К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 29
Текст из файла (страница 29)
1 (7а) (7 б) Эти УРавнении позволЯют вычислить значениЯ 14 и 475 вдоль контУРа; мы получим (За) ~ ( о Ь)=Л(Ь) 1 то (~о' Ь) У4 ( )' ~о (Ьб) В местной систел1Е КОординат Х, У, имеющей общее начало с первоначальной системой. ио повернутой относительно нее так, чтобы ось х совпадала с направлением местного вектора скорости, функции уо и 74 совпадают с функциями 71 и 7. При однократном дифференцировании выбранная таким способом система координат х, удолжна оставзться неизменной.
Угол, образуемый скоростью с осью х, обоаначим через Ь. Конечно, в рассматриваемой точке Ь = О. В системе следует опрелелить граничные условия для случая, когдз контур в плоскости течения претерпевает заланное небольшое изменение.
Граничные условия такого вида имеют взжное значение для исследования полей течения вблизи числа Маха, равного единице, а также для приш1нпиального решения вопроса о том, могут ли воаникать скачки уплотнения в смеп1анных до- и сверхзвуковых полях, если контур обтекаемого тела заланным образом изменяется. Небольшсе изменение контура, которое должно быть предпринято в плоскости течения, может быть учтено линеаризацией граничных условий в плоскости годографа, причем сначала выводятся граничные условия для общего уравнения голографа, а уже затем составляется приближение специально для случая околозвуковых течений. Для описания контура в плоскости течения можно зздать координаты х и у в виде функций от Ь, т.
е. положить 6 11 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В ПЛОСКОСТИ ГОДОГРАФА 149 координат х, у уравнение (7б) принимает вид а'у — „э — — Уз — У4 В рассматриваемой точке контура у'=О, поэтому Уз =.44 Из сказанного вытекает геометрический смысл функции 741 она опреде.чяет расстояние касательной, проведенной через рассматриваемую точку контура, от начала координат (рис. 46). Изменим теперь функцию 74 на небольшую величину Г 4. каттат, ~ - как Тогда решение, удовлетворяю- от д'к ка „ай ан щее новому граничному условию, будет отличаться от первоначального решения а на „а .
к малую величину Ф. Положе- ка~ай ние контура в плоскости годографа также немного иаменится, т. е. функция ш (Ь) заменится функцией шо (Ь) -+ + )Р~(Ь). Таким образом, граничными условиями в новом течении будут 1 --, + р. (Ь(~~+)Ьо Ь)+Ф~(~. +%~. Ь)) =Л(Ь)+74(Ь), ' р ( "+17' ° Ь)+Ф.( +%'о. Ь)=У.(Ь)+Г.(Ь).
Р ис. 46 Геометрический сммсл функции У 1ап Гулерлею 12)1 Если считать величины Р4, 44'о и Ф малыми, последних уравнений дает то линеаризация мо тй(сао з) з о рюю(шо Ь) ~'о+ Фю(шо Ь) = ~'4(Ь) Исключив В'о, мы найдем з + м ( + ошо л ю~ 41юю 4 ~ з мо о шо Таким образом, граничные условия могут быть представлены в следующем виде: то( о' ) к4( ) 1 (9а) сао сею(ШО '1) = 74(Ь). (9б) з и кРАеВые злдАчи В плОскОсти ГодОГРАФА 151 Тогда, перейдя от интегралз по поверхности .~',/~ дю + м ( лз) к криволинейному интегралу, мы получим !~ ртлФмдй — Г (1 — — ) Фз 4(п! = О. (1 1) Ф = тФ(тп 8), где т, и Ь определяются равенствами 41, 7(б). С этим допущением совместимо допущение, что ~4(8) ' ' ~4( )' Внесем это значение Г в граничное уравнение (1О); ограничившись членами нзинизшего порядка относительно ".
и заменив Ф и й4 на Ф И Р4 МЫ ПодуЧИМ (12) Первоначальный контур в плоскости ть Э задан уравнением т! =- '6о (8) . Производная 41!4(4(Э определяет в соответствии с уравнением (9б) с точностью до множителя (я+1) ' значения х, отвечающие заданным значениям Ь наклона поверхности, а производная 44444/а48— изменение величины 4(14(М вследствие деформации контура.
Доказательство единственности решения такой задачи дано Кэтлин Моравец (!] (см. лит. 1). Выражение под знаком последнего интеграла пропорционально левой части уравнения (10). Таким образом, рассматриваемая задача аналогична краевой вадаче второго рода теории потенциала, поэтому мы будем называть ее краевой задачей зтороао рода. Для замкнутого контура соотношение (11) вместе с уравнением (10) являются условием разрешимости краевой задачи совершенно аналогично тому, как это имеет место в теории потенциала.
Однако рассматриваемые нами контуры часто це замыкаются в сверхавуковой области, и тогда ааранее не ясно, существует ли такое условие. Некоторые соображения дают основание предполагать, что и в этих случаях необходимо существование дополнительного условия (см. стр. 284), Соответствующее граничное условие для уравнения Трикоми получаегся либо непосредственно, либо путем таких же упрощений, какие были сделаны при выводе самого уравнения Трикоми. Допустим, например, что 152 ГЛ.
Ч. ОСНОВЫ МЕТОДА ГОДОГРАФА В большей части последующих приложений граничные условия однородны, например поверхность обтекаемого тела дается уравнением ф = 0 или вводится требование о том, чтобы при наложении на заданное течение дру~ого решения поверхность тела оставалась неизменной, что приводит к условию (12) с правой частью, равной нулю. Тогда решение в плоскости годографа содержит по крайней мере одну. особую точку.
Очень часто эта точка является особой точкой внуковой линии, следовательно, возникающзя здесь особенность определяется частным решением уравнения Трикоми. В этих случаях однородные граничные условия удовлетворяются путем наложения на решение, определяющее заданную особенность, другого решения уравнения Трикоми, удовлетворяющего условию Трикомн и дающего вдоль контура рассматриваемой области такие же дополнительные слагаемые (с точностью до знака) к граничным значениям, как и особое частное решение.
Для краевой задачи первого рода такое решение единственно, если задано выражение особенности. Напомнилг, что в краевой задаче второго рода ааданные граничные значения, вообще говоря, должны удовлетворять дополнительному условию. В таком случае необходимо иметь выражения для двух особенностей. Одно из этих выражений дается зарзнее, второе же умножается на подходящий множитель н затем налагается на первое. Множитель следует выбрзть так.
чтобы граничные условия оставшейся неособой части решения удовлетворяли условию разрешимости. Глава (г/ ИССЛЕДОВАНИЕ ОКОЛОЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ МЕТОДОМ ГОДОГРАФА В 1. Предварительные замечания Некоторые поля течения допускают непосредственное отображение в плоскость голографа. Полученные годографы можно использовать для получения представления об общих свойствах полей течения. Хотя поля течения, допускающие непосредственное отображение в плоскость уодографа, лишь редко представляют непосредственный интерес для авиационных нужд, тем не менее они заслуживают внимания, так как позволяют выявить свойства околозвуковых гечений и получить более глубокое представление о краевых задачах в околозвуковой области. В отдельных случаях годографы дают возможность физически истолковать теоретические результаты, которые были получены другим путем и понимание которых ранее было затруднительно.
Возможность получения нетривиальных выводов из рассмотрения голографа объясняется тем, что отображения, в результате которых получзются годографы, подчиняются некоторым общим правилам. В предыдущей главе мы вскользь коснулись этих правил. Соберем их теперь все вместе. Так как функциональный определи~ель Н, 2(4) в дозвуковой области отрицателен, то направление обхода элементарной площадки при переходе от плоскости течения к плоскости годографа изменяется на обратное. Из соображений непрерывности, а также вследствие того, что мы исключаем из рассматриваемых полей течения предельные линии, такая же перемена направления обхода происходит и в сверхзвуковой области.
Отсюда можно вывести правило знаков для волн Маха, исходящих из звуковой линии или на ней кончающихся. Прогце всего сформулировать это правило на основе наглядных соображений, высказанных А. Буземаном '). Влоль заданной волны Маха изменение состояния вызывается только волнами другого семейства. На волне Маха, окзнчивающейся на звуковой линии, например на волне АВ (рис. 47), давление по мере приближения к звуковой линии возрастает, так как при таком приближении совершается перехол от сверхзвуковой области к дозвуковой области. г) Аналогичные соображения могкно найти в работе Никольского к Таганова (см, лнт 1). 154 гл.
тп исследовлние течении методом годогрлюл раврежеаап спер.гзвуеаваа гаггасть Следовательно, эта волна пересекается волнами сжатия, Однако последние представляют собой волны, исходящие от звуковой линии, поэтому все волньг, исходящие от звуковой линии, являются волнами сжатия. Но так как звуковая линия представляет собой линию постоянного давления, то зсе подходящие к ней полны являются волнами разрежения. Само собой понятно, что плоскость течения может состоять только из одного листа; напротив, плоскость годографа может быть многолистной. С подобного рода примерами мы уже познакомились в предыдущей главе.
В дозвуковой области переход на другой лист совершается путем обхода особой точки, Соединение двух перекрывающихся лис~он в дозвуковой области вдоль линии невозможно, так как если бы такая линия сусцествовала, то она была бы характеристикой, между тем как в дозвуорууайггь козой области характеристики не д зоувпвап атгиа сущее Гвчют. В дозвуковой области п:юскости ~'~ '~'~ Ц '~ ~~~г)г~,Я годографа имеются точки, в котоваапм рые сходятся несколько линий тока валпьг ' 4 уааааглввваа или, выражаясь точнее, точки, в которых функция тока принимает различные значения в зависимости от Р и с 47, Структтрл свсркзм колото поля, прязсгвююсго к лозвуковок оолвсгп направления подхода. В плоскости течения этим точкам соответствует всегда бесконечно удаленная точка. В самом деле, если вдоль какой-либо линии плоскости течения при дозвуковой скорости имеет место параллельное течение — а именно в этом случае в одной точке годографа сходятся несколько линий тока, — то аналитическим продолжением этого течения будет параллельное течение во всей плоскости течения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
