К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 15
Текст из файла (страница 15)
(За) Следовательно, дополнительные члены имеют величину порядка та(1п т)а. Пусть для тела произвольной формы Фл и Ф„ограничены; это условие означает, что пло!цадь поперечного сечения тета должна меняться непрерывно. Если это условие со5людается, то член Ф Ф будет иметь один и тот же порядок и для эквивалентного тела вращения н для тела произвольной формы. а поэтому и ошибка, получающаяся при определении потенциала, будет иметь в обоих случаях одинаковый порядок. а 4 телО с тОлщннОЙ, не РАВНОЙ нулю В качестве решения лля внешней области возьмем решение, соответствующее эквивалентному телу вращения. Правда, трудности, возникающие при расчете такого поля течения, полностью еще не преодолены.
Вид решения, соответствующий эквивалентному телу вращения, нам известен вблизи оси вращения [уравнение (За)]. При достаточно малом т решение (За) применимо вплоть до границы обеих Областей. Функция д(х) определяется полем течения в целом, а функция у(х) задана распределением площадей поперечных сечений эквивалентного тела вращения. Следовательно, потенциал на границе обеих Областей, если его вычисление вести из внешней области, будет с точностью до членов порядка та(1пт)з равен т (1 (х) 1и (г тч )+ е (х)). Для внутренней области решение имеет вид Ф = т (ке (и (у+ Й, х) + Р> (х)) ), иричем функция И должна быть аналитической в плоскости у+Й н, кроме того, должна быть выбрана так, чтобы удовлетворялось граничное условие (2) на поверхности обтекаемого тела.
Именно этими требованиями объясняется выбор независимых переменных у и г и появление множителя т в регпении. Далее, разложение функции И при у+ Ы-ь ОО должно содержать, кроме членов, обращающихся в нуль в бесконечности, только член 1п(у+Й) и никаких других членов, зависящих от у+Ы Так как распределение площадей поперечных сечений эквивалентного тела вращения совпадает с таким же распределением для исходного тела, то в обоих случаях член Ке !и (у +1я) получается одинаковым. Что касается функции я>(х), то ее определение не связано с граничным условием на профиле; мы можем выбрать ее одинаковой с функцией е'(х) для эквивалентного тела вращения. Теперь можно оценить ошибку, содержащуюся в найденном решении.
Частично она объясняется тем. что для получения решения во внутренней области было использовано неточное дифференциальное уравнение; порядок величины этой части ошибки уже был определен выше. Далее. оба решения совпадают друг с другол> на граничной поверхности между обеил>и областями не вполне точно. Так, например, во внутренней области при больших значениях у+Й для тела, обтекаемого под некоторым углом атаки, к решению добавляются члены порядка ту /(у+ 1в), а для тела, обтекаемого под нулевым углом атаки, — члены порядка та>(у+гв)'-.
Скачкообразное изменение на граничной поверхности величин Ф и Ф„вызываемое этими членами, можно компенсировать наложением дальнейших ре>пений во внутренней и внешней областях. Соответствующая поправка имеет самое болыпее такой же порядок, как порядок величины скачка; для 76 ГЛ ПЬ ЛИНЕАЕИЗОВАННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОКОЛОЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ тела, обтекаемого под углом атаки, она пропорциональна теи а для тела, установленного в потоке под нулевым углом атаки, она пропорциональна тз. Можно показать, что на поверхности тела, обтекаемого под углом атаки, эта поправка дает величину порядка та, Таким образом, для достаточно тонкого тела ошибкой полученного решения можно пренебречь.
Примечательно, что положение граничной поверхности между обеими областями совершенно не влияет на окончательное решение, так как в него от решения для внешней области входит только функция а (х). Оценка ошибки для конкретных случаев лана Ландалем (см. лиг. 3). Краевая задача во внутренней области может быть решена для поперечного сечения с небольшой толщиной путем разложения в ряд по параметру толщины. Метод расчета разработан Кейне (см. лит. 1). В указанном разложении члены высшего порядка могут играть роль для треугольного крыла, у которого отношение его толщины к размаху в сечениях плоскостями х=сопв1 может не быть малым.
Для других профилей следует пользоваться методами теории аналитических функций. Лобовое сопротивление и подъемная сила тела с ненулевой толщиной определяются проще всего путем применения теоремы импульсов, причем контрольная поверхность составляется из поверхности обтекаемого тела и из поверхности, разделяющей внутреннюю и внешнюю области, Как нетрудно убедиться с помощью уравнения 11, 9 (3), члены, входящие в баланс импульсов, получаются на граничной поверхности между обеими областями одними и теми же независимо от того, используется ли дифференциальное уравнение' течения с членом Ф Ф или без него.
Для вычисления лобового сопротивления при малых значениях т можно использовать составляющие скорости в том виде, в каком они пол)чаются для внешней области. Но эти скорости представляют собой не что иное, как скорости поля течения для эквивалентного тела вращения. Следовательно, лобовое сопротивление тела с ненулевой толщиной равно с точностью до величин высшего порядка лобовому сопротивлению эквивалентного тела вращения. Это впервые было обнаружено Осватичем и Кейне, а такахе Уайткомом (см. лиг.
1). Очевидно, что при заданной относительной толщине тела вращения наименьшим лобовым сопротивлением обладает та форма, для которой изменение площадей поперечных сечений изображается гладкой кривой (это особенно важно для сверхзвуковой области). Отсюда следует, что можно значительно уменыпить лобовое сопротивление самолета в околозвуковой области, если в тех поперечных сечениях, в которых находятся крылья, сделать фюзеляж втянутым. Как на основании теоремы импульсов определяется подъемная сила для тонких тел, хорошо известно из до- и сверхзвуковой аэро-, динамики.
Прн звуковой скорости результаты для до- и сверхзвуковой области гладко переходят один в другой. Изложенные вьине а 5 неустАновившиеся ОкОЛОзвукОВые течения соображения оправдывают применение теоремы импульсов для определения подъемной силы также в околозвуковой области. В качестве курьеза упомянем следующее. При сверхзвуковом обтекании тела вращения линейная теория приводит к формуле лобового сопротивления, дающей для последнего конечное значение также при предельном переходе к числу Маха М = !, хотя при таком М давления на поверхности тела делаются бесконечно большими.
Конечно, такой результат должен вызывать недоверие, н, действительно, сравнение с опытом сразу показывает его неправильность. Недопустимость применения в данном случае такого способа расчета подтверждается и тем, что если попытаться определить лобовое сопротивление при числе Маха сИ = 1 путем предельного перехода из дозвуковой области, то на основании парадокса Даламбера оно должно получиться равным нулю, В 5. Линеаризованное исследование неустановившихся околозвуковых течений Многие трудности исследования околозвуковых течений отпадают для неустановившихся течений с не слишком малыми ускорениями. С такого рода течениями мы сталкиваемся при полете тел, переходящих через критическую скорость со значительным ускорением.
В этих случаях для расчета сил, действующих на летящее тело, как правило, не требуется прибегать к нелинейной теории. С физической точки зрения исследование неустановившихся течений представляет интерес в том отношении, что позволяет выяснить, почему линеаризованное рассмотрение установившихся течений приводит к появлению бесконечных давлений. Для исследования неустановившегося течения лучше всего пользовзться системой координат, связанной с окружающим неподвижным воздухом. В этом случае уравнение 1, 4 (9), если ограничиться только членами первого порядка, принимает известный из акустики вид 1 фмм+фуу+ф= ь срсс — () "о где ао есть скорость звука в неподвижном воздухе.
Для сферических волн это уравнение заменяется уравнением "о где га=хз+ уз+за Решением для сферических волн будет (1) 7Е ГЛ !И. ЛИНЕАРИЗОВАННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОКОЛОЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИИ причем положительный знак следует взять для волн, распространяю- шихся к центру шара, а отрицательный знак — для волн, распространяющихся наружу. В дальнейшем мы будем рассматривать только волны второго рода.
В частности. решение (1) показывает, что относительно неподвижного воздуха возмущение распространяется со скоростью аз. Таким образом. исследуемый нами сейчас случай подтверждает, что та скорость, которую мы обозначалн всегда через а, действительно является скоростью звука. Приведенное выше уравнение для потенциала выполняется всюду, за исключением центра сферы. Так как оно выражает собой не что иное, как условие неразрывности, то его невыполнение в определенной точке означает, что там имеется либо источник, либо сток. Для того чтобы вычислить мощность источника, составим выражение скорости в направлении г и проинтегрируем это выражение по поверхности сферы, близкой к началу координат. Тогда мы получим для массы, протекающей в единицу времени через сферу, значение 1 ( г) 1 (( г)~ Если мы будем приближать радиус сферы к нулю, то найдем, что мощность источника в момент времени 1 равна (2) д(1) = — 4яУ(1). При движении осесимметричного тела источники и стоки, безусловно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
