К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 27
Текст из файла (страница 27)
<' 0) левая часть равенства (4), будучи отрицательной суммой двух квадратов, не может быть равна нулю. Если же Ф и Ф „ в дозвуковой области вдоль кривой С равны нулю, то легко показать, что в атом случае течение является параллельным. Из уравнения (4) мы находим +Рх+1)ГФ Ф, =Ф Далее, исключив из уравнений (В) Ф „и Ф„„с помощью уравнений (4) н (2), мы получим ""-'=Ф .(1 =- )Ух+1)/Ф.,' — '), дФ, à — ду1 — „Я =Ф ~+ ~" +1)'Фв+(.+1)Ф. „—,~.
Отсюда дФ„-У"х, 1УФ. Я.=О или 10 ~ У' 1д ) = О. $9, ЛИНИИ РАЗВЕТВЛЕНИЯ В ПЛОСКОСТИ ГОДОГРАФА 139 Это есть дифференциальное уравнение характеристик в плоскости ТР б. Следовательно, скрепление обоих листов римановой поверхности возможно только вдоль характеристики плоскости годографа. Остается показать, что кривая С является характеристикой также в плоскости течения.
Одно из условий, обязательных для характеристик, а именно условие совместности, выполняется, так как кривая С имеет в плоскости годографа своим изображением характеристику. Следовательно, остается только выяснить, имеет ли кривая С в плоскости течения направление, совпадающее с направлением характеристики. Структура годографа не зависит от того, используется ли в качестве зависимой переменной функция тока или преобразованный потенциал. Вдоль характеристики преобразованный потенциал удовлетворяет уравнению Уэ 17, + Чу = 0.
В это уравнение входят только те производные, которые должны быть составлены вдоль характеристистики. Следовательно, оно удовлетворяется и в том случае, когда производные от ду и Иуз в других направлениях не существуют, как это имеет место, например, для сопла Лаваля. Вследствие соотношений Ч, 7(5) я Ч, 7(10) последнее уравнение принимает вид (в-) 1У 'Н г1х+ ду =О, т.
е. совпадает с уравнением 1, 9 14), определяющим направление характеристик в плоск ш и течения. Линии разветвления в плоскости годографа являются как бы подобием предельных линий в плоскости течения. Однако необходимо иметь в виду, что предельная линия в плоскости течения в общем случае не являезся харзктеристнкой, в то время как линия разветвления в плоскости годографа всегда представляет собой характеристику. Конечно, последнее обстоятельство связано с линейностью уравнения годогрзфа.
В примере с соплом Лаваля в линию разветвления в плоскости го, =графа отображается та характеристика плоскости течения, которая выходит из точки пересечения звуковой линии с осью сопла и направлена вниз по течению В нижней половине плоскости течения этой характеристикой является правобегущая волна Маха, Такого рода волны Маха в нижней половине плоскости течения представляют собой волны сжатия, если они исходят от звуковой ливии, и волны расширения, если они исходят от противолежащей стенки сопла. В этом и лежит причина двойного перекрытия плоскости годографа; всегда, когда имеет место такая смена волн сжатия на волны расширения или наоборот, получается многократное перекрытие плоскости годографа.
гл. ч. основы мвтодл годогглел ф 1О. Потерянные решения Выясним теперь, какой внд имеет топограф для течения, развивающегося нз параллельного течения после искривления ограничивающей стенки. В этом случае при построении поля течения посредством метода характеристик получаются волны Маха только одного семейства, например левобегущие волны (рис.
38). Поэтому течение отображается только в одну характе/ / ,' / ристику плоскости годографа, н ка- г / г / / г ждая волна, вычерчиваемая прн по- / / / / У строении поля скоростей, изобра- / / / / / жается одной точкой этой характери// / / / стикн. Конечно, такие решения в плоскости годографа не непрерывны; например, для рассматриваемой характеристики годографа функция ф сюстч течейия. изменяется между двумя предельными значениями, которые определяются линиями тока, ограничивающими поле течения. Следовательно, такое решение обладает вырожденным годографом. Подобного рода решения называют потерянными решеяияли (Толмин, см.
лиг. 1). Для преобразованного потенциала особенность имеет более простой характер [см. уравнение Ч, 7(7)!. Пусть у, и е суть два различных аналитических решения уравнения Трикоми для преобразованного потенцизла, и пусть эти решения таковы, что вдоль характеристики С плоскости годографа совпадают значения самих функций у, и ~уз, но не значения их внешних производных. Координатами х и у, соответствующими решениям е, и р,, пусть будут х,, у, и х,, у,. Вдоль характеристики С вследствие совпадения значений фУнкций 1~г и Уа мы имеем дтг дую иа дтз дта ий + — Л дл дв ич дЧ + иа йл ' или (я+1) 'х, + у, — =(я+1) 'хз+у,—, — 'л — 'л из ив! Ыч' откуда хг — хз — — (х+ 1) (уг — уз) — . ич ' Следовательно, точка второго поля течения, соответствующая заданной точке характеристики С, может лежать только на такой прямой, которая проходит через соответственную точку первого поля течения и имеет наклон г(х/ду, равный — (х+- 1) '— ич 9 П КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В ПЛОСКОСТИ ГОДОГРАФА 141 (производная Ю/г(т) должна быть вычислена для рассматривасмой точки характеристики).
Имея в виду равенство 1, 6 (8) и равенства Ч, 7(8), мы получим Такие прямые суть характеристики плоскости течения, причем если С есть правобегушая характеристика плоскости годографа, то ей соответствует левобегущая характеристика плоскости течения. Мы пришли, таким образом, к следующему результату (рис. 39): два решения, для которых значения преобразованного потенциала вдоль характеристики плоскости годографа одинаковы, но в то же время значения внешних производных этого потенциала не совпадают между собой, определяют два таких поля течения, которые могут быть свяазны друг с другом посредством потерянных решений.
Этот результат дает возможность аналитического исследования потерянных решений. нееоыожоеннае поле 11' птененоя ; реотение т' лора,тптероеп тоно Р ив. 39. Соединение двух невыражден. ных решений восредствои иотериннога решении. ф 11. Краевые задачи в плоскости годографа Мы видели на нескольких примерах, что в дозвуковой области краевые задачи формулируются по-иному, чем в сверхзвуковой области. Отсюда следует, что при формулировке краевых задач для смешанных областей необходимо проявлять особую осторожность. Этот параграф мы посвятим изложению результатов, известных для таких краевых аадач. Доказательств мы не будем приводить, но зато сделаем попытку пояснить все формулировки с помощью физических прилтсров.
Основной результат принадлежит Трикомн (см. лиг. 1). Трикоми рассматривает уравнение Чч„ — ,1фа, = 0, т. е. приближенное уравнение годографа скоростей для околозвуковых течений. Пусть на рис. 40 А и В суть две точки звуковой линии и пусть начало координат лежит в точке А, а границей рассматриваемой области в дозвуковой части поля течения является кривая С, соединяюгцая точки А и В, Относительно втой кривой делаются допущения, обычные при рассмотрении краевых аадач, Проведем через точки А и В характеристики АР и ВР.
Они 142 ГЛ Ч. ОСНОВЫ МЕТОДА ГОДОГРАФА представляют собой границу рассматриваемой области в сверхзвуковой части поля течения. Пусть вдоль кривой С и вдоль характеристики Во заданы значения функции тока ф. Эта функция являешься ограниченной и, кроме того, она должна удовлетворять некоторым более или менее самоочевидным допущениям относительно производных, составленных в направлеу д о Ат Уг эадпно нии кривых С и В1).
От решения ю вадано требуется, чтобы внутри рассматриваемой области существовали его вторые производные и чтобы С ипяакогеуооогак~, Р вдоль звуковой линии величина фчЬ' была ограниченной. Понг эодонк СЛЕЛНЕЕ УСЛОВИЕ будЕМ НаЗЫВатЬ условием Траками. Трикоми доказал, что при сделанных допущениях существует единственное Р с. 4о. ко тр з кра оя заааче решениелифференциальногоуравТрикоии. пения (1), удовлетворяющее заданным граничным условиям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
