндрическая поверхность, в которую тело стягивается при т = О, является плоской. Крыло может быть поставлено под углом атаки, может быть изогнутым и даже закрученным. В каждой плоскости х = сопя! вдоль отрезка, который представляет пересечение этой плоскости с крылом, например вдоль отрезка оси г.
производная от Ф в направлении нормали задана. На верхней и нижней сторонах этого отрезка значения производной в направлении нормали имеют для бесконечно тонкого крыла противоположены знаки. Для систематического получения решения следует конформно Отобразить плоскость х = совами на другую плоскость так, чтобы указанный отрезок оси з перешел в окружность, и затем решить краевую задачу методом Фурье.
Иногда рассматриваемая задача формулируется в виде интегрального уравнения в плоскости у, я, однако способ решения от этого не меняется. д 3 пгостгхнственные течения 71 В качестве примера приведем решение для крыла с постоянным углом атаки. В этом случае величина Ь в уравнении (2) является линейной функцией от х, а нормальная составляющая скорости вдоль отрезков, представляющих крыло в различных плоскостях х = сопз1, постоянна.
Решение можно получить, либо систематически применяя описанный выше способ, либо путем догадки, если вспомнить, что в теории крыла Прандтля эллиптическое распределение подъемной силы дает в бесконечности постоянную нисходящую скорость. В соответствии с этим примем, что Ф = сопз1 ° 1хе(1' Ьз+ "а — ч), где ч=у+1г. Постоянную, входящую в правую часть рзвенства, несколько позже подберем так, чтобы получи.чся требуемый угол атаки.
Если мы разложим корень в ряд и выберем при этом положительный знак, то увидим, что потенциал в бесконечности равен нулю. Для скорости в направлении у мы получим значение — =сопз1 ° Ке~~ (г' Ь +С~ — ")1= ду ду = сопз1 ° Ке~ — (угда+ча — ")~ = сопз1 ° Ке1 — 1). ~ г' ба+ьз На поверхности пластинки у = О, поэтому ". = 1г; корень здесь равен р Ьз — г' и имеет вещественное значение для г ( Ь.
Поэтому на поверхности пластинки вещественная часть выражения 1ф'Ьз+чз равна нулю, следовательно, Ф = — сопз1. я В рассматриваемом случае уравнением поверхности пластинки является у = — зх, где а есть угол атаки. В качестве граничного условия мы найдем Ф = — а. я Вследствие линеаризации это условие должно выполняться вдоль оси г, т. е. постоянная в принятом выше выражении для потенциала Ф должна быть равна я.
Предположим, что контур крыла симметричен относительно оси х и задан уравнением Ь = Ь(х), причем функция Ь по соображениям, о которых будет сказано ниже„ является неубывающей функцией. Тогда потенциал Ф будет равен Ф = а Ве (Р Ьз(х)+ "з — "). Продифференцировав это выражение по х, мы найдем составляющую скорости в направлении х, а зная последнюю, сумеем вычислить давления с помощью уравнения Бернулли.
72 гл. Ис, линеАРизОВАнное исследОВАние ОкОл03ВукОВых течении Если Ь = сопз1, то в рассматриваемом приближении постоянен в направлении х также потенцизл Ф, и поэтому давления на верхней и нижней поверхностях крыла равны давлению в набегающем потоке. Следовательно, там, где Ь=сопз1, поверхность крыла не воспринимает никаких сил, вследствие чего соответствующие части крыла можно отбросить. Теп самым мы нашли решение также для случаев с постоянным углом а|аки, в которых функция Ь уменьшается. Потенциал в том поперечном сечении, в котором функция Ь достигает максимума, остается в других поперечных сечениях, лежащих ниже по течению, постоянным и соответствует там потенциалу вихревой пелены.
Полная подъемная сила равна ~-ь,„ А=2р'а" / ~ Ф с1хасз=2раа'а ~ )л Ь'„„— з стз= плащ. крыла ыал к = р"ал "ВЕЬмал (множитель 2 учитывает вклад нижней и верхней сторон поверхности крыла). Таким образом, подъемная сила зависит только от угла атаки и от максимального размаха. Линеаризация возможна лишь в том случае, если значения Ф не становятся слишком большими. Это означает, что поперечное сечение нз должно изменяться слишком быстро. В предельном случае обтекания прямоугольной пластинки под углом атаки на передней кромке имеет место скачкообразное изменение значения Ь, и Ф становится бесконечно большим. Тем не менее возникающая польемная сила А остается конечной (см. последнюю формулу), но она целиком концентрируется на передйей кромке.
Конечно, в этом случае линейная теория неприменима. Линеаризованному исследованию стреловидного крыла посвящены работы Манглера, а также Хислета, Ломакса и Спрейтера (см. лиг. 1). Аналогичные исследования для до- и сверхзвукового течений выполнены Р. Т. Джонсом (см. лиг. 1). й 4. Тело с толщиной, не равной нулю Как мы выяснили в э 2, линеаризованное уравнение для потенциала не позволяет найти поле течения около осесимметричного тела при числе Маха А4 = 1, так кзк интегрирование центробежных сил приводит к бесконечным давлениям. Такой же отрицательный результат получается и для тела произвольной формы, если его поперечные сечения плоскостями х = сопз1 имеют толщину, не равную нулю.
Тем не менее можно сравнительно просто рассчитать поле течения около тела произвольной формы с неравной нулю толщиной и. кроме того, получить оценку для сопротивления, если а 4 телО с тОлщинОЙ, не РАВИОЙ нулю воспользоваться способом, предложенным Осватичем и Кзйне (см. лит. 1). В этом способе предполагается, что известно поле течения около так называемого эквивалвнтнаво тела вращения.
Поперечные сечения такого тела плоскостями х = сопз1 имеют одинаковую площадь с соответствующими поперечными сечениями исследуемого тела. Поле течения около эквивалентного тела вращения должно быть определено путем использования полного приближенного дифференциального уравнения околозвуковых течений '). Влияния несовпадения поперечных сечений исследуемого тела с соответствующими поперечными сечениями эквивалентного тела вращения учитывается посредством линеаризованного уравнения Фв„+ Ф„= О. (1) Способ Осватича и Кейне основан на следующих соображениях. Дифференциальное уравнение (1) следует рассматривать не обязательно как результат линеаризации, т. е. как разложение поля течения по параметру, учитывающему толщину крыла; его можно получить такаке иным путем, а именно принять, что обтекаемое тело является достаточно тонким, а затем применить метод, рассмотренный на стр.
37. Следовательно, дифференциальное уравнение (1) вполне совместимо с представлением, что поперечные сечения, получающиеся в плоскостях х=сопв(, остаются подобными при предельном переходе„ведущем к упрощению дифференциального уравнения (при обычной линеаризации эти поперечные сечения изменяются аффинно). Вообще, используя уравнение (1) в соответствии со способом, рассмотренным на стр. 37 и 38, можно рассчитать обтекание произвольного достаточно тонкого тела, на которое набегает свободная струя со скоростью, равной критической.
Конечно, увеличить радиус свободной струи до бесконечности не. удастся. С другой стороны, не может быть никаких возражений против ограничения применения уравнения (1) в цилиндрической области, заключающей в себе обтекаемое тело. То~да вне этой области следует применять полное дифференциальное уравнение околозвуковых течений.
Покажем, во-первых, как можно построить решение на основе высказанных соображений и, во-вторых, что неточности, возникающие при таком построении, вполне допустимы длв достаточно тонкого тела. Пусть поверхность обтекаемого тела задана уравнением Г(х, у, в)=0, где ,у=ут г=гт 4) Полным приближенным дифференциальным уравнением автор называет уравнение П, 8(1).— Прим, ред, 74 ГЛ !И. ЛИНЕАРИЗОВАННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОКОЛОЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ Параметр ч учитывает степень тонкости тела. Если т — +0, то для того, чтобы соблюдались два последних равенства, необходимо соответственно уменьшать у и х.
Площадь поперечных сечений тела в плоскостях х= сопз! пропорциональна ю Единичным вектором в направлении нормали к поверхности тела будет — !+с-'д —. г+т-'Л= й. дР . , дГ . , дР дх ду дл Если принять а*=1, то граничным условием на поверхности обтекаемого тела будет ф + ф — ч А —. дР' дР дГ ду " дл * дх Пусть цилиндрическая поверхность, отделяющая внутреннюю об.ласть, в которой используется уравнение (1), от внешней области, в которой следует применять полное дифференциальное уравнение, задана уравнением уз+ ха = сопз1, Положение этой поверхности не зависит от т. Ниже мы увидим, что вне этой поверхности поле течения около достаточно тонкого тела сколь угодно мало отклоняется от осеснмметричного поля, следовательно, там можно рассчитать отклонение от осевой симметрии путем линеаризации. Для эквивалентного тела вращения решением уравнения для потенциала вблизи оси будет (8) Ф =у(х) 1п !.+д.(х).
Если исходить из полного дифференциального уравнения околозвунового течения, то к указанным членам присоединятся еще члены порядка га(1пг)з. В самом деле, член Ф ф имеет порядок (1пг)з, и соответствуюгцее слагаемое в выражении потенциала Ф получается интегрированием по г. Конечно, при изменении т эквивалентное тело вращения деформируется. Эгу деформацию можно определить при помощи закона подобия для околозвуковых течений (уравнение 11, 5 (8)1. Мы получим Ф =т 1у(х)1п(гт'д)+б (х) )-0 ((гт'Л)з(1п(гт'А))з) ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
