К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Значение 0=0 соответствует середине стран, 1=1 — краям струн. При т сопа1 функция Г пропорпиональна отклонению составлягапгей скоРости в направлении л аг критической скорое~и. Р в с 18 Функция Гг для плоской и осесимметричной сверхзвуковых струй. Значение 1=0 соответствует середине, 1=1 — краям струи При л сапв1 функпия Г' прапорциональна составляюгцей скорости, перпендикулярной к оси соила о аг ар оо аг фо й 96 ГЛ 1У ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛА чтобы на поверхности, ограничивающей струю, было постоянное давление').
Пример такого рода струи показан на рис. 48 1стр. 155). Решение, полученное для осесимметричной струи, можно распространить — путем надлежащего выбора постоянных интегрирования— на струю, ныбрасываемую из кольцевой щели. Если мы отодвинем внешнюю стенку такой щели в бесконечность, то получим параллельное течение, ограниченное изнутри цилиндром и движущееся со скоростью звука до крайнего поперечного сечения цилиндра х= О; за этим сечением начинается область пониженного давления, 1 1 1 1 сверкввукавоя 1 1 адаасть ~ Ьг расиииряюиуееся , '! течение свододноя вертноа'аь лароллельное течение с криагиеескай скаросоию ии и 11, Р и с.
21. Расширение ньрлллсчьнага гсчсник, нмсющсга критическую скарасгь, и канне иилинлричсскага гель. вследствие чего струя начинает расширяться, устремляясь во внутреннее пространство. Такого рода поле течения может установиться, например, за тупым концом длинного тела, на которое набегает поток, имеющий звуковую скорость (рис.
21); обтекаемое тело должно быть настолько длинным, чтобы течение вдоль него вплоть до его конца можно было рассматривать как параллельное течение с критической скоростью (Грехэм, см. лиг, 1). Допущения о виде потенциальной функции, использованные в этой главе для решения обеих рассмотренных в ней задач, является частным случаем более общего допущения, которое будет сделано в гл, Х! при исследовании осесимметричного течения с числом Маха, равным единице, 1) Эффект выравнивания критической струн на конечном расстоянии от отверстия доказан в точной постановке Л В Овсянниковым [Проке. машем, и мек., т. 13, вып. 5, 19491. — Прим.
ред. Глава ОСНОВЫ МЕТОДА ГОДОГРАФА В 1. Уравнения преобразованного потенциала и функции тока в плоскости годографа ') (1а) ди до — — — = О. ду дх (! б) На основании уравнения Бернулли а есть функция от и'-+о'. В плоскости течения мы имеем соотношения и=и(х, у), о=о(х, у). В плоскости годографа они должны быть заменены соотношениями х = х (и, н), у = у (и, о). т) В длльневшем для этих уравнений как правило сохранено принятое автором название „уравнения годографл" (Нодоятарцепя1е1сщтпяеп).
— Прим. ред. 7 Зак 534 К Г. Гудерлей Если мы примем в дифференциальных уравнениях течения составляющие скорости за независимые переменные, то придем к представлению течения в плоскости годографа скоростей. В гидродинамике такое представление течения применяется только в случаях с простыми граничными условиями. Такие граничные условия имеют место для плоских течений, на гранипах которых либо напранление скорости, либо молуль скорости, а следовательно на основании уравнения Бернулли и лавление сохраняют постоянное значение. В случае околозвуковых течений подобного рода граничные условия также очень облегчают исследование; граничные же условия более общего вида влекут за собой большие трудности.
Особое значение метода годографа для околозвуковых течений состоит в том, что лля плоского течения уравнения преобразованного потенциала и функции тока оказываются в плоскости годографа линейными. Преимущества, вытекающие из этого обстоятельства, перевешивают трудности, которые метод голографа нносит в граничные условия. Для перехола от плоскости течения к плоскости годографа проще всего исхолить из лифференциальных уравнений для составляющих скорости. Введя для сокращения записи обозначения о„= и, он — — о, мы приведем уравнения 1, 6(1) и 1, 6(2) к виду ГЛ Ч.
ОСНОВЫ МЕТОДА ГОДОГРАфА Из тождества и =и1х(и, о), у(и, о)1 путем дифференцирования по и и о мы получим ди дх ди ду о + дх ои ду ди' ди дх ди ду О= — — + — —, дх до ду до ' (2) причем дх ду ду дх В= — — — — — —— ди до ди до (4) Если внести значения (2) и (4) в дифференциальные уравнения тече- ния (1), то В выпадет из уравнения, и мы будем иметь дх ду — — — = О. до ди (бб) Уравнение (55) удовлетворяется автоматически, если принять, что х= — — ', у= дт(и,о) дт(и, о) ди до (5) где о(и, о) есть дважды днфференцируемая функция от и и о. При использовании функции о уравнение (5а) примет вид р„„(1 — — )+ 2~7 „— +о „(1 — —,) =О. (7) Обычно уравнение (7) выводят нз уравнения для потенциала 1, 4(5), ограничивая последнее случаем плоского течения и применяя преобразование Лежандра (Моленбрек, см.
лит. 1) о (и, о) = их + оу — Ф (х, у), где 5~ есть преобразованный потенциал (илн потенциал Лежандра). Если в этом уравнении рассматривать х и у как функции от и н о. то, выполнив дифференцирование по и н имея в виду, что Ф =и, Ф„=о, откуда следует, что ду ди Ъ~ дх Р Аналогичным путем мы найдем ду до ди дх В дх ди до ду В дх до ди ду В 4 К УРАВНЕНИЯ ГОДОГРАФА мы получим дх ду дх ду 1р =х.+и — + о — — Ф вЂ” — Ф ч ди ди иди У ди' откуда Х=1Р . Аналогичным образом мы найдел1, что У=та. Но это суть ие что иное, как равенства (6). Дальнейшие вычисления выполняются совершенно так же, как и выше, а именно определяют тем же способом, который привел к равенствам (2) и (4), производные Ф, Ф „и Фкю после чего получается уравнение (7).
Представление течения в плоскости годографа не связано с выбором какого-либо привилегированного направления. Это проще всего выразить в полярных координатах. Пусть ш есть модуль скорости, а 9 — угол, образуемый вектором скорости с какой-либо фиксированной осью, например с осью х; тогда мы будем иметь тв2 и2+ о2 Р Ь=агс1а —, ~ и ' и уравнение (7) примет вид р + — '~„(1 — —,)+ — ', раз~1 — - —,)=-О.
(16) — = — ро дт дх дФ вЂ” =и, дх — = ри, дф ду дФ вЂ” =о, ду мы имеем г() = — ро 1(х+ ри 12у, г(Ф = и г(х+ о г(у, откуда следует, что дх = — 1,( — — И+- и г(Ф), 1(у = —,( — г(Р+адФ). 72 При представлении течения в плоскости годографа часто за зависимую переменную принимается функция тока.
Выведем соответствующее уравнение годографа, следуя Буземану [11 (см. лит. 1). Из равенств ГЛ. Ч ОСНОВЫ МЕТОДА ГОДОГРАФА Если мы будем рассматривать в этих равенствах х, у, Ф и ф как функции от тв и Ь, то иа первого равенства получим д +да = — '~ — — ""' ф + — ' Ь)+созЬ~д' + — "; )~, откуда дх 1 ! 51ВЭ дф дФ1 — = — — — — — +созЬ вЂ” /. ды гв ~ р да1 ды/' дх 1 ! 51ВЭ дф дФ'1 — = — 1 — — — +соаЬ вЂ” /. дЭ гя '1 р дв ' дв /' Аналогичным образом из равенства, определяющего вру, мы ду 1 ! сов Э дф . дФА — = — ~ — — +51ПЬ вЂ” ). дв гя 'А р дЭ ' дЬ)' (11а) (1!б) найдем р12а) (12б) Имея в виду, что двх!дгвдЬ=двх!дЬдав, мы получим из пары уравнений 1 ! сова дф .
дФ1 — 11 — — — — 51ВЬ вЂ” /= а1 'А р дгя два ) первой '( —,'- ) ° "(=') = — 5!ВЬ вЂ” — + созЬ— да1 да дге дЭ и аналогичным образом — из второй пары уравнений 1 ! 51ВЬ дф дФ1 — — — — +со5 Ь ив 1 р да1 дгв / "й) ° "(=') . =со5Ь вЂ” — + 5!ПЬ— двв да ' две да 1 д( ) вв да ды да Далее, исключив путем дифференцирования Ф, мы найдем 1 д !ге дф) ( ры) 1д'ф — — — — ав — — = О. ды'1 р дгя/ две дав 11З) Умножим первое из этих уравнений на созЬ, а второе на гйпЬ и сложим их; затем умножим первое уравнение на ып Ь, а второе на сов Ь и опять их сложим.
Мы получим 1 дф 1 дФ ргв дю гав да ' 1 1, УРАВНЕНИЯ ГОДОГРАФА откуда, использовав соотношение 1, 2110а), получим 1'14) Если мы решим это уравнение, то, подставив найденное значение ф в уравнения 111) и 112) и заменив в последних Ф его выражением через ф, мы будем иметь для определения ноординат плоскости течения следующие уравнения: дх 1 . дф лэ дф дю рю ~ дю — = — ~ — яп Ь вЂ” — сов 9 ю дЬ~' Юз ~ соз Ь вЂ” — 51п Ь ду 1 дф .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
