К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 33
Текст из файла (страница 33)
рис. 55); ф=О при и= — с, йт пеРехОд к непРнлегА!Ощему скАчку уплОтнения 171 в этом поперечном сечении расстояние между обоими контурами оставалось постоянным, то решение имело бы вид ф=ехр ~',3 Ия( — + и1 с-'и~ з1п ~п (и+ — ) ~, 17) где ТГ27 с = с+-: — и'. 8 Величину с следует рассматривать как постоянную; она представляет собой расстояние между обоими контурами.
В действительности оно изменяется, олнако если на отрезке, который отложен в направлении оси и и на котором показательная функция изменяется на значительную величину, это изменение мало, то решение не будет очень сильно отклоняться от указанного выражения. Следовательно, условием пригодности решений, которые будут указаны ниже, является и'с — — (( с-'и, ли 18) или — и (( У 27 и 1 г'27 с+ 8 ие где левая часть представляет собой производную от расстояния между контурами по а, а правая часть — приближенное выражение производной показательной функции по и. Для приближенного представления решения особенно удобно следующее выражение, отличающееся от выражения 17) в основном своим первым множителем: ф —..- ехр (3 сп ( — + и) г с-'1и) гни~ з1п ~ я (и + — ) =' — ~ .
19) Олпако и это выражение еще нельзя рассматривать как окончательное решение. В самом деле, хотя при подстановке этого решения в дифференциальное уравнение члены наинизшего порядка в разложении этого уравнения по степеням и выпадают, но то же самое получилось бы и в случае, если бы мы умножили решение 19) на произвольную функцию 6(и), например нз некоторую степень величины с. Тзк как этот множитель при малых и может значительно изменяться, то решение 19) может не быть правильным даже приближенно. Очевидно, что нелостаточно учитывать в дифференциальном уравнении только члены наинизшего порядка, даже если в приближенном представлении решения желательно сохранить лишь один первый член.
Этот член будет опрелелен только в том случае, когда в дифференциальном уравнении учитываются члены следующего порядка. Для этого необходимо расширить допущение 19). В свяаи с другим исследованием 1Гудерлей [1], см. лиг. 1) было 172 гл ш исследование течснигз методом годогглфл показано, как это систематически можно выполнить. Для задачи, аналогичной рассматриваемой, члены следующего порядка удалось найти Буземану (Буземан и Гудерлей, см. лнт. 1). Таким же путем можно найти необходимые члены и в рассматриваемой задаче, поэтому приведем здесь расширенное решение без вывода, а затем проверим его '). Пусть 47 )/27 с+ — ит 8 (10а) 'л.=-- 3 '*- (л + — ) ( с+ — — - ит) (1Об) Выше мы упомянули, что с =0(иа).
Следовательно, 2=0(и '). (10в) При этих обозначениях искомое решение имеет вид ф= Л ехр ~ Лг(и) (з1п о+и(ипсозо+ азова(по)). (11) Первый член соответствует прежнему допущению о виде решения. Величина о равна нулю при и=.— с, т. е. вдоль изображения стенки; вдоль ударной поляры и = 1. Величина л обратно пропорциональна ширине поперечного сечения. Постоянные т, а, и аз имеют следующие значения: т — — + — к (л+ — ), из = — е [и (л+ — )~ (1 2 а) (12б) (! 2в) Теперь необходимо показать, что выражение (11) удовлетворяет дифференциальному уравнению и граничным условивм.
Прежде всего т) Можно возразить, что полученное таким путем решение основано на формальном разложении. Такое возражение вполне оправдано. Однако с инженерной точки зрения зто обстоятельство должно рассматриваться только как предостережение о необходимости быть осторожным в применении решения, но не как повод для полного отказа от пего.
Я 7 ПЕРЕХОД К НЕПРИЛЕГАЮЩЕМУ СКАЧКУ УПЛОТНЕНИЯ 173 мы имеем (13а) я(и+ — ) (!зб) 9 > о = — — — и и(и+ — ) (13в) следовательно, д',=)т-р'[~'д ~УЗХ Х А [саво+и!а,(соао — оз!По)+аа(2оз!по+овсово)[[, (14а) аТУ! —, = 7. ™ ехр Ц ) г!и [ ЗЛ 1 — яп о -+ и [а, ( — 2 яп о — о сов о) [ -[- доа +-а, [4о сов о+ 2 яп о — паз[в о[[. (14б) Для производных по и выпишем только члены двух самых низких порядков; имея в виду равенство (1Ов), мы получим д т ф — =) ехр Ц Лг[и~ ) ~ 5!по+и а,осоао+а,оа51по— ди 9 т .
— 9 о — — —. — 51П О вЂ” — СО5 О к(я+ — ) и(и+ — ) аие — =Л ехр! ! Лди1 Л'! япо+и а;асоао+аао'янов 1/ 9 2т-1-1 . — 9 1 — — — 5!П О вЂ” — ОСО5 О и (и+ — ) я (и+ — ) (1ба) (1бб) Внеся все зги значения в дифференциальное уравнение (4), мы прежде всего увидим, что множитель Л ехр ~ ~ Л г!и~, общий для всех членов. отпадает. Далее сразу выпадут также члены наинизшего порядка относительно и и, кроме того, некоторые члены следующего порядка.
Останутся только члены 9 2т+1 . — 9 1 япо —— о соз о — 2ат Яп о+ '.(и+ ') ' а(и+ ') + 4аао сов о + 2аа яп о -+ 3 5! п о, ио и они взаимно уничтожатся на основании равенств (12). !74 ГЛ Ш ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЧЕНИИ МЕТОДОМ ГОДОГРАФА В том, что решение (11) удовлетворяет также граничному условию (ба), мы убедимся сразу, так как при и = — с переменная О равна нулю. Далее, при О=.О, на основании равенств !бб) и (10а) мы имеем = . (и+.— ) и поэтому 5!П О = Соз О. Имея в виду это равенство и внеся значения (14а) и (15а) в условие (бб), мы увидим, что члены наинизшего порядка относительно и сразу выпадут, а члены следу~ощего порядка взаимно уничтожатся на основании равенств (12).
Члены этих порядков в решении (11) определены не полностью, так как выражение иехр Ц ), с!и15!по после внесения в дифференциальное уравнение и в граничное условие обусловливает ошибку, имеющую более высокий порядок, чем рассмотренная выше ошибка.
Поэтому в решении (11) нет никакого смысла сохранять члены порядка и'. В результате в качестве приближенного решения мы будем иметь ф=л схр~~ ).с!и~а!Ео или, если опустить постоянную, — — 1ч1л ы (чл ~)] 8 4) х 3 ) ( -~ — -8 "л) «)~( '! "т! 1 я,1' Сл) 8 В этом решении особо важную роль играет показательная функция. В зависимости от знака а показатель степени либо положителен, либо отрицателен, следовательно возможны решения, которые при увеличении и либо возрастают по экспоненциальному ззкону, либо. наоборот, уменьшаются по экспоненциальному закону.
Если с=О, т. е. если исследуется окрестность точки Г (рис. 54) для случая. когда угол раствора клина равен максимально возможному углу вдоль ударной поляры, то получаются — с точностью ло несуше- 4 Г ПЕРЕХОД К НЕПРИЛЕГАЮШЕМУ СКАЧКУ УПЛОТНЕНИЯ 175 ственной постоянной — следующие частные решения: 1 8 Р и с. 55. Исследование перелопа ог неприле гаюшего сианиа уплоавенин в прнлегаюгиему. Последнее выражение с точностью до множителя совпадает с частными решениями 116) при и= — н.
С помощью такой системы частных решений можно найти полное решение ф в указанной области, разлагая ф вдоль и=в по этим частным решениям. В том, что для поставленной цели выбранная система частных решений всегда достаточна. можно убелиться интуитивно, путем сравнения (16а) Так как из физических соображений очевидно, что ф в точке гт не может принять бесконечно большое значение, то возможны только неотрицательные значения и.
Таким образом, при с = — О решение (16а) заменяет частные решения аг1, 5(9). Пусть теперь с не равно нулю. Выясним, как изменяется решение в плоскости годографа при изменении с. Поскольку решения не могут быть указаны в явном виде, нельзя избежать соображений, до известной степени абстрактных. Выберем на рис. 56 два поперечных сечения и =- — н и н и = + е, настолько близких фУ. .. ® к самому узкому поперечному ' Юз~~~Я~' " , -и,, сечению между ударной поля- л ' .-'. ~н.
м рой и изображением стенки, л. тг "м что между ними решение ф уааукоаан .гн он можно построить путем наложения только что найденных частных решений. Вдоль линии и.=в решение граничной задачи при с = О, безусловно, отличается от нуля. Примем далее, что решение изменяется при изменении с непрерывно, т, е. при небольших значениях с решение вдоль линии и = е мало отличается от решения при с=О. Попьпаемся найти связь между решением при и=в и решением в области АВСК.
Решение в этой области определяется значениями ф при и =- в и известными граничными условиями в области ВСВАКШ. Для выполнения поставленной цели построим (в принципе) семейство часпгых решений, удовлетворяющих граничным условиям вдоль ВСВАКЕ)1 и принимающих вдоль и=в при неотрицательных п значения 178 ГЛ Ч! ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЧЕНИР! МЕТОДОМ ГОДОГРАФА с системой которая очень похожа на рассматриваемую нами систему и для кото рой полнота устанавливается с помощью теории рядов Фурье (или задачи на собственные значения).
Искомые частные регпения можно построить следующим образом. Будем исходить из решения у„, которое вместе со своей первой производной претерпевает разрыв вдоль линии и= — з. Пусть в области КСВАК .а в области — е ( п е з !)1 — [ — з — . (я-!в з а Г' 27 8 Г' 27 Яз 8 Уя = ! — ! х-! [-(,ч--',) з-'*7' (.—,- ~,",'.*!) ~ ] х х "[ ( ч-~) '~,— ", ). с+ — из~ 8 Такое !7„ с точностью до множителя представляет собой одно из решений вида (16). Следовательно, скачок функции ф„, возникающий вдоль линии и= — е, равен -! Ь~~„=ехр! — л(и+ 4) 3 ',~ [с+ —,им~~ «и] Х х х.[.(.х-т) — 'я С + — яз 8 Аналогичное выражение получается и для скачка производной от ~,„ ло и.
Оба эти скачка имеют величину порядка О, ехр — к(п+ — ) 3 А ~ (с+ — й) т(и~ )= 6 р пеРеход к непРилеГАюшему скАчку уплотнения 177 Так как 1р' 27 ! нп 2 асс(~ — =-.= а = к, о-р.о у' 8с то при небольших с порядок величины скачка будет равен о(.*р[ —.. ( р--') — '1à — ' — ')). На РЕШЕНИЕ О„иаЛОжни друГОЕ РЕШЕНИЕ Срк, удОВЛЕтВОряЮщЕЕ, во-первых, граничным условиям вдоль ЕСВАКЕ во-вторых, рав/ ное 6„= — О вдоль Е1 и, в-третьих, имеющее вдоль линии и= — е такие же скачки (самой функции и ее первой производной), как и и функция ф„, но с противоположным знаком. Единственность такого решения может быть доказана способом Франкля.
Само решение можно построить в рассматриваемом случае путем наложения особенностей вдоль контуров при помощи соответствующего интегрального уравнения. Важно при этом отметить следующее. решение пропорционально неоднородным величинам, его определяющим. Этими величинами являются скачок функции ф„ и скачок ее производной ору„/ди, входящие в первую часть решения. Следовательно, вторая часть решения имеет величину порядка Но в области и к.
— е вторая часть является единственной в решении, поэтому там частное решение имеет величину только что указанного порядка. Представим теперь решение ф вдоль линии и = е при с=О в следующем виде: Это решение вследствие его непрерывной зависимости от с является одновременно приближеннын решением для малых с. Следовательно, решение в области ЕСВАК7 имеет вид Р—,~.„о(.*р[ — а(., — ')'-У -' — '=-]1. л=о При достаточно малых значениях с основную роль играет первый член суммы, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
