К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Если перемешаться в плоскости течения вдоль нижней границы струи в направлении течения, то вектор скорости будет поворачиваться в направлении вращения часовой стрелки. В свободной струе на достаточно большом расстоянии от отверстия все линии тока становятся параллельными (точка С; в плоскости течения она лежит в бесконечности). В качестве граничных условий мы имеем ф = 0 на оси симметрии н ф = = сопл! вдоль стенки и на свободной поверхности струи.
Примем эту постоянную равной — я!2 (ее выбор определяет масштаб построения). Искомое решение получаешься путем наложения частных решений. Частным решением, равным нулю вдоль АС и имеющим постоянное значение вдоль АВ, будет гл у оснОвы методА годОГРАФА Для целочисленного т частные решения вида ф = ст11тв, 2т) 51п 2тО дают ф = — 0 вдоль О = 0 и вдоль О = л12. Следовательно, выражение — О+ ~~'., а д1(тв, 2т) 51п 2тЬ т=1 удовлетворяет всем граничным условиям для О = 0 и 8 =и.'2. Оставшиеся пока произвольными коэффициенты ат должны быть определены так, чтобы были удовлетворены граничные условия вдоль ВС. Пусть здесь скорость равна шт Это приводит к условию — О+ т ать, 1твт 2т) ьйп 2тЭ =. — — 2- 10 ( О ( -у) .
Следовательно, для того чтобы найти постоянные а„„необходимо представить выражение — к12+О в области 0 (9 (и/2 в виде суммы функций гйп 2тО. В результате получится решение ф= — Ь вЂ” 1 кч Е1 1т, 2т) 5!и 2т8, 2а тл11тт 2т) т -1 Имея это решение, можно с помощью формул Ч, 1115) рассчитать поле течения и, в частности, форму границы струи. Мы не будем заниматься здесь дальнейшими вычислениями, так как с физической точки зрения исследуемое течение имеет лишь ограниченный интерес. С качественной стороны картина истечения из сосуда ясна.
Рассмотренный пример дает первое представление о том, как надо применять метод годографа. Более сложные случаи исследованы, в частности, Лайтхиллом 1см. лнт. 1). й 6. Приближенные представления решений Чаплыгина Как показывает пример, рассмотренный в предыдущем параграфе, решение краевых задач в плоскости годографа приводит к бесконечным рядам, входящим в частные решения Чаплыгина. В связи с этим целесообразно для членов более высокого порядка таких рядов найти приближения, которые сделали бы излишним точное вычисление этих функций. Кроме того, как мы увидим ниже, одно из этих приближений дает точное решение уравнения в частных производных, приближенно заменяющего уравнение годографа в около- звуковой области.
При помощи этого приближения можно перейти от решений приближенного уравнения к точным решениям уравнения годографа. 3 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ЧАПЛЫГИНА 119 Приближенное представление решений Чаплыгина получается для больших значений Ри Зги приближения можно найти посредством некоторых проб, выполняя формальное разложение в ряд относительно 1/т. Более систематичен следующий путь. Преобрззуем в уравнении г', 4(2а) зависимую и независимую переменные таким образом, чтобы, во-первых, член с первой производной исчез и, во-вторых, чтобы член, в который входит тз, имел постоянный коэффициент.
Выполним такого рода попытку сначала в общем виде. Рассмотрим дифференциальное уравнение дв -+ р (тв) д' + т'д (ш) д = О, где р и о суть известные непрерывные функции. Допустим, что решение этого уравнения может быть представлено в виде (2а) д = й (тв) а (х), где (2б) х = х (тв) (конечно, здесь величины а и х не имеют ничего общего с коорди- натами плоскости течения). Из равенства (2а) мы имеем ЛР ~И да Лх Лгл ага + чх ~1ш ' Лзл "-й Лй -чх вл лзл г'лх М чх лтх = — а+2 — — — +й — ~ — ) +й — —. Лгвз Лтз ' Лгв Лгв Лх Лхз 1 Лгв ) Лх джз Внеся эти значения в дифференциальное уравнение (1), мы получим Лзх / Лх та Лх Г дй Лх гГзга ЛХ вЂ” й ~ — ~ + — ~2 — — +й — +р(ш) — й~+ Лх ~аж~ ах ~ ам аш Лх й'ж сий ч'й + г~ —, + р (тв) — + тац (тв) й~ = О.
Для того чтобы член, содержащий тз, имел постоянный коэффициент и одновременно коэффициент при Фа/дхз был равен + 1. должно соблюдаться равенство = У ~ Ч (тв) ~ (з) Далее, для того чтобы первая производная пай(х совсем не входила в дифференциальное уравнение, должно выполняться равенство Лй Лх -Лзх ч'х 2 — — +й — +р(ш) й — =О, Лм лгл дюз ды откуда следует, что (4) Гл ч ОснОВы иетОдА годогРАФА Окончательно мы получим — „;+! т'+г(х))я=О. чхл (б) Знак перед тв следует выбрать в зависимости от знака первоначальной функции д(х). Функция г(х) содержит члены, свободные от т', она выражается через л(х).
Для больших значений т' весьма вероятно, что величиной г(х) можно пренебречь по сравнению с т'. Следовательно, приближенными решениями уравнения (б) будут 5(п тх сов тх (ба) при знаке плюс перед та и аЗиз г= — е- (бб) при знаке минус перед иле. Дальнейшие члены в разложении относительно 1/т могут бьжь определены без каких-либо трудностей. Получение этих членов не следует рассматривать как доказательство пригодности полученного приближения. Однако можно показать, что выражения вида (4), дополненные в случае необходимости конечным числом дальнейших членов, дают приближенное представление соответствующим образом выбранных точных решений для достаточно больших знзчений т с любой точностью. Ряд относительно 1(т в общем случае не сходится, следовательно, при фиксированном значении т ~очность приближения не может быть сколь угодно сильно повышена путем увеличения числа членов в разложении.
Остановимся еще на некоторых соображениях, подтверждающих приемлемость правил, которые следует учитывать при сопоставлении указанных выше асимптотических решений с точными решениями. Аснмптотические представления г = ех "' [уравнение (бб)) возрастают или уменьшаются в направлении возрастающих илк уменьшаю- шихся значений х по экспоненциальному закону. Это возрастание нли уменьшение тем сильнее, чем больше значение т. Точное решение следует выбрать таким образом, чтобы в заданной точке Р оно само и его производная совпадали с одним из асимптотических решений и его производной. Тогда можно ожидать, что кривые, изображающие точное и асимптотическое решения, будут подобны, т. е. что одно из линейно независимых точных решений будет возрастать по экспоненциальному закону для возрастающих значений х, а другое — для уменьшающихся значений х.
Предположим, что, устанавливая в точке Р соответствие между точным и асимптотическим решениями, мы выбрали то асимптотическое решение, которое возрастает вправо. В точке Р мы будем иметь точное совпадение. $ б ПРИБЛИЖЕННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИИ ЧАПЛЫГИНА 121 еп (7) где 1Р' (ш) = е*(шЕ Графики функций л и И' изображены на рис. 28. Из сказанного выше следует, что установление соответствия между точными решениями уравнения Чаплыгина и приближенными решениями зависит от выбора знака в равенстве (7). Если этот В общем случае выбранное точное решение будет представлять собой линейную комбинацию из решения, возрастающего вправо, и из решения, возрастающего влево. Конечно, в рассматриваемом примере решение, возрастающее вправо, будет иметь больший коэффициент, чем решение, возрастающее влево; коэффициент же последнего решения в общем случае будет отличен от нуля.
Однако доля, вносимая в полное решение решением, возрастающим влево, для болыпих значений т быстро увеличивзется по мере перемещения влево и может превысить долю другого решения, быстро уменьшающегося при перемещении влево. В результате может получиться, что влево от точки Р точное решение будет значительно отличаться от приближенного решения. При перемещении от точки Р вправо этого не: может случиться, так как там нежелательная, возрастающая влево доля точного решения быстро становится незна- Лг'иргиг у' чительной. Этим рассуждениям соответствует следующая теорема, доказательство которой с некоторылаи обобщениялли можно найти в соответствующей литературе (см., например, Зейферт, лиг.
1): выражение а = епши или а = е-ш предста- .оуу— вляет точное решение уравнения (б) асимптотически (т. е. для возрастающих значений т все лучше и лучше), если в какой-либо точке комплексной пло- о скости х оно само и его первая производ- ГУЕ ыг'аг" ная совпадают с точным решением и его ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ; ЭтО аСИМПТОтИЧЕСКОЕ Р не. ЗЛ. Функции, испольлуеиые ллл приблии еннога прелстаелениа ПрЕдСтаВЛЕНИЕ ИМЕЕТ МЕСТО дпя ЗиаЧЕ- решений Чаплыгина.
ний х, к которым в коллплексной число-* вой плоскости можно подойти по такому пути, на котором вещественная часть величины еопаш или соответственно е шш не уменьшается. Эти приближения могут быть определены только для уравнения Ъ', 4(2а). Интегрировании, необходимые для вычисления Л и х, выполняются в замкнутом виде, но результат получается довольно сложным. Решения да берутся в виде 122 ГЛ Ч, ОСНОВЫ МЕТОДА ГОДОГРАФА Тогда мы получим )/х г!х =- )7~~ г(тв, откуда найдем (8) Что касается функции л(ш), то она по-прежнему определяется уравнением (4). В результате преобразованное дифференциальное уравнение будет иметь вид лза — „, — [тах+г(х)! а= О, Для получения приближенных решений следует использовать дифференциальное уравнение л за дха — — и'ха =О.
(1О) знак взять положительным, то необходимо, чтобы совпадение точного и приближенного решений имело место при та = О. Если же этот знак взять отрицательным, то можно было бы потребовать совпадения точного и приближенного решений при высокой дозвуковой скорости, но тогда решение было бы пригодно только для небольших скоростей. Для того чтобы область применимости приближенного решения была возможно шире, необходимо выбрать скорость, при которой требуется совпадение асимптотического и точного решений, как можно более высокой. Однако при этом возникает трудность, связанная с тем, что приближенное решение (7) неприменимо для критической скорости (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
