К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Поле течения, получающееся при достижении острым клином скачка уплотнения, изображено на рис, 63. Если продолжать выдвигать острый клин, то он пройдет своим острием через скачок уплотнения (рис. 64). Тогда иа острие выдвинувшегося вперед острого клина возникнет скачок уплотнения слабой интенсивности. Будем обозначать состояние после этого скачка цифрой гг'.
Вне области, лежащей ниже по течению от скачка уплотнения П, сохраняется по-прежнему скачок уплотнения У, Этот скачок проникает в область П и достигает здесь стороны острого клина. Продолжение скачка 1 в области П отображается на плоскость годографа в виде отрезка выполнить з плоскости течения все физически заданные условия Это особенно опасно в тех случаях, когда рассчитывается ие все поле течения, л только некоторые, наиболее важные его участки. 187 5 !о.
смысл «ВГОРОГО» Решения ударной поляры О. Оба скачка сливаются в точке уу', в которой затем люгут образоваться разветвленные скачки либо первого, либо второго вида. Переход к этому полю течения от поля течения, изображенного на рис. бЗ, осуществляется благодаря тому, что в плоскости годографа сверхзвуковая часть контура размыкаемся в точке К. Скачок уплотнения в области 1 изображается в плоскости годографа обеими сторонами ударных поляр лВ,К н КВ2.
Положение точки К определяет теперь отношение длин сторон обоих клиньев. Продолжая выдвигать дзлее острый клин, мы будем получать новые и новые картины течения, в которых скачок уплотнения, обусловливающий переход от сверхзвуковых скоростей к дозвуковым. перемещается все дальше и дальше вниз по течению. За дальнейшими подробностями отсылаем к работе Гудерлея 121 (см.
лиг. 1). Р и с. За Сперхзвукопое течение окото лвоипога клипа. Скачок уолотзенвв. переволажнв сверхзвуковое сечение в лоавукавоа, пачинаетск на стороне перел- него каина (по Гулар тает [21 ). Возвращаясь еще раз к рассмотренным примерам, мы видим— и дальнейшие исследования подтверждают это, — что переход от начального поля течения к совершенно непохожему на него конечному полю течения осуществляется во всех случаях путем непрерывного изменения. Это обстоятельство ззставляет предполагать, что при околозвуковых скоростях также невозможны какие-либо разрывные изменения поля течения.
Коиечно, многие из рассмотренных вопросов имею~ лишь академический интерес. Теат не менее полученные результаты могут быть полезны и для практика, так как они позволяют правильно с физической точки зрения понять некоторые неясные вопросы, например смысл точки Крокко. В связи с последним из рассмотренных примеров обратим внимание на следующее обстоятельство. Иногда путем незначительного изменения первоначальной постановки вопроса удае~ся сформулировать задачу так, что становится возможным ее исследование методом годографа, что в свою очередь позволяет глубже проникнуть в некоторые свойства течения.
18В Гл щ исследовАние течвнии методом годОГРАФА Укажем еще на две задачи, исследование которых возможно с помощью методов, анзлогнчных рассмотренным выше. 1. Клин в ззкрытой аэродинамической трубе при сверхзвуковой скорости набегающего течения (Гудерлей 121, см. лиг.
1). Если клин велик, то задача не допускает решения, так как набегающее течение не может оттекать в промежутки между клином и стенками трубы. Если постепенно уменьшать размеры клина, то сначзла образуется пе прилегающий к клину скачок уплотнения, идущий от одной стенки трубы к другой. При дальнейшем уменьшении размеров клина скачок садится на острие клина и возникает ряд явлений, сходных с рассмотренными в предыдущем примере, Уд Бипланное крыло Буземана с клинообразными профилями и переменным расстоянием между обоими крыльями в сверхзвуковом течении (Гудерлей 111, см.
лиг. 1). Эта задача соответствует эксперименту Ферри. Если расстояние между обоими крыльями мало, то образуется общий не прилегающий к кры зьям скачок уплотнения. При большем расстоянии между крыльями получаюгся два отдельных скачка, прилегающих к кромкам крыльев. Псстроение картин такого течения может оказаться полезным для оценки опытов Ферри. Правда, результаты опытов несколько отклоняются от теоретической картины вследствие влияния пограничного слоя.
Р1ежду прочим, теоретическое исследование показывает, что течение может стать неустойчивым и даже при постоянной энтропии или отсутствии трения. Глава )г71 ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТРИКОМИ В 1. Частные решения Чаплыгина Для более глубокого проникновения в своиства околозвуковых течений необходиио довести решения краевых задач, сформулированных в плоскости годографа, до численных результатов или по крайней мере детально исследовать методы решения. При этом существенную помощь могут оказать некоторые семейства частных решений.
Этим семействам мы и посвятим настоящую главу. Нзчнем с частных решений Чаплыгина. В З 7 гл. Ч мы вывели уравнение Трикоми ф„— ),„= О. ф — д(о, гп) жп тп —, Зо з ф — д(тп т)соя тп —, Зо ' (2а) (2б) где т есть произвольная постоянная (обычно принимающая целые или полуцелые значения). Тогда мы получим для определения д обыкновенное дифференциальное уравнение глооо д" +1 —,— д=о. ао Его решением в сверхзвуковой области будет ~(ть ~)=У, ~.,1,„(- — )ь) 1.,(, ( — —;л)~ см., например, Янке и Эмде, лиг. 1), а в дозвуковой области д(о), и) =)Г~ '~ ~ ~ — е е — пеон,,(е"а — — '! о)~ ь)+ 3 ао +сзеееот* 2 (еьчо — — (о1Р')~ о (3 а) (Зб) Там же мы рассмотрели выражения, соответствующие частным решениям Чаплыгина полного уравнения годографа. Такие решения принимаются обычно в тех случаях, когда вдоль линии Ь = Оо.— = сопя( выполняется граничное условие ф = 0 или вообще условие ф = фо.
В соответствии с этим примем для ф одно из следующих выражений: !ЯО ГЛ УП ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТРИКОМИ Здесь 7А и ! л суть функции Бесселя порядка ггз и соответственно — ггз (таблицы этих функций состзвлены, например. Согпрц!а!1оп ЬаЬога1огу, слг. лиг. 1), а с, и с, — произвольные вещественные постоянные. Нетрудно убедиться, что при з! = — О оба решения гладко переходят одно в другое.
Особый интерес представляет случай, когда с, и с, принимаются равными единице, так как тогда решение е в дозвуковой области при т) — + — оо стремится к нулю [см., например, соотношения )ГП, 7(6) и НП, 7(9)). При таком выборе постоянных с и са мы будем иметь в дозвуковой области а ( 1, т) = У Л ! ~ — е-'" 74 (е'"" — —, ~ 1,") + +е о7- (е "3 — "~")~ или й(1т)== — 2Ф'Я!~е""'01,",(е'3-'— зн'~;~ь)~ р )<о (4а) а в сверхавукозой области К(т) т)="Ф о! ~7А( — — о)4)+1 П(= — етл)).
(46) "(зе,),(4) ')+'-'(3оо), (2) ' (5) С помощью соотношений ЧП, 7(6) и асимптотического представ- ления тГП, 7(9) функций Ханкеля мы получим для функции и, опре- деляемой равенствами (3), следующие приближенные выражения. пригодные для больших значений величины тт13Н 1 Гззог /2 лгя .. 5 д~ й 1 — 1/ — ~ с соз ( — — 71 1 — — я)+ (2 лга, 1 +.сасоз( — — ' з!Н вЂ” — п)1 при т! > О, (,3 Зо 12 3 Ео-... -ч, 1 - ГЗЗо сз — е, е ~т)! "— 1у' — о, е о при е ~со, о)(О! (Об) 3 тв.
— 3ео л — 'гг3 (т,( "— у — е з е при с,=е =1, 4(0. (6в) 4У гл Решения (4а) и (4б) являются приближениями к тем точным решениям Чаплыгина, для которых разложение в ряд начинается с положительной степени скорости тп (см. 3 6 гл, 17). Если разложить функции Бесселя в соответствующие ряды, то вблизи звуковой скорости (.3 =-- 0) решения (3) принимают вид а ! частные Решения чАплыгинА Если заданы граничные условия ф= О при 3 = —.
О и Ь = ба, то постоянную лх следует выбрать целочисленной. Тогда посредством метода, с которым мы вновь встретимся в 9 10 настоящей главы, можно покаазть, что в области ти к, Л ч, -«1,, в которой везде удовлетворяются уравнение Трикоми и только что указанные граничные условия, решение ф всегда можно представить как наложение частных решений вила (3). Следовательно, мы будем иметь ф — Х)70(С» ' ° (3 0 ")+'» -"*(3 0 ')) "" 0 при «) ) О (7) и аналогичное выражение при «) ( О. В решении (7) сим и сх суть подходящим образом выбранные постоянные.
Если разложение этого вида и его производная по «) сходятся при скорости звука, то на основании равенства (5) следует, что ряды «пи % 1,, «и«« сг ж ы 51п — — 8 и тЗ саа«ю «' Бгп 0 Ь (8) Бо ЛЗ "' 0, сходятся. Если для сверхзвуковой области мы воспользуемся асимптотическим представлением (ба), то увидим, что сходимость разложения определяется рядами Х --' тк жч „.
л«п с1а«ш Ч 51п — — 9 и 7~ сха«гп "Б1п 0 о. 00 зо Поэтому если ряды (8) сходятся, то рааложение (7) безусловно сходится в сверхзвуковой области. Это обстоятельство важно в том случае, когда в сверхзвуковой области заданы граничные условия. Тогда они могут быть удовлетворены путем прямого расчета (см. 9 4 гл. «1П1). Из сходимости ряда для производной ф, вдоль звуковой линии нельзя вывести заключения, что ряд для этой производной сходится также в сверхзвуковой области').
Если решение вдоль звуковой линии представляется сходящимся рядом, членами которого являются вырзжения, входящие в правые части равенств (4), то оно безусловно сходится во всей дозвуковой области. Это следует из соотношения (бв).
г) Относительно сходимасти ряда по частныч решениям Чаплыгина т шп с«««п(«о я«) Мп — Ь, 0о ю где д(га и«) определены формулами (4), имеет место следующий реэультатЕсли азы сюа < со, то этот Рад сходитсЯ абсолютно и РавномеРно в любой полуплоскости «1 (йо (даже если Чо > О) По этому поводу см. Л. В. О в с я ни иков, Доил. АН СССР, т. 91, № 3, 1953.— Прим.
Род. ГЛ УН ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТРИКОМИ ф 2. Другой класс частных решений Покажем, как можно найти другой класс частных решений уравнения Трикоми. Из структуры уравнения Трикоми следует, что мы получим новое его решение, если заменим в известном решении т) на т)т ', а Ь вЂ” на йт ь. Это следует из закона подобия. Если мы введем новую переменную 9 бз 4 :(множитель В1', пока не играет никакой роли), то эта переменная при только что указанном аффиниом преобразовании останется неизменной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
