К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Формулировка рассматриваемой краевой задачи содергкит в себе отличительные черты, свойственные, с одной стороны, дозвуковой задаче, а с другой стороны, сверхзвуковой задаче (с зтими отличительными чертами мы уже познакомились на стр, 32 — 33). В самом леле, контур, вдоль которого заданы значения ф, в дозвуковой области А С г' оредеран эвуковая г харокогер кганоя -4,'~ а, дпэвуковон аднаоога 'угпован гоокка Рнб Е С в уз=а А, Р и с 4!. Течеиие, госограф которого соотиетстзует заааче Трикоии.
замкнут; наоборот, в сверхзвуковой области значения у заданы только вдоль одной характеристики. Для придания сказанному наглядности сформулируем в плоскости течения такую краевую задачу, которая в плоскости годографа приводит к задаче Трикомн. Па рис. 41 показано сонло Лаваля с прямолинейной стенкой. Рассмотрим только нижнюю половину поля течения.
Ось симметрии сопла и стенка отображаются на пло- Э 11 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В ПЛОСКОСТИ ГОДОГРАФА 143 скость ть Ь в виде линий ф — — сопз1, Примем, что вдоль оси сопла ф = О, а вдоль изображения стенки ф = — 1. Далее необходимо сделать какое-то допущение о значениях ф во входном поперечном сечении. Можно, например, задать значения ф вдоль прямой 11 = сопз1, соединяющей линию тока, совпадающую с осью симметрии сопла, с линией тока, совпздающей со стенкой. Однако проще отодвинуть входное поперечное сечение в бесконечность как в плоскости течения, так и в плоскости годографа.
Тогда достаточно потребовать, чтобы там ф увеличивалось монотонно от — 1 до нуля. Далее в соответствии с формулировкой Трикоми зададим значения ф = — 1 вдоль характеристики Е1Е и, наоборот, не будем залавзть каких- либо значений ф вдоль характеристики ЕА. Если в плоскости годографа функция тока Вдоль какой-либо характеристики сохраняет постоянное значение, т. е. если характеристика совпадает с линией тока, то такая характеристика отображается в одну точку плоскости течения 1см. уравнещгя 'д, 1 115) и Н, 3 (3)1. Так как вдоль характеристики ):)Е направление вектора скорости изменяется, то отображение этой характеристики в одну единственную точку плоскости течения означает, что в плоскости течения имеется угловая точка (точка 0— = Е).
Около этой угловой точки возникает расширяющееся течение Мейера, известное из сверхзвуковой аэродинамики. Сказанного достаточно для понимания поля течения на рис. 41. Волны Маха расширяющегося течения соответствуют тем характеристикам плоскости топографа, которые, начинаясь на ОЕ, направлены к звуковой линии 1например, характеристике ОЩ С точки зрения общей картины течения сопло Лаваля. изображенное на рис. 41, мзло отличается от сопла Лаваля на рис.
!6. В самом деле, изменение контура сопла в дозвуковой области в общем случае не играет роли. В сверхзвуковой области разница между обоими соплами состоит в том, что отрезок АВ, порожлзющий на рис. 16 волны Маха, идущие к звуковой линии, стягивается на рис. 4 1 в одну точку 10 = — Е). Можно предполагать, что граничная задача для течения, изображенного на рис.
16, также имеет единственное решение. Выясним, как следует сформулировать анзлогичную грзничную задачу в плоскости годографа. В задаче Трикоми выбор контура дозвуковой области внутри физически оправданных пределов почти полностью произволен. Совсем по-иному обстоит дело с выбором контура сверхзвуковой области.
На рис. 4 1 переход от дозвукового контура к сверхзвуковому в угловой точке, нзходящейся в самом узком поперечном сечении сопла, кажется совершенно произвольным. Но если в плоскости течения контур сопла не имел бы угловой точки, то тогдз он не отображался бы в одну характеристику плоскости годогрзфа.
Вдоль контура мы имеем ф = сопз1, поэтому здесь — — + — = О. дф дп1 дф дгв дз дз 144 ГЛ Ч. ОСНОВЫ МЕТОДА ГОДОГРАФА откуда дф егер да дз дф дю Так как в дозвуковой области функциональный определитель отри- цателен, то он должен быть отрицательным и внутри сверхзвуковой области; в противном случае мы имели бы физически нереализуемое течение. Поэтому на основании равенства Ч, 2(4) должно быть ! дф ) ) А4~ — 1(дф Следовательно, контур должен иметь в каждой точке наклон !дтпл(б!, не превышающий наклона характеристик'). Таким образом, мы пришли око ериеоеока Р и с. 43.
Дааькейоаее обобиаение аааачи Трнкоми. Р и с, 42 Конкур в обобщенной крае- вой ааааче Трикоми. к краевой задаче, в которой дозвуковой контур столь же произволен, кэк и в задаче Трикоми, а сверхзвуковой контур состоит из характеристики (АВ на рис. 42) и некоторой кривой ВС, наклон которой ~ акр/б(Ь ~ не превышзет местного наклона характеристик. Значения ф заданы вдоль дозвукового контура и вдоль кривой СВ. Эта краевая задача исследована не столь полно, как краевая задача Трикоми. Доказательства единственности решения даны Ф. И.
Франклем (б), Хэтлин Моравец 121 и Гудерлеем [5) (см. лиг. 1). Дальнейшее обобщение краевой задачи мы получим, если для случая, изображенного иа рис. 16, включим в поле течения также верхнюю половину сопла Лаваля или если воэьмеч для сопла Лаваля такое поле течения, которое не обладает симметрией. Для такого рода краевых задач сверхзвуковые контуры в плоскости годографа у) С математической точки зрения требования о том, чтобы функциональный определитель бый отрицательным и чтобы вдоль контура имело место равенство ф = О, являются чуждыми для краевой задачи. Однако при эвристическом подходе они вполне допустимы, тйк кэк приводят к надлежащей формулировке краевой задачи.
а 11 кРАеВые злдАчи В плОскости ГодОГРАФА 145 имеют вид, изображенный нз рис. 43. Упомянутые выше доказательства единственности применимы и к этим случаям. Скачки уплотнения, возникающие в параллельном течении, отображаются на плоскость годографа в виде ударной поляры, т. е. в виде заранее известной кривой. Вдоль этой кривой имеет место граничное условие (Франкль (6! и Гудерлей (2), см. лнт.
1), которое мы сейчас выведем. Уравнения ударной поляры для околозвукового течения мы получили уже в э 4 гл. И !уравнение И, 4(8)!. Теперь мы имеем ЬО,=О, ЬО„= — а" Ь, О,1= (к+ 1) 'а*т11 О „= (к+ 1) Аа"т!ц; следовательно, уравнение И, 4(8) принимает вид ° — 81=-У' -(~,- 81) -г ч+ч (2) Для определения направления ударной поляры следует продифферен цировать уравнение (2); мы получим — "-= — [8(11п+ тц)) '"(Зъ)и+т1,).
чп Но мы имеем г(х = — — с(т) -! — — д8, дп ' дз д дз — да Внеся эти значения в уравнение (3), заменив затем частные произ- водные от х и у их значениями из равенств Ч, 7(8) и использовав, наконец, уравнение (4), мы найдем линейное грзничное условие, которое должно выполняться вдоль ударной поляры, —, у' чп+' " +' =О. 2 5ЧП+ ЗЧ ф +ф» (б) 10 Зкк. Э34. К. Г. Гулеркеа В этом уравнении индекс ! по-прежнему относится к состоянию до скачка уплотнения, а индекс И вЂ” к состоянию после скачка. Граничное условие. которое должно выполняться вдоль ударной поляры, выражает собой следующее: перемещению в плоскости голо- графа вдоль ударной поляры должно соответствовать в плоскости течения перемещение в предписанном направлении, а именно в направлении линии скачка.
Последнее определяется только скоростями до скачка и после него. Так как изменение вектора скорости, происходщцее на скачке, направлено по нормзли к линии скачка, то для определения направления этой линии мы имеем уравнение 1)-ча ч! 1и (3) 46 ГЛ У. ОСНОВЫ МЕТОДА ГОДОГРАФА Его можно истолковать следуюшим обрззом. Вдоль линии ф = сопз1 имеет место соотношение лз ~,-1-эо — — =0, Фч поэтому наклон этой линии равен тгз ф„ Ь' Правую часть этого равенства можно вычислить из граничного условия на ударной поляре; сделав это, мы получим Лта / Ч+т1 7ел +Ч, 16) Фч 2 5тп,+З,г. Следовательно, наклон линий тока заранее. Нз рис, 44 изображены ударные 0,4 и 0,2. На ударной поляре для вполз ударной поляры задан поляры для т1, = 1; 0,8; 0,6; тг =- 1 показзны посредством Р ис. 44 уаарные нолярм в плоскости М З с отиеяевнмми ианравлениями волкова линий тока (но Гулерлею 1211.
коротких отрезков направления линий тока, подходящих к поляре. В точках Ю поляры соблюдается вдоль линий тока равенство т1 = сопз1, а в точках Я 1точки Крокко) — равенство й =-.сопз1; в точках 14 разность Ьн — 8, имеет для ударной поляры максимальное значение. На рис. 44 изображены также некоторые характеристики. Вси характеристика, проходящая через точку т1, = 1, Ьп — 9, = О, лежит внутри ударной поляры, проходяшей через эту же точку. 148 ГЛ Ю ОСНОВЫ МЕТОДА ГОДОГРАФА х = 71(Ь), у= 75(Ь). Функции Л и уо связаны соотношением " =У;=1, лу 3 лх у' Контур в плоскости годографа пусть ззлаи уравнением м4 = ТВО(Ь). Если воспользоваться преобразованным потенциалом, то для определения х и у мы будем иметь следующие уравнения: х =- 71(Ь) = ~~ (тво, Ь)созЬ вЂ” — <уо(тво, Ь) 51пЬ, 1 тзо у = уо (Ь) = оо4„(гво, Ь) 5! п Ь + — ооо (тво, Ь) сов Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
