К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 38
Текст из файла (страница 38)
чАстньш Решения уРАВнения ТРикоми Равенство (2) показывает, что особые точки а, Ь и с могут быть перенесены посредством преобразования в любые заданные положения а,, Ь, и с, и при этом показатели уравнения в особых точках не изменятся. а Ь с ( )( )Р 8' т' а Ь с =Р( а+в 8 — ь — 1 т+1 а'+Ь Р' А' — 1 т'+1 (3) Смысл этого соотношения слелующий: умножение Р-функции в левой схеме на стоящий перед ней множитель дает новую совокупность решений, также удовлетворяющую дифференциальному уравнению второго порядка с особыми точками а, Ь и с, но с показателями, измененными соответственно множителю (4а) где Г(а, Ь, с, а)= 1 + — л+ — — аа+ аь а (а+ 1) Ь(ь+ 1) с1! с (с+ 1) 2! а (а + 1) (а + 2) Ь (Ь + 1) (Ь + 2) + 1)( + 2)81 Для доказательства следует составить дифференциальное уравнение, соответствующее схеме (4а), и внести в него разложение (46).
Радиус сходимости гипергеометрического ряда всегда равен елинице '). 4) Разложения в различных особых точках связаны между собой следующими так называемыми переходными подстановками: Г(а, Ь, с, в)=,(') ( — ) Г(а, Ь, 1+а+Ь вЂ” с, 1 — г)+ + Г(с)Г(а+Ь вЂ” с) а-а-ь г(а) г(ь) ( в) Х Г(с — а, с — Ь, 1+с — а — Ь, 1 — в) 1) Кроме тех случаев, когда гипергеометрнческий ряд вырождается в полинам. — Прим, рад. 3) Совокупность решений, заданная схемой 0 1 тв=Р( а 0 0 Ь 1 — с с — а — Ь может быть представлена посредством гипергеометрического ряда ш = Г (а, Ь, с, е), Ь В.
РЕШЕНИЯ 6 199 и Г (а) Г (Ь) 1' (с) Г (а) Г (Ь вЂ” а) -а Г (с — а) ( — в) Р(а, 1+а — с, 1+а — Ь, г-')+ ( — л) Р(Ь, 1+Ь вЂ” с, 1+Ь вЂ” а, а-'), (5б) Г (Ь) Г (а — Ь) — ь Соображения, которые приводят к этим соотношениям, не могут быть изложены в немногих словах. Формулы (2) и (3) позволяют представить любую Р-функцию в виде схемы (4а), имея которую можно выразить решение в виде ряда (46). Формулы (5а) и (5б) позволяют перейти от ряда (4б) к другим рядам.
Два линейно независимых решения, необхолимые для полного представления решения 6, выберем так, чтобы соответствующие решения ф были либо симметричными, либо антисимметричными относительно линии 5 = О. В первом случае мы снабдим символ 0 сверху индексом а, а во втором случае — индексом а. Вследствие наличия особенности в точке 1 = 1 решение 6 не может быть аналитически прололжено через эту точку, поэтому мы будем указывать две отдельные составляющие решения, одну для области 1 ~(! ч„оо, лругую для области — оо (е < 1. Равенство (1) позволяет сразу перейти к гипергеометрическому РЯД)' ( !+!2' !+12' 2' )' Симметрия этого решения относительно оси 5 = О вытекает из того, что входящая в него переменная 5 может быть представлена в виде 95з(4т)з. Радиус сходнмости ряда (6) равен единице, т.
е. решение сходится в области 1 ( ч < со. С помощью соотношения (5а) момсно представить решение (б) в окрестности точки 5= 1 и с леду юще м виде; !1), и) ( .— з)<'11-я 12! 1~ ~Г(2Р) х! =1 — 1 Х ! ( — +Р)Г( —,+Р) 1 5 -3! -з !т.*)+Р ХР~ — й+ —,, — 1~+ —,1 — 2й,1 — Г)+(! — Г) а Х !2 ' 12 ' Г ( — ) Г ( — 2!в) Х, ', (~+ —,',,+- —,", +2,, — 1-'). (~) г~ 5 — „)г( ! и) Если заменить здесь !в на — р, то первое и второе слагаемые по- меняются местами, 200 ГЛ УИ ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТРИКОМИ для того чтобы получить из равенства (1) решение 01Ю, необходимо сначала выделить множитель, обусловливающий анти- симметрию.
Для этой цели подходит любой из множителей 11-'ГУ ° (, ',' . )". -а В первом случае сохраняется показатель уравнения в точке ! = 1, во втором случае — в точке Г = со. Мы используем только первую возможность и получим 0 1 7 !ю Г Га)!чщ — Р й — Р + —— ! и ) — Р + — — — 2Р 12 2 Отсюда О =(1 — ~ ) ' Г т( — р-+ — „, — -)-, —,,-~~, !9) -З !Чй-Р н или, после применения преобразования (ба), Г 2 Г!2Р.) (3) (4+)г( — '- ) ХР( — !ь+ —, — р+ —, — 29+1, 1 — с )+(1 — Г ) Г *Х 7 11, з! -а Шд1-Р -~п !2 ' 12 ' г (-) г ! — 2Р.) Х 11 7 — — Р(р+ 12 э Р+-12, 29+1, 1 — Г ). (9) Г( — — Р)1( — — Р) Частные решения 11 — ! ) 1"'( — р.+ —, — р.-+ — 1 — 2р" 1 — Г ) -з Ш )-Р 1 Э -з! 12 ' 12 ' (! — ! ) ! 'Р( — р+ —, — 9-1- —, — 2р+1, 1 — ! ), входящие в решения (7) и (9), внешне различны. Однако так как существуют только два линейно независимых решения — и эти решения уже определены начальными показателями своих разложений — и так как оба приведенных решения имеют совпадающие начальные показатели, то они должны представлять одну н ту же $4.
РЕШЕНИЯ 0 20! фу нк цию. В этом можно убедиться при помощи равенств (3) и (4) '). Далее, необходимо составить выражение для 001, пригодное на отрицательной оси 0((-+ — оо). Для этой цели мы можем использовать опять равенство (1) н в результате получим решение сг!а1, сходящееся в интервале от Г~ = — со до Г = — 1. Однако можно получить лучшую сходимость. Для этого прежде всего выполним тзкое преобразование независимой переменной, которое оставляет точку 0 неизменной, а точки 1 и оо меняет местами. Перепишем равенство (1) в виде оз 0 1 00'33 О =Р 12 ! ! и введем в качестве новой переменной — $ э -г — —,-=(1 — 3 ) 3-з Тогда мы получим Г со 0 1 — — 0 0' (1 — Ьз)-' 1 ! 1 !2 2 3 Отсюда с помощью равенства (4а) мы найдем О' =Г( — р+ — „, р+ —,-, —,, (! — 3) !. ! 1 1 а-Щ (1Оу Г( —,')г( —,') Г(.+ —,'2) Г( —.+ —,',) '( )р(- ~) (! 12) ( 12) Хр(р+ — ',, — р-+ — '.
— '. 12 ' 12' 3' 2 сэ 3 Ьэ 1)+ ) (11) г) Проще получить этот результат с помощью формулы преобразования гипергеометрического ряда р(а, Ь, с, л) = (1 — л)' и а р(с — а, с — Ь, с, л). — Прим. рад. При 3=0 аргумент принимает значение, равное единице, Использо- вав соотношение (ба), мы получим 202 Гл уп. чАстные Решения уРАВнения ТРикоми Эта формула приголна также для положительных значении 5, но только до значения сз1(5з — 1)= — 1, т. е.
до 5=2 ~'. В связи с этим выполним еще одно преобразование. Выражение (12 1* 12+!"' 3' 5з !) содержится в совокупности решений со О 1 1 — — О О О=Р 12 1 1 1 12 3 2 5з 5з — 1 Использовав равенство (2), злы получим отсюда оо О 1 ΠΠ— — Р 5 з 12 0=Р~ 1 1 1 +Р 2 3 12 оо О 1 5з 12») — Рр 12 и ) — — — 2Р 12 3 (2) (3) з<Ч»! Р Г(Р+ — ) Г( — Р+ — ) что приводит к соотношению 1 1 2 Р Г( — и+ —, р+ 12' 12' 3' 5з 1) ( 12 ' 12 ' 3 ' =(1 — з) " Р( — — р, — — р„—, 5 ). (12) ,з(2»1 и (' ! 7 2 з! Выполнив аналогичное преобразование для второго слагаемого правой части равенства (11), мы получим 5 5 4 (5з !)'» ( 12 ' ,, Р(р+ —, — р+ — ', —,, )= РО 3 5з 1 ) = — 1(1 — ч) '*- Р( — — р, — — р, —, 5). (13) зл (Ч»]-Р ( 5 11 4 з! 'л12 ' 12 ' 3' Использовав соотношения (12) и (13), мы можем представить 61з1 н следующем виде: 203 3 4 РЕШЕНИЯ Сг г( — )г(--) Х г.( — р+ —,',, — р+ —,',, — ',, 1')— Для того чтобы перейти отсюда к рядам, пригодным вблизи точки „"= 1, необходимо еще раз применить переходную подстановку (5а).
Гипергеометрические ряды, получающиеся из первого и второго слагаемых равенства (14), внешне имеют различный вид, однако нз соображений, уже приведенных выше по поводу аналогичного случая, они попарно представляют одни и те же функции. После выполнения подстановки (ба) мы получим из первого слагаемого равенства (14) следующее выражение, пригодное в окрестности точки 3 = 1: Г ( — ) (- -) 4 Г( — ) Г (2Р) г(„+ — )г( — Р+ ) г(Р+ — )г(„+ — ) Х Г' ( — (з + —, — р, + —, 1 — 2р, 1 — 4 ) + 1 7 з1 12 ' 12 ' Г ! — 1 Г( — 214) + '" (1 — !з)0 я!" Х ( 12) ( ' 12) ХГ'((з+ —, р+ —, +2р, 1 — Р)~.
Аналогичным образом из второго слагаеиого равенства (14) мы получим (2) ( 3) ~ (3) (1 ЗЗ)(дз) — Р Х Г (Р+ — ) Г ( — Р + — ) ~ Г (Р + — ) 1 (и. -1- — ) 1 7 з1 ХР( — р+ —,, — р+ —, 1 — 2р, 1 — 3)+ 12 ' 12 ' ,741, Г ! — 1Г( — 2Р) (з)г~е)4-. 1( — Р+ — )г( —, + —,) Х~(;-+1'2 .+12 +2~. — ")1 Первые н вторые члены двух последних выражений могут быть объединены. 204 ГЛ УИ ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТРИКОМИ Напомним следуюшие соотношения из теории гамма-функции, которые нам понадобятся либо сейчас, либо позже: ВГ(з) = Г(е+ 1); Г(з) Г(1 — з) =— Г(2 )=и-ш2Е»- Г()Г(з+2); Г( — )= '-Л; ()бв) Г(е) — е-»з»1/ — при !е!)) 1, !агдз~ < аг; (15г) Г (з+ а) з» при )г( '~1, ,'а!аз)<аг. (15д) (15б) через А. Мы найдем Г( †)Г( †) Г( †)Г(2!») 1(Р.+-!-)1( Р+ — ) 1(Р+ — )Г(„+ — ) '( -)'(- "-) '("--)'( ) Г(2)Г(2Р) Г(Р+ —,'2)г(Р+ ' ) '(3 )'(3) '(- 3)"(3) (- + 152)Г(И+ —,',) (-.+ 1'2) (+ — '„') ~ Отсюда, использовав соотношения (15), мы получим Г ( — )1 (2Р) ! »з!я~ я(И+ — )~ е з|п ~»(Р+ — 2)~ ] Г(р.+ — )Г(Р+ — ) 1 аз!и — ' аз!и( — — ) Выражение в фигурных скобках можно переписать в виде — ~ жп ~ г (р+ — — — )~+в!и~к(р+ — +--)~ ~— 3 = 2 з1п ~»т(р+ — )~, Обозначим временно сумму коэффициентов при первой гипергеометрической функции в выражениях, полученных из равенства (14), а 4 Решения 6 следовательно 2Г (17б) Для определения коэффициента при второй гипергеометрической функции достаточно в выражении коэффициента А заменить р на — й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
