К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Положив — 2а)п а = гм 5 В. ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ГОДОГРАФА 133 т. е. для вешественного а в первом приближении а = а, о = 1т апа 1г — ао)ча, или О= О при у=О, х х, о = + а'У* ) х — хо ) 'А при у = О, х ( хо, Наклон линий тока в первом приближении равен О при х хо, :" ач, х — хо 1Ч при х ( хо. Следовательно, уравнением линий тока будет у=о 2 у=+ — ач )х — х ~ч 3 о при х) хо, при х(х. (22) Это течение сходно с течением около задней кромки профиля Жуковского, Плоскость течения здесь разветвляется и образует двулистную риманову поверхность.
Само течение может происходить, Е вбелглол паола Ргга Р н с. Ве о — ючка раааегвленна лнннн тока 1в плоскости топографа), в которон скорость не равна нулю; б — соответствуюшав Лвулнстнан плоскость теченнв. конечно, только в одном листе. На рис. 34, б эти листы изображены раздельно. Жирными линиями обозначены нулевые линии тока. Оба листа скреплены друг с другом вдоль линий, обозначенных одинаковыми буквами. На рис. 34, а показан соответствуюший годограф. гл р основы мвтодл годогрлэл Течение около окружности определяется комплексным потенциалом й= ил-+ ~ .
(23) После перехода на плоскость годографа мы будем иметь ра = у ~/ + 1/ге 'р/у — ш. (24) Применив преобразование Лежандра, мы получим (25) Ф = то — тв' = я*(и+ 1) Лтй Фр = тв*Ь. г) Начиная с этого места, буква ы применяется в своем прежнем смысле, т. е. для обозначения модуля скорости, Следовательно, один лист плоскости течения отображается на два листа плоскости годографа.
Один лист плоскости годографа, соответствующий верхней половине плоскости течения, изображен па рис. 35 вместе с нулевой и двумя другими линиями тока. Часто полю течения, кажущемуся совсем простым, соответствует весьма сложный топограф. Для примера укажем на обтекание окружности с циркуляцией. Проще всего такие поля течения исследуются при помощи преобразования Лежандра. Рассмотренные выше примеры не прите надлежат к числу „классических".
Один из классических примеров, а именно истечение Р и с. Зб. Отображение нл плос ос ' толотрлфе с ниетрие- из сосуда, мы привели в Э 5 настояшей главы. Другие такие примеры будут разобраны в следующей главе. В большей части этих примеров структура годографа весьма проста. Конечно, внося небольшие изменения в граничные условия на плоскости течения, можно значительно усложнять структуру годогрзфа.
В качестве последнего примера рассмотрим то течение через сопло Лавадя, для которого мы уже нашли решение в й 2 предыдущей главы. Так как это решение удовлетворяет приближенному уравнению для потенциала, выведенному для околозвуковой области, то соответствующее ему решение в плоскости годографа удовлетворяет уравнению Трикоми. Переменные Фж и Фр [уравнения 1Ч, 2(4) и 1Ч, 2(5)1 опрелеляют отклонение течения через сопло от параллельного течения.
В обозначениях предыдущего параграфа мы имеем ') 135 а 3. пРимеРы пОстРОения ГОдОГРАФА Уравнения 1Ч, 2(4) и 1Ч, 2(5) принимают теперь следующий вид: (26а) (26б) где с, = (х+ 1) с. (26в) В рассматриваемом приближении линия у = сопз1 является линией тока. Исключив х из уравнений (26а) и (266), мы получим ( 'ц-' 6 = (х+ 1) Л сяя1у+(- —" ) сзуз. (27) При фиксированном значении у уравнение (27) дает прямую в плоскости ть 6. Эти прямые имеют своими огибающими характеристики, проходящие через нулевую точку плоскости ть 6. Наклон этих прямых равен ч'3 — „=(х+ 1) 'с,у Наклон характеристик на основании равенства 1, 6(8) равен яяа нч — — + т'А Следовательно, для прямой у=сопз1, наклон которой при определенном значении я1 одинаков с наклоном характеристики, соблюдается соотношение (х+1) 'с,у=.~ Т1з'.
Использовав это соотношение, мы можем переписать уравнение (27) в виде Ь= + Я)з"Я1 г 3 Я1сЯ При я1 ='лз мы получим 6 — — ~'/я 2 3 т. е. рассматриваемая точка прямой лежит одновременно на характеристике, проходящей через нулевую точку (в самом деле, эта характеристика определяется последним уравнением). Все линии поля течения, вычерченные на рис. 16 (стр.
91), определяются тем или иным поведением вектора скорости и поэтому без труда мокнут быть перенесены в плоскость годографа. Годогрзф рассмотренного течения изображен на рис. 36. Бросается в глаза следующая его особенностгс область, которая расположена между обеими характеристиками, проходящими через нулевую гл.
ч, основы мвтодл годогрлел точку, перекрыта линиями тока трижды. В самом деле, через каждую точку этой области проходят три прямые, каждая из которых касается одной из указанных характеристик. Годограф на рис. 36 построен только для нижней половины поля течения; область АОВРО перекрыта олин раз, а область ВОŠ— два раза.
Трехкратное перекрытие области ВОР получится после отображения на плоскость годографа верхней половины поля течения. Тар кого расположения линий пики в плоскости годографа следотвка лпроктвр ик зало ожилать также из рас- смотрения формы линий тока А — — — — -д в плоскости течения. Бели рассматривать тече- ние через сопло Лаваля с точтарактериапика и ки зрения краевой задачи овибоккгтап пикиб тока (рис.
37), то многократное перекрытие некоторой области годографа не является чем-то Р пс. Зб. Изображенпе в плоскости топографа ОСОбЕННО важНым. ВыяСНИМ, Рся"Пн" П'Лт"ПНОГО ЛЛЯ ТЕЧЕНИЯ ЧЕРЕЗ СОПЛО в соответствии со сказанным Лаваля. на стр. 91, какая часть стенки сопла должна быть задана для того, чтобы можно было определить дозвуковое поле сопла и ту часть сверхзвукового поля, которая влияет на дозвуковое поле. Очевидно, должна быть задана граница оаь аоп,та у стпввуковав гг обивать ут ввуковтт,г птка птароктвриьтико ! Р не. 37. а — поле теченнн через сопла Лзваля, б — нзображснгге в плосностп ч, б.
всей лозвуковой области и та часть границы сверхзвуковой области, которая простирается от точки пересечения ее с звуковой линней до точки пересечения с характеристиками, проходящими через нулевую точку. Эти характеристики являются предельными. (Необходимо обратить внимание на следующее: если в плоскости течения задан некоторый контур, то граничные условия в плоскости годографа не могут быть предписаны вдоль заранее заланного контура; в то же время т з линни глзввтзлания з плоскости годогглФл азу предельная характеристика предопределена в любом случае, поэтому должно быть ясно, что условия, которые заданы по другую сторону предельной характеристики, не могут влиять на дозвуковое поле течения.) На рис.
36 часть АОВГР поля течения перекрыта один раз. Продолжение этой части поля течения можно построить с помощью метода характеристик, причем проще выполнить это построение в плоскости течения. Отобразив это продолженное поле течения на плоскость годографа, мы увидим, что многократное перекрытие сверхзвуковой области получается автоматически '). 9 9. Линии разветвления в плоскости годографа В последнем из примеров, рассмотренных в предыдущем параграфе, мы видели, что вдоль характеристики, проходящей через нулевую точку, скрепляются друг с другом два листа плоскости годографа, следовательно, если мы будем перемещаться вдоль какой-либо линии тока, то перейдем с одного листа на другой.
Выясним, какие условия должны выполняться для того, чтобы была возможна такая структура плоскости годографа. Пусть С есть та кривая в плоскости годографа, вдоль которой скреплены оба листа. Изображение этой кривой в плоскости течения обозначим также буквой С. Вполне возможно, что в плоскости течения решения, получающиеся с обеих сторон кривой С, не переходят одно в другое путем аналитического продолжения. Такой случай будет иметь место только тогда, когда кривая С является характеристикой как в плоскости течения, так и в плоскости годографа. Мы исключим ив рассмотрения случай подобного рода и предположим, что в плоскости течения решение вдоль кривой С аналитическое.
Выясним, может ли кривая С быть характеристикой при таком предположении. Мы имеем общие формулы: дл да ди = — - г(х + — с(у, дх ду дв до по = — пх + — с(у. дх ду Если определитель, состоящий из коэффициентов при дх и пу в правых частях равенств, не равен нулю [этот определитель представляет собой не что иное, как обратное значение функционального определителя д(х,у)/д(иго)), то правые части линейно независичы, и поэтому между плоскостью годографа и плоскостью течения существует взаимно-однозначное соответствие. Очевидно, что в том случае, когда вдоль кривой С скреплены два листа годографа, такого г) В литературе многократное перекрытие сверхзвуковой области иногда используется для получения решения в плоскости годографа. С физической точки зрения такой способ нельзя считать удовлетворительным.
ГЛ Ю ОСНОВЫ МЕТОДА ГОДОГРАФА соответствия между плоскостью годографа и плоскостью течения не может существовать. Следовательно, если вдоль кривой С скреплены два листа римановой поверхности, то должно иметь место соотнощение ди дв дв ди — - — — — — =О, дх ду дх ду или, если ввести потенциал скоростей Ф, Ф „Ф„„— Ф „=о.
(1) Для упрощения вычислений положим в основу исследования приближенное уравнение околозвукового течения П, 8(1), т. е. уравнение — (х .+ 1) ФмФ „+ Ф„„= О, (2) Наклон кривой С определяется выражением ду/пх. Взяв от Фх и Ф„ производные вдоль кривой С, мы получим ~~ф пу ах хе+ хв Их ' — Фхв+ х вв (Зб) Внеся в уравнение (1) значение Ф„„из уравнения (2), мы найдем (х+1) Ф~Ф.'.„— Ф'„= О. (4) Это равенство показывает, что рассматриваемая возможность скрепления обоих листов римановой поверхности осуществима только в сверхзвуковой области (Ф ) 0), так как в дозвуковой области (Ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
