К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 43
Текст из файла (страница 43)
мы найлем нз равенства (10), что Гда 3 цаа!с „— (УА) — !и (1 — Св)] -+ к при 1 — саа -+ О. (11) Воспользовавшись зтим соотношением, перейлем во втором члене правой части равенства (1) от суммирования по л к суммированию Следовательно, С „ стремится к бесконечности, если 1 — са приближается к нулю. Теперь необходимо учесть, что прн выполняемом предельном переходе отрицательные собственные значения расползгаются все ближе и ближе одно к другому. На основании рзвенства ЧП, 11(5) мы имеем $12, ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФУНКЦИИ ПРИ сс.а! 233 по ось. Подставив одновременно С А из формулы (9), мы найдем с! ) у(т) - С- (т) (т= С вЂ” ь (1 — сс)щ А-1 -са Заменим в правой части равенства (1) второй член его выражением (12), подставим вместо С„ его значение (6) и выразим А через В с помощью соотношения (8).
Наконец, в равенстве (12) интегрирование по у заменим интегрированием по )! и выполним последнее вдоль положительной мнимой оси комплексной плоскости )!. В результате мы получим З ~ ~ ~') (1, Р(")) ~г 1 Х ) са| ',— а" (т. СГ)С 1— с)п С(а) д 1 1 о ~ В(а) (а) В(а)( — Р) з|п ~а(и+ — )~ а|и ~а( — Р+ — )~ ! х ) с(а ' „ав'а.с|с)с,(, ас| (1 — ")' где р.(') = — й —— 1 А З.
(13а) Г ( — )1(2Р.) в('(р) = '1+3) (+А) (13б) 1„— А' (сл) 'ь Теперь можно выполнить предельный переход са-ь1. Мы получим О(а) сэ йт ~, " ~ у(т), 0 А(т)с(т= 'с, (1 — з)Ч" А-! са се, б(а) (с (!) — — 1 у(т) ч О(")(т, (т) с(т. (12) о С' 234 ГЛ.
УП. ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТРИКОМИ Аналогичная формула для симметричных частных решений имеет вид ' . о ~ Вй) 1Р) ВМ) 1 — Р) н1п ~н (, + — ')1 з1п ~н( —, + — ')1 ! )г', ~ у1т) — „ОМ) 1т, )л) Огт ~ Ог)л ), 114) 11 сч)г где В ' 1)л) = 2А' ( 2 ) 1 г (Р+ ') г (Р+ —,' ) 114а) )л)я) — д 3 ь 114б) ф 13.
Разложение решения ф по частным решениям В начале Э 9 мы выбрали систему частных решений, исходя из требования, чтобы решение ф обладало определенными свойствами вдоль характеристик, проходящих через нулевую точку. дной из проозвадныс а ст граничных й харангпгрисгп вдапл ноторс распрсстраня асодсннссти ходигноапи лесная гзг ям го )а разпазазтся Р н с. йа. Поясненне сгреннченнй, налагаемых не рязложенне решесня ф по есгесгненным часгным решениям. 'Однако вопрос о том, пригодна ли эта система для представления любой функции г)г, обладающей этими свойствами, остался открытым.
Между тем возможность отыскания такого представления весьма заманчива. Обычно нулевая точка плоскости ть 9 изображает беско- а еа. РАзлОжение Решения Ф пО чАстным Решенр!ям 235 Р не. 69. К разложению решение Ф ио естествеаныи иастныаа решениан. нечность плоскости течения. Выбранные частные решения располагаются по степеням р, поэтому их использование дало бы особенно удобное представление искомой функции, в частности решение вдоль линии с = сонат имело бы вид разложения по степеням р.
Ио именно последнее обстоятельство ограничивает возможность использования такого представления, так как оно воаможно только в том случае, когда функция ф вдоль линии ч = сопз! регулярна, между тем как в сверхзвуковой области регулярность ф отнюдь не самоочевидна. В самом деле, если граничные условия заданы посредством функций, не являющихся регулярными, то вдоль некоторых характеристик сверхзвуковой области распространяются разрывы производных от ф более высоких порядков. Даже если такие особенности очень слабы, например если они имеются только в какой-либо одной производной высокого порядка, они все же определяют границу области сходимости искомого представления решения ф (рис. 68).
Вопрос о возможности разложения решения ф по частным решениям, выбранным в 9 9 гл. Ч11, исследован в работе Гудерлея 114) (см. лиг. 1). Здесь мы приведем только некоторые основные идеи этого исследования и притом в упрощенной форме, За подробностями отсылаем к оригинальной работе, 1!усть в области, имеющей, на- А,' пример, форму, показанную на ', '~ ррд рис. 69, задана функция !а, удовле-, ' '~ =шз =Р, творяющая везде в этой области дифференциальному уравнению Три-,', =соил!=Р, коми, а в нулевой точке — усло-,',, 0 - .и вию Трикоми Я 11 гл.
Ч), Далее, 'тн пусть вместе с решением ф заданы, ° ~О ° т, П по крайней мере в принципе, также ,~~, '-.Ф производные ф и ф! вдоль произвольной кривой С', лежащей внутри рассматриваемой области. Имея значения ф и ф, вдоль кривой С', мы можем восстановить — путем аналитического продолжения — значения функции ф и в других местах, по крайней мере в дозвуковой области.
Следовательно, желательное представление функции ф мы могли бы получить путем построения выражения, принимающего вдоль С' указанные значения. Однако если кривая С' соответствует условиям теоремы Трикоми, то для построения функции ф достаточно знать только значения ее самой (без значений производной ф ), поэтому предварительное задание значений ее производной привело бы в общем случае к противоречию.
Правда, если мы хотим использовать для представления решения формулы, выведенные в предыдущем параграфе, то знания значений только самой функции, к сожалению, недостаточно. 236 ГЛ УН ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТРИКОЫИ Поэтому несколько видоизменим поставленную задачу, а именно: будем рассматривать вместо функции ф функцию ф, совпадающую внутри кривой С' с первоначальной функцией ф, а вне этой кривой всюду тождественно равную нулю (ф = 0).
Построенная таким образом функция ф имеет вдоль кривой С' определенный скачок, так же как и ее производная в направлениях, не совпадающих с направлением кривой С'. В бесконечности функция 9 обращается в нуль, а в начале координат удовлетворяет условию Трикоми. Такая краевая задача имеет единственное решение. В самом деле, разность двух решений этой краевой задачи удовлетворяет дифференциальному уравнению Трикоми всюду слева от характеристик ОА и ОВ на рис. 69, следовательно, и вдоль С', далее, эта разность в бесконечности обращается в нуль, а в начале координат удовлетворяет условию Трикоми.
Такое решение тождественно равно нулю, как это следует из теоремы Трикоми, если отодвинуть рассматриваемый в ней контур в бесконечность. Преимушество этой формулировки состоит в том, что решение задачи получается даже в том случае, когда значения функции ф и ее производной ф, (или значения скачка функции ф и скачка производной ф,) заданы вдоль кривой С' совершенно независимо друг от друга. Если значения функции и ее производной не согласованы друг с другом, то единственным следствием такого несогласования будет только то, что решение в области вне кривой С' будет отличаться от нуля. Если же значения функции и ее производной вдоль кривой С' заданы непосредственно, то в общем случае никакого решения существовать не будет.
Для выполнения вычислений следует разложить решение на симметричную и антиснмметричную части, после чего достаточно рассмотреть только верхнюю половину плоскости тн О. Ограничимся вычислением лишь антиснмметричной части решения. Для упрощения рассу>кдений выберем в настоящем изложении в качестве кривой С' линию р=сопзй В дозвуковой области эта линия целиком лежит внутри рассматриваемой области О. В сверхзвуковой области это невозможно, если только область О не простирается до бесконечности. К счастью, внутри области О должна лежать только характеристика РЕ (рис. 69), выходящая из точки пересечения кривой С' со звуковой линией.
В самом деле, если значения ф на этой характеристике известны, то можно продолжить решение до первоначально заданной кривой р:=- сопз1 следующим способом. Зададим вдоль характеристики ЕА произвольные значения >у, но такие, чтобы в точке Е имел место непрерывный переход к значению ф в этой точке. Тогда решение в области РГА можно построить по значениям ф вдоль РЕ и ЕА с помощью метода характеристик.
Если затем построить решение, которое вдоль линии РА (р =сопя>), не являющейся характеристикой, принимает только что вычисленные э)з влзложвнив ввшвния Ф по частным ввшвнпям 237 (1а) значения функции ф и ее производиой ~,, то в области АЕ)Е оио будет совпадать с постросииым там решением.
Тем самым получается совладение решений и вдоль характеристики ОЕ, т. е. вместе с условиями вдоль ОА автоматически выполияется и условие для ф вдоль Е)Е. Преимущество такого построения состоит в значительном упрощеиии вычислительиой работы. В то же время это построение обладает и недостатком, так как применение метода характеристик вносит в исследование элемент, за которым иевозможио проследить аиалитически.
В работе Гудерлея этот недостаток устранен. В дальнейшем мы опять будем пользоваться обозначением ф вме- 2Э~ сто чц внешняя обпоспоо понсе, еоопо попе)оо Итак, мы должны решить задок 'оконок Ш опо )б следующую задачу. Лавы две, )о=)оо внупшеннко обпостк буется найти такое решение ф уравцеиия Трикоми, которое р в бесконечности обращается в нуль, в начале коордииат удовлетворяет условию Трикоми, а вдоль линии Р = — Ро пРетеРпевает РазРыв, Равный Гг(с) для самой функции ф и 7;Д)Ро для производиой ф (рис. 70). с 2 Кривая С делит плоскость ч, Ь иа две области, которые будем иазывать виешией областью 0) (Р ) Ро) и внутренней областью Се (Р(Ро) Во висш~ей области О, представим решение в виде оо ,„)а) =Х "Ы~ ')~-~сля" а во внутренней области 62 — в виде т~ б С)а) с( )а))(Р ) — Ке — ~ )2()с)Сг~'(~, )с)(Р ) г(1.
(1б) о-о Постоянные а„и Ьл и функцию )2()2) следует вычислить из условий перехода, задаииых вдоль кривой С'. От второго члена решения (1б) берется веществеииая часть потому, что этот член вследствие наличия комплексного показателя степени р/Ро представляет собой комплексную величину. Как показывает вид решения, в бескоиечиости оио стремится к нулю. Удовлетворяется ли в нулевой точке условие Трикоми, из вида решения неясно. Наоборот, вид решения показывает, что отдельиые частные решения, стоящие под знаком интеграла, в нулевой точке неограниченно вырастшот, так как р есть 233 ГЛ. Ч11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
