К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Окончательно мы получим 311 1'(2И) з1п ~ я(И+ — 11 )( Г'( — — и, — — р, 1 — 2р, 1 — 1 )+ (12 '* 12 Г( — 2 )з!п( ( — и+ — )1 3 .+ '1 (1 3')"в" Х г( — и+ — )г( „+ — ) хГ( —,',+;, —,',+р,1+21,1 —,з)~. (16) Формулы (10), (11), (14) и (1б) представляют решение 6ГЮ(ч, р) в области — со < 3 ( 1. Целесообразность использования этих формул для численного определения функции 6 зависит от имеющихся в распоряжении вычислительных средств. При наличии счетных машин с программным управлением целесообразнее непосредственно численно проинтегрировать дифференциальное уравнение, определяющее функцию 6, а выведенные здесь формулы использовать только для определения начальных значений и для контроля.
Для наших исследований выведенные формулы ценны тем, что они выражают в общем виде поведение функции 6 в точках 1 = — со, ч = 0 и "= 1, имеющих особый физический смысл. Соответствующие формулы для решения 6йй имеют вид 6кп(6 р)=(1 — Р) яГ'( —, + —,2 ° р+ —,2. 2 (1 — ~') ); (17) <и) ч" (3) (2) г(Р+ '1)г( и+ 1') 3з хг( —.+ —, р+ —, —, — 1+ 12' 12' 3' 3з — 1) '(-'-)'® Г(и+ — )Г( — и+ — ) б 4 эз ХГ( — р+ —, +-.—, —, . ); 3' -з 1>1 206 ГЛ УП. ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТРИКОМИ ,711,7З1 Ф'1(1,~)= ' ) ' ) и (1 — !)чш ' 1 7 2,зт (--') (-') Г( + !'2) Г( — + 1'2) 5 11 4 .зт Х Р( — р+ —, — р+ —, —, ! ); (17в) Г (2И) з!и ~и (Р. + — )1 ~ 1(Р+ — )г(и+ —,) 1 7 Иб ХР( — р+--, — р+ — — 2р+! 1 — !)-+ 12 ' 12 ' Г ( — 2У.) з1и ~и( — И+ — )~ (а)!Уш-~-з, ( ( !2) ( 12) Х и (р+ 12 ' Р+ 12, 2р+1, 1 — ! ) ~.
(17г) Конечно, гипергеометрические функции, входяшие в эти формулы, кроме первой, одинаковы с гипергеометрическими функцнячн, определявшими О!ю. ф 5. Специальные решения О Решения в замкнутом виде полезны не только для первой ориентировки, но и для приложений. Они могут быть просто н система. тически найдены с помошью Р-функции Римана. Согласно равенству 1!!1, 4 (4б), гипергеометрический ряд обрывается, если один нз параметров а и Ь равен отрицательному целому числу.
Как показывает схема у'!1, 4 (а), а и Ь суть показатели гипергеометрического уравнения в точке со. Для рассматриваемого гипергеометрического уравнения характерно, что в обоих других особых точках один из показателей равен нулю. Так как посредством дробно- линейного преобразования можно переместить особые точки в любые другие положения, то для сушествования замкнутых решений необходимо, чтобы в одной особой точке один из показзтелей был равен отрицательному целому числу, а в каждой из двух других особых точек один нз показателей был равен нулю.
15. специлльные Решения В применении к равенству ЧП, 4 (6) зто условие сразу дает 1 р=-И+— 12 )з = Ь+ —, )з = О, 1, 2, (2) Преобрааовав равенство 1711, Ф (1) так, чтобы стал равен нулю второй показатель в точке О. мы получим О 1 (1 -з)гч ) — Рр~ 1 — и+— 12 5 — и+ — ' 12 О О 1 — 2и 2 О 1 — О О Г 7 — 3 12 з — з~!Ч )-Р з- а о 11 1 ( — и + — — — 2и 12 2 Отсюда р,=))+в 7 )з = 7)+- —.
11 12 ' Дальнейшие преобразования подобного рода приводят к тем же значениям р, но с обратным знаком; зто легко понять, если вспомнить уравнение Ч!1, 3(6). Другая группа замкнутых решений получается следующим образ-з зом. Показатели уравнения в точке Г =с=О равны О и Если мы введем новую переменную "А, то эти показатели станут равными О и 1, а сама точка "= О будет регулярной. Зато особенность, которая раньше была в точке ч = 1, теперь вследствие введенного преобразования распадется на две особенности в точках " а = + 1 и ьч' = — 1.
Особенность в бесконечности сохранится, но показатели уравнения там удвоятся, Следовательно, мы получим опять гипергеометрическое уравнение, причем будет иметь 208 ГЛ УП. ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТРИКОМИ место тождество О (1 Г)(эю) — РР ~ 1 — И+в 12 1 — 2Р+— 6 (1 Г)(Ча) Р Р 5 — 2Р + —, б Однако эта запись равенства Н!1, 4(1) пока еще не дает возможности выявить новые замкнутые решения, Для отыскания этих решений необходимо, прежде чем устранить особенность в нулевой точке, выполнить дробно-линейное преобразование, меняющее местами точки 1 и со. Мы получим со О 1 — Р+ — О О 1 12, 5 1 — Р.
+ — — 2Р 12 2 П !1 Г)(чп)-Р Р с 1 Г ) ( ч 1 Р Р 1 12 с — ! 5 12 !1 г)('/в)-Р Р Р+ !2 5 — Р+-д. 5 4Р— Р+ — ' 12 Последнюю Р-функцию еше раз преобрззуем так, чтобы для новой Р-функции точки О и ! стали особыми, Для этой цели введем новую переменную Это преобразование перемещает точку со последней Р-функции в точку 1, точку — 1 в точку О и точку + 1 в точку оэ. О 11 — 2Р со О 1 ΠΠ— р+ ! 2Р' — — Р+ 2 со — 1 1 — 1 О О С'А 2Р 2Р $6 СПЕЦИАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ () В результате мы получим 1 оз о — 2Р+-,' (»'; — »": — !)' 1 4)с — 2Р.
+— 2 Отсюда находим, что замкнутые решения возможны также в том случае, когда 1 Ь 4+ 2 ' Составим сводку полученных немся к переменным о) и О. Решения ф, соответствуюшне ставить в виде замкнутых решений, причем верравенству Ч!1, 4 (1), можно пред- Ф р-ОА)ело М-(Л)ь Р(! ()-О()е-(1 г)(Л)-.х Следовательно, мы имеем два решения: с)-(од)+ан Р 1 — и+— 12 12 со О 1 1 т)-('А)-з~ (1 () ~ЯР ( + 12 5 1 — Р + — — 2(о 12 2 Таким образом, замкнутыми решениями будут 1 при р,= — +Ь 12 д ае( ф= )~Г~ — Ь, — Ь+ — — — — ) Зо 2' 4 Че) (4а) 14 Вее„а)Е. К. Г. Гтхеалеа О (1 «)( !е) Р (»ХГ (о хо) х«) 1 — и+— 12 5 и+ 12 о о ° с) — 2(с о о с) — 2)с 2 210 ГЛ. ЧН.
ЧАСТНЪ|Е РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТРИКОМИ ф =а!-Р(а1-вА (1 — — — ) Р( — Ь, — Ь+ —, —, — — ); 9 Ев~-('«'Ъвв! Т 1 1 9 два 4 а(в) 3' 2' 4 Ев)а 5 при р,= — +Ь 12 ф=в(в+вЪР( — — — Ь, — Ь, —, — — А 9 ав 3 ' ' 2' 4,~в) (4б) (ба) д два-('А+вва) в 1 1 д авв ф=в(-Р(а1 — в" (1 — — — ) Е'( — — — Ь, — Ь, —, — — ' 4 а!в) 3 ' ' 2' 4ф' 7 при р= — +Ь 12 (2 ) (3 ' ' 2' 4 в) (бб) (ба) 3 9 ав (А+вА1 1 3 9 Ев ф = ъ( (ааа ва ( — 9)(1 — — — ) Г ( — — Ь, — Ь, —, 4 — )' (бб) 11 ри р. = 12 +- Ь а'3 Т а' 1 3 9 Ев1 „ъ въ ~ — 8~ в ' ~ Ь вЂ” — Ь 12 ) ! ' 3 ' 2" 4 а(в) (Уа) 3 '3' (8а) ( 3 Г д, 1-д(Е-А 9 ж -(да!-" 23 У 43 в 4 а(в,'4 Х1 Ь 3 Ь" 3 Е (8б) — 3 9 ав ( да+ва1 1 3 д ав ф= 1-РЬ1-'"(23)(1 —,—,,) Г( — Ь, — —,— Ь...); (7б) 1 Ь 4+ 2 -('/а1-А „(а! 1+ (ААГА1 — а — у — Ь вЂ” Чв 2 У 4 1 ва х 212 Гл.
у11 частные Решения уРАВнения ТРикоми требует специального исследования вблизи точки Е = О. Поэтому следует предпочесть способ, рассмотренный в 2 6 гл. Ч в связи с дифференциальным уравнением Чаплыгина. Аналогия существует между слелующнми величинами: 5 Ез р 2 1 — Р' т " (1 — Ез)з ° где $ о (1б) Как в дозвуковой, так н в сверхзвуковой области следует выбрать ту ветвь функции Е, для которой разложение в точке $ = О начинается с члена Е, Выражение (1б) может быть проинтегрировано, и мы получим ! 1+ Е'д Е = — 1и —, 2 1 Ч*' при Е) О при Е (О (2а) Е е О~(-~~ —,. Е=гагс12( — Еч), (26) Прежнюю величину 11х11(тв следует заменить величиной г(ЕггГЕ. Для этой цели вычислим величину Далее введем величину Л1, соответствующую прежней величине Ь. Для нее мы получим выражение Допустим теперь, что 0(Е) = 111(Е)0(Е, р). (3) причем функция 0 играет такую же роль, какую функция г играла в уравнении Н, 6(2а).
Допущение (3) приводит к дифференциальному уравнению = — (9раЕ+ 1. (Е)) 0 = О. иЕе Переменную, соответствующую прежней величине х, обозначим через Е. Тогда в соответствии с равенством У', 6(8) мы будем иметь Е =Г'. (1а) а 7 пРивлиженные пРедстАВления ФункциЙ 6 пРи БОльших» Р ! 21з Член г(Г) не играет особой роли, так как в области (2) или, что то же, в области — со( с (1 он ограничен. При больших )р( им можно пренебречь, и тогда решения уравнения (4) могут быть выражены через функции Бесселя порядка»)а'). Это приводит к следую»цим асил»птотическил» представлениям функции 0: — ч 0 ~ ) (1 — !з)А»!!Аут»,(2р( !/") при 1 (О; 0 — ( ) (1 — !»)А'! !/Ае '" »'хл(21»е — "»з , '!1)при ",)~О, или, если использовать равенство (!а), 0 — ',й(П ) ( )жч,(2рЯ)) при ! (О; 0 !.' 6 ! *~ „' ( е "')ад(21»е-»»а(Г) при !) О.
При небольших значениях ! > О из равенства (! б) мы имеем Г = — !'. Поэтому, разложив функции Бесселя»'ь а и»' л в ряды, мы получим при с = О ф» ~' —,' ( "у„,,(2,~Г() =, ',', [ — (+0(!а)), 1 Г~~) з !з) -у )! )д ' "",~ ! У: (21») (1) =а» !1+0(1а)! (5а) (5б) ») Таблицы для этих функций указаны в списке литературы 1 (Соа»рн»айоп $.аЬога»огу). Если наложение обоих выражений (5) должно представлять решения 0йй или 0й~, то это должно иметь место также при с=О. Следовательно, мы выполним необходимое (но не всегда достаточное) условие, если построим приближенные представления так, чтобы для больших /р! они совпадали — при (=Π— с исследуемыми функциями 0~ ~ или 0бб как в отношении значений самих функций, так: и в отношении значений их первых производных. Первый член правой 214 ГЛ Ч11 ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТРИКОМИ части равенства Ч!1, 4 (14) совпадает — с точностью до некоторого множителя — с выражением (5б), а второй член — тоже с точностью до множителя — с выражением (ба).
Асимптотическое представление решения Ч!1, 4(14) можно упростить, если заменить входящие в это решение коэффициенты их асимптотическими выражениями. Покажем, как вычислить такое выражение для первого коэффициента. Прежле всего воспользуемся соотношением ЧП, 4(15 д), вытекающим из формулы Стирлинга, а затем устраним отрицательный аргумент в функции Г( — р+ а(1 ) посредством формулы Ч11, 4(15б). Мы получим Г( — )Г( — ) Г(-'.)Г( — ) Г(Р+ — )Мп[ч(„+ — )] 1(.+ —,',)г(-Р+-,',) г(.+ —,',) ' (й) '""[и( + )!' Выполнив аналогичные ереобрааования для второго коэффициента, мы найдем (2) ( 3) к ЯГ( — — ) р Л з)п [к (й+ )]. (+4)'(- +-',) Далее, использовав соотношения (5а) и (5б), мы получим 61' и '~Г( — ),~'1П[ (й+- — )]1.Д( — — )Г( — —,)Х Х ~6~ '( —,— ~ ! Е(2й1Ц)+Г( — ~)рэ сйп[п(р+12)]Х Х р ~ (З)Г(З) !'!'~ Р ~ 11щ(2р!1!)~ при 1(О и аналогичное выражение при 1) О. Для дальнейших упрощений воспользуемся опять соотноше- пнями Ч!1, 4 (!5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
