К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Множитель т из уравнения Трикоми выпадает. Поэтому если преобразовать уравнение Трикоми к независимым переменным г и й, то переменная т) войдет в каждый член уравнения в одинаковой степени при условии, что при подсчете мы будем учитывать также дифференцирование по ТР Эти соображения наводят на мысль (Гудерлей (3]. см. лиг. 1), что частное решение можно взять в виде (2) Из сказанного следует, что после подстановки такого выражения ф в уравнение Трикоми переменная х1 должна выпасть, и мы получим для определения функции Г(г, п) обыкновенное дифференциальное уравнение'). В самом деле, вычислив производные д' — 3". д" 9 д — — > г)ч — — 2 —,— — 3(т~( '!".( 'здп(т~б), ф =;т)~ (п) — ЗР7')зрить ф ч = ( х) !" [(и — 1) ЕУ вЂ” (6а — 12) 'Г'+ 9:Щ, фз=)т~ '3(".! '~'зеп(т3), (2 7 + 9'7ч) зйп й и внеся ф„~ и фаз в уравнение Трикоми, мы получим обыкновенное .дифференцйзльное уравнение второго порядка ') Вместо того, чтобы исходить из уравнения Трикоми, можно преобразовать к переменным т и " точное уравнение годографа либо с помощью равенств хг, 7(3), либо с помощью равенств 1г, 7(5) (второе преобразование предпочтительнее) и затем ограничиться наиболее низкими степенями те :Этот способ вывода допущения (2) показывает, что оно описывает локальное поведение точного решения в плоскости годографа нз звуковой линии, что, впрочем, можно было предполагать заранее.
10З а з дяггон класс частных ввшвнин Точки О, 1 и оо являются для этого линейного однородного уравнения регулярными особыми точками; слеловательно, оно представляет собой гипергеоме|рическое дифференциальное уравнение'). Такое уравнение вместе с совокупностью своих решений определяется положением особых точек и показателями уравнения в этих точках. На этом основано представление совокупности решений гипергеометрического дифференциального уравнения посредством Р-функции Римана. Эта функция представляет собой не что иное, кзк сопоставление особых точек (в первой строке), соответствующих показателей (во второй и третьей строках) и независимой переменной. Следов)1тельно, для того чтобы найти Р-функцию, необходимо определить показатели гипергеометрического уравнения в особых точкаха). Для уравнения (3) мы получим со 0 1 Линии г = сопз1 в плоскости тп Ь представляют собой полукубические параболы.
Для ь = О мы имеем 9=0, а для ~=со 1=0; следовательно, последняя линия совпадает с звуковой линией. Для ". = 1 мы получаем 2 О = + — тчк 3 т, е. линиями '= 1 являются обе характеристики, проходящие через начало координат (см. уравнение 1, б(8)). В сверхзвуковой области величина ", положительна, а в дозвуковой отрицательна.
В точках, симметричных относительно оси т1, значения ь одинаковы. Из того, что точки ь = 0 и " = со являются для функции г' особыми точками, отнюдь не следует, что решение ф должно иметь особенности вдоль линий ' = 0 и " = со плоскости л, О.
Напротив, такое поведение ф было бы совсем невероятным. О поведении ф вблизи этих линий можно получить прелставление путем подстановки в уравнение (2) первого члена разложения функции у'в ряд. В самом деле, этот первый член с точностью до множителя определяется г) Желающих подробно ознакомиться с теорией гнпергеометрическнх лифференцнальных уравнений отсылаем к специальной математической литературе. а) См., например, у нт т е кер н В ат с он, Курс современного анализа, гл. 10.
7. 194 ГЛ УН ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТРИКОМИ показателем гипергеометрического дифференциального уравнения в соответствующей особой точке. Выполнив такую подстановку, мы получим для с= О: показатель О 5 = 111и+ показатель 1 Ф=о"1" ''+ — ь-н для '. = со ( ) + '' 12 ) ф= (,'й) ' +.... и 3 показатель л — 1 показатель В 3. Другое допущение о форме решения Для дальнейшего изложения особую важность имеет следующий выбор независимых переменных: з+ чз .з( 1) 9 4 (1) О)' (2) Эти выражения, очевидно, не имеют особенностей во всех точках рассматриваемых линий, за исключением начала координат.
Вдоль " = 1 отсутствие особенностей имеет место только для олного из линейно независимых решений, в лругие же решения входит в об1цем случае дробнзя степень величины г — 1. Такое повеление решения ф вдоль линии г =- 1 вполне понятно. В самом деле, мы знаем, что вдоль хзрактеристики могут распространяться особенности. Если подобного рола распространение особенности происходит влоль характеристики, проходя1цей через начало координат, то такое явление описывается соответствующим особым частным решением. Характер особенности определяется показателями п.
Более строгое исследование будет дано в ч 2 гл. Х. Выбрав в качестве независимой переменной величину '- и приняв, что решение уравнения Трикомн имеет вил (2), мы ввели в дифференциальное уравнение, определяющее у, особенности, чуждые решению ф. Это обстоятельство является в известной мере недостзтком допущения (2). Но зато такой выбор независимой переменной приводит к дифференциальному уравнению известного типа. Кроме того, физически хзрактерные линии Ь = О и Т1 — — О обладают особым смыслом также для дифференциального уравнения (3), что значительно облегчает исследование решений.
а 3 дРугОе дОпущение о ФОРме Решения 195 На рис. 65 изображена плоскость ть 8 с линиями с = сопз1 и р =сопз1'). Примем, что искомое решение можно представить в виде ф — Р (ЧЯ)ьРД(с, Р), (3) Заменив в этом равенстве р на т)з(: — 1), мы заметим его сходство с равенством тгП, 2(2). Приравняв правые части обоих равенств, мы получим — — +31» = л, 1 4 (4а) 0(5. „)=(( з — 1)шы р'у((-а 1+Зр) (4б) Замена параметра п на параметр р позволит в дальнейшем значительно сократить записи. Введение переменной 5 устраняет особенность, возникающую на звуковой линии.
Особенность на оси Ь = О Рис. ба. Плоскость ч, Э с лииияии р=саияр и 1 салье сохраняется, но она не мешзет исследованию, так как решение можно разложить на симметричную и антисимметрнчную части (относительно этой оси), после чего отпадает необходимость в рассмотрении перехода через Ь = О, Вместо непосредственного вывода дифференциального уравнения для определения функции ст преобразуем сначала дифференциальное уравнение Трикоми к переменным Р и с; мы получим (5) — (йз — -2 ",(1 — С') та = 9Р'фрь+ 2 Рф . т РР ' 2 Р' Часто более предпочтительна следующая запись этого уравнения: Е ~дя 1(1 — с)" сг](=9Р~ а (Р~И (5а) т) Начиная отсюда, буква Р больше не применяется для обозначения плотности.
!96 гл ун чАстныР Решения уРАВнения тРикоми Внеся !), определяемое равенством (3), в преобразованное уравнение Трикоми, мы получим для определения 6 обыкновенное дифференциальное уравнение, которое соответствии с уравнениями (б) н (ба) можно представпть в двух видах: а26 5 Р л6 96 1 1 — 1+(1 — 6)2!!А4 р') 6= О' (ба) (бб) У вЂ” ф — р ('Ы)эх 6 ($, Р,).
Далее легко видеть, что для координаты х следует взять выражение х = р('л*) е н К (5, р). (8) Для отыскания функции К(ч, р) внесем значения ф и х, определяе- мые равенствами (3) и (8), в уравнения Ч, 1(8); мы получим ~ 1 12+ ! Х„=р(Л*)+Р ! ( — 32()К+ .К' 1 2 3 3 =(х-+1) 'р " 2) — 86 — —, — ° — (9)!Р 12 "9 2 Ы' 1 12 9 2 х) — — р(шя)чя~ --))К вЂ” К! 2 3 Ь ! ! -(Ч )т 12+ ! = (х+ 1) р ' ( 32)2) 6+ Р Е Смысл выбора решения в виде (3) заключается в том, что при таком выборе параметр р входит в дифференциальное уравнение, опрелеляюшес 6, только в коэффициенте при самой функции 6, но не в коэффициенте при производной 6'.
Следовательно, мы получили дифференциальное уравнение для задачи на собственные значения, которое позволяет вывести заключение о полноте системы решений, состоящей из частных решений вида (3). Это важно, прежае всего, для исследования течений вблизи числа Маха, равного единице. Ввеление переменной р имеет своим недостатком совпадение линий р = О и ч = 1.
Для исследования решения вблизи характеристики ч = 1 лучше всего вернуться к переменной ть Для определения в плоскости течения координат х и у, соответствующих частным решениям (3), необходимо воспользоваться уравнениями Ч, 7(8) и 27, 1(9), причем р" и тв' можно положить равными единице. Тогда мы сразу найдем, что 54 Решения 0 Выразив т! и б через р и с, перепишем эти уравнения в виде (Г2+1 ) 1 — Р +' !з ( Г2+! ) (Г2+1 ) 1 — Р г~в ! ( ( Гг ) Отсюда найдем, что +р)ЗК (+1) (1 !з) 0 (-' следовательно, (к+1)" (1 — Р)2" Л0,„ — +и 12 ф 4.
Решения 6 Так как решения 0 могут быть выражены чеоез решения а последние допускают представление в виде гипергеометрических рядов, то такое же представление допускают и решения О. Из соотношений Ч!1, 2(4) и Ч!1, 3(4) мы сразу надаем, что совокупность всех решений 0 определяется схемои оз О 1 -3 0=(1 — Г) ' Р зт ('Л~) — и ! + Г2 5 1 — и+ — -- 2и 12 2 ( а Ь с ) ( аг Ьг сс р( а р т а ) — Р( а р т а~ ) арт ) (а (2) Для получения решений 0 в явном виде воспользуемся следующими обьцими соотношениями, имеющими место для гипергеометрических дифференциальных уравнения, 1) Если величины ан а,, Ь, и с,, входящие в правую схему, получаются из соответствующих величин г, а, Ь и с левой схемы посредством одного и того же дробно-линейного преобразования, 198 Гл у11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
