К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 24
Текст из файла (страница 24)
кривую л (тв(ш*) на рис. 28!. Приближенные решения становятся бесконечно большими, в то время как точные решения ограничены. Принятие приближенным решением бесконечно большого значения объясняется тем, что при преобразовании исходного дифференциального уравнения (!) мы заменили переменный коэффициент п(ш) при члене с тв постоянным коэффициентом. Между тем при критической скорости функция д в первоначальном дифференциальном уравнении обладает нулем, следовательно, вводя условие (3), мы существенно изменяем исходное дифференциальное уравнение.
Для устранения этой трудности необходимо ввести в соответствующий член приближенного дифференциального уравнения в качестве множителя такую функцию, которая при критической скорости обладала бы нулем. Воспользуемся опять допущением (2а), но потребуем теперь, чтобы соблюдалось соотношение 3 б. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИИ '!АПЛЫГИНА 123 Решения этого уравнения выражаются через функции Бесселя порядка туа (табулированы Вычислительной лабораторией национального бюро стандартов США (Сошрн1а11оп ЕаЬога1огу о1 1чта((опа! Внгеап о1 81ап<(аг<)8), см.
лнт. 1); для отрицательных х мы получим а=17 )х! ~ — с,е-'7'А<,1=<т1х)')+с,ег 781 7,11 — тт!х!А)~, (1!а) а для положительных х 5 = 17 х ~с>А7,,( — тх ')+ 027' 7, (: тх "), (11б) где с, и г, суть постоянные. Их выбор не совсем произволен. В самом деле, выражения имеют одно н то же асимптотическое предо~веление, т. е. оба выра>кения асимптотически линейно не независимы.
Если выбрать с, = сп, то члены разложе- ния, играющие преобладающую Е00 да роль для больших значений т, взаимно уничтол<атся и получится выражение, асимпто- 750 50 тически линейно независимое от всех других, в которых с, и са не равны друг другу; 1 700 асимптотическое представление < 700 этого решения (равенство (11а)1 дуу -д5 уменьшается при х-и — сс по экспоненциальному закону.
Все 050 -70 другие решения при х -и — сс возрастают по экспоненциальДР5 -75 ному закону. Графики функ- 0 -50 Р и с. 2Ч Некоторые 4>ункпии, вводимые в расчет в секанс асныптотическим представаением решений уравнении Трикомн (па Гудерде<о 181>. ций 77 и Х, ПОлучаЮШихся при - .5 -50 -75 -777 -05 0 05 70 применении высказанных со- 'У вЂ” ' ображений к уравнению т<', 4 (2а), изображены на рис.
29, на котором переменная х обозначена через т). Все построенные на рис. 29 величины являю~си функциями >). Можно действительно доказать, что выражения вида (11), взятые один раз со значениями с,=с,=!, а другой раз — в иной линейной комбинации, сколь угодно точно представляют соответствующие точные решения дт.
И здесь необходимо соблюдать указанные выше условия об установлении соответствия между точными и асимптотическими решениями (правда, при этом требуется некоторое изменение форму- 124 ГЛ Ч. ОСНОВЫ МЕТОДА ГОДОГВАФА лировки, так как ход изменения функций Бесселя сходен с ходом изменения экспоненциальных функций лишь асимптотически). Решение, получаемое для с, = с, = 1, представляе~ собой асимптотическое приближение того точного решения, которое совпадает с асимптотическим при в = — со, т. е.
при тэ = О. Этот случай соответствует решению дн определяемому равенством У, 4(4а) при положительном значении и. Для других линейных комбинаций необходимо вводить требование о совпадении зснмптотических и точных решений при звуковой и даже при сверхзвуковой скорости. Тогда в любом случае получится приближенное представление, пригодное для большого диапазона скоростей. Математическая теория дана Р. Е. Лангером; см. также работы ф, И.
Франкля (3), Иман и Гудерлея 1!6)(лиг. 1). ф 7. Уравнение Трикоми ф(тэ, 6) = Й(ев) ф (з1(ш), 1)), в точности соответствующее преобразованию У, 6(2а). Тогда мы получим уравнение — чфаа = г (ч) ф, (2) аналогичное уравнению У, 6(9). В соответствии с преобразованием П, 3(3), примененным в гл. П для упрощения (в плоскости течения) дифференциального уравнения околозвуковых течений, применим здесь, пользуясь параметром -., преобразование где (3) 6 3т-~4 Внеся это значение ф в уравнение (2) и ограничившись наинизшими степенями т, мы получим ~Ф--= О. чч (4) В дальнейших исследованиях мы будем всегда пользоваться упрощенным уравнением годографа.
Гэыло бы желательно иметь это упрощенное уравнение таким, чтобы для него частные решения Чаплыгина имели вид, определяемый формулами У, 6(11), Это дало бы возможнос~ь просто переходить от решений приближенного уравнения к решениям точного уравнения годографа. Для достижения поставленной цели применим к полному уравнению годографа преобразование 125 67 УРАВНЕНИЕ ТРИКОМИ Решения Чаплыгина этого уравнения являются, очевидно.
асимптотическими представлениями решений Чаплыгина полного уравнения годографа. Упомянутый выше переход от приближенных решений к точным решениям можно представить себе (в принципе) следующим образом: решение приближенного дифференциального уравнения (4), которое не обязательно лолжно получиться в виде наложения решений Чаплыгина, развертывается в ряд по этим решениям и затем вводится поправка на несовпадение решений Чаплыгина и точных решений'). До настоящего времени примеры такого рода еше не рассчитаны.
Если такие расчеты удастся выполнить, то это даст представление об ошибках, получающихся при использовании приближенного уравнения. Уравнение (4) называется уравнением тримозги, так как Трикоми первый исследовал краевые задачи, приводящие к такому уравнению. Обычно уравнение Трикоми выводится не из преобразованного уравнения годографа, а непосрелственно из первоначального уравнения годографа, но при этом вместо допущения (3) вволится другое, а именно: ф=ф6 8) >1 =- (х +- 1) Ь , с (5) Ь= 8 -чв.' Внеся это значение ф в уравнение Ч, 1(14) и использовав соотношение 1, 2(8), мы будем иметь Ф-.-('+1) " '+Я-,(+1)-"т-' — (+1)-" -'~Ф-,-,+- +"!лены более высокого порядка относительно т= О. Ограничившись членами наинизшего порядка о~носительно -., мы получим отсюда опять уравнение (4), Кривая на рис, 29, изображающая связь между скоростью и независимой переменной >1, заменяется при использовании допущения (5) касательной к ней в точке, соответствующей скорости звука.
Более сложный вил связи, получающийся при использовании допущения (1), обусловливается функцией )т(я). Эта более сложная связь проявляет себя прежде всего при исследовании деформации контура обтекаемого тела, возникающей при применении закона подобия. Поэтому слелует отдать предпочтение второму способу вывода уравнения Трикоми. Правла, прн переходе от решения 1> (тн 8), понимаемого в смысле второго способа вывола, к точному уравнению годографа возникают трулности. Пример, который з) Такой переход пе всегда может быть выполнен соболь просто.
Трудности возникают особенно в том случае, когда решения, подлежащие разложению, имеют особые точки в дозвуковой области. 126 ГЛ тт ОСНОВЫ МЕТОДА ГОДОГРАФА Фишер (см. лиг. !), показывает, что приемлемые результаты (рис. 30). Внеся аналогичные полстановки в уравнение преобразованного потенциала и выполнив соответствующее упро)цение, мы опять получим уравнение Три- коми о ОГ 5) )1г )2б Ог аг уи .я/~— Р и с 30. Распрелеление лаваения на полжнлгаюшей стороне пластинки шнрннм 1, постав. .евиной пол углам атаки 13Ч Сплошная кривая — решение точного уравнения в плоскости гологрвфа !Винчеити, Вагонер и Фишер), штрпхова» кривая в решение приближенного уравнения р, 7 15); штрих-пунктирная кривая — решение йриближеннаго уравнения Н, т !3). ф=Р губ.
(7) Лля определения координат в уравнения дл 1 — = —,. ( +1) ' р)б, да) р "ы' дх 1 — = —,, (х — ) — 1) 'ф„ да откуда сразу найдем 1 У= ° ° т' р ти (9) а затем, использовав преобразованный потенциал, получим (х+ 1) )" х= (1О) 1 У = —. Рб ° рассчитали Винченти, Вагонер и приближение (3) дает вполне 24 В дальнейшем для упрощения записей мы будем писать т), Ь вместо ф, гр, и, Ь, а параметр т после выполнения разложения будем полагать равным елинице.
Приведем еще некоторые соотношения, которые получаются из точных равенств, если внести в них значение г), определяемое допущением (5), и затем ограничиться членами с наименьшей степенью т. Тогда соотношения Ч, 1(16), связывающие потенциал и функцию тока, примут вид плоскости течения мы получим 127 э э. пвимегы поствоиния годогвлел Далее мы найцем тв — ыг' = тв'(х+! ) р — р* = — р'ш" (х + 1) ся — — Р, „— = — 2 (х+ 1) р'Ж' 2 гИ вЂ” 1 = — (х -+. 1) "т!. (1 1) Функциональный определитель О будет равен (12г 8 8. Примеры построения годографа Для лучшего представления о форме, принимаемой полями течения после их отображения на плоскость голографа, рассмотрим несколько примеров.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
