К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 40
Текст из файла (страница 40)
В результате мы будем иметь 01Ы вЂ”.-к'А(Зр)Ч'! ( ~ А~ е, ) ~з(и [и (!А+ 2)]У д(2р~Ц)— — з1п [и (й + 2)] ЛЛ (21А / 1( ) ~ при % ~( О ОИ1 —,к'Я(Зр.)ь(! ! '(,, ( ~з1п[к(п+ — )]е-1и Х Х1 ь(211е "1а!1!)+Е(п[п(р+ — )] е™ХЕ(2пе "1в!Ц)~ при $~0. $ Т, ПРИБЛИЖЕННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИИ 0 ПРИ БОЛЬШИХ! Р( 2(б Выполнив аналогичные вычисления для (т, мы получим (а) 0~ ) яа(Зр) Ь! Е! '~ — р — ~ ~а(Вк (р. +Г2)~1 А(2р /Е /)— — з)в~к (р+- — )~ Уд(2р ! (/)~ при $ (О (т(') и'(а(Зр) '/ с !д ~:а! "(Б(п ~к'((а+ — )~~е ' (а)( )( 1-'в (2ре (а я фI ) +- а(п ~н (р +- — )~ е (маЛл (2ре — (ма / Т ~ ) ~ при Е мь О. Для дальнейшего исследования целесообразно перейти от функций Бесселя к функциям Ханкеля, воспользовавшись для этого со- опшшениями У.(е) = —, ' Ы'(".(Е)+Н~() (е) 1; (ба) У ч (г) = — )е"ЯЕН1~((е)+е (Г(Н1~~(е)1 (бб) ставления: Н(') (е) е/ 2 ы — ('Л,) ы Н(а) (л) 'а — е-"ь(Ч ) '" прн — 2аа ( ага е (к; (9а) при — аа(агяеа 2я.
(9б) Тогда мы получил( б~'~ — — и'(~р.'л ~ ~! (' ~ ~а ~ ~е" ("+ Л-') Н(() (29 ~ (! ) (- +е " Н(у~(2р(а()~ при а (О; ((а) $а ~ Ла г г Заа (а — ипрл)( ~ ') ~ ~з(п~ т((а+ — Ле(еан(()(2ре-( (а! а()+ + — е Н(,(2ре-(гаа! Ц)~ при 1) О; (7б) +е Н(,'(2р! Е()~ при ч <О; (8а) р ак и( р ( !а ! ~ а ( ~а(п ~аг ((а + )~еав Н((а) (2(ае-(аеа (Ч()+ + — е '" Н)(,'(2(ае-(ма~ а()~ при ч> О. (8б) Для функций Ханкеля гав и Н,(, существуют асимптотические пред- (1) (а) 216 ГЛ. У11. ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТРИКОМИ 066 — ) ', ) соз ~2р ( — ' — Е)~. (10а) Так как, согласно равенству (2б),)Т)=-к!2 при Е= — со, то формула (10а) дает асимптотическое совпадение с первым членом разложения решения 0ЕО в ряд (см.
равенство ЧИ, 4(10)1. При Е) О мы получим из формулы (7б) "'-~ — '''"(""Н )П"" -' """ ") илн, приняв во внил1ание равенство (2а), 0И'-(' „,Е') ' Х К(' ( (ь~-~-г)) (',~ра) -1- —,'""' "(' ",)"), СОЕ Если вещественная часть параметра р положительна, то первый член правой части формулы (1Оа) значительно больше второго, за исклю- чением тех случаев, когда сйп )я (р+ — )~ = О, т. е.
при 3 р.=й —— 4' л=1, 2, В этих исключительных случаях асимптотическим представлением решения 0(1 будет 1 11 Ез 1У Аэг /1 — Е'Й Р 3 0 2 ) з ( — 1), при 1ь=п — (1ОВ) р ~1+ 1'l 4 Из этих формул следует, что функции Н)г1 и Н)з1 при больших значениях аргумента асимптотически не совпадают (для функций Бесселя Лв и 7 д такое совпадение, напротив, имеет место), В самом деле, одна нз этих функций Ханкеля при возрастании г стремится к бесконечности, а другая — к нулю. Это обстоятельство весьма важно для определения области применимости асимптотических представлений. С помощью формул (9) можно исследовать поведение решений (7) при Е= — сю и при Е=! для того, чтобы произвести сравнение с точными решениями.
При больших значениях аргумента функции Ханкеля и при Е < О формула (7а) после некоторых преобразований приводится к виду а 1 пРивлиженные пРедстАВления ФункциЙ о пРи БОльших! Р! 217 Если параметр р мнимый положительный, то асимптотическое пред- ставление (10б) принимает вид 01й ~ е'!г 'соз!2(1ь!! — — 1. (10г) Если, кроме того, 1 — 2<~1, та ', )) 1 и получаются следующие приближенные представления: 0й! Бйп ~п (р. -1- — )~ 4 (1 — (з) ьй р чь Л вЂ” —, (11а) 0пй 1 ( 1)АФ14-Р (1 з)глйчч 2 (11б) О!Ю вЂ” е' Р (! — (з) "соз( — ~р.!1и !ь — положительное мнимое.
(11в) Зги формулы мы можем сравнить с формулой ЧП, 4(16), в которой ~р~ слелует считать большим. Г1ри р Ф л — '/, вторым членом формулы ЧП, 4(16) можно пренебречь; тогда, использовав соотношения ЧП, 4(15в) и ЧП, 4(15д), мы получим 2Г ( — ) Г (2Н) 2з'Ае А2~Р 'Г (Р.) Г (Р + — ) 1 5 ! 2 Р !Р'!))1. г(Р+ ~)г(Р+ !) г(Р+ 2)г(Р+ —,) то тем самым охватывается вся область изменения. Выполненное исследование еще не доказывает, что формулы (7) являются асимптотическим представлением решения 0~О, однако полученные результаты дают основу для такого доказательства. Таким образом. Шри р чь А — з/4 формулы (11а) и ЧП, 4 (16 действительно совпадают.
Аналогичным образом можно показать совпадение формулы (11б) с формулой ЧП, 4(16) при !А=А — а),. При чисто мнимом р первые и вторые слагаемые в формуле ЧП, 4 (16) представляют собой сопряженные комплексные величины, и поэтому достаточно вычислить только их удвоенную вещественную часть. И в этом случае формула Ч11, 4 (16) совпадает с асимптотической формулой (11в), Следовательно, при Кер) О имеет место асимптотическое совпадение в точках ! = О, $ = — со и 1=1. Но так как а а ФункционАльнып опРеделитель чАстных РешениЙ 0 219 где 1), =("1 *фэ — т) (2б) Тзк как О, и Оа линейны относительно ф, то определение знака функционального определителя в сверхзвуковой области выполняется особенно просто.
Если ф задано равенством ф =.4" г(:, и), то мы получим О, а = э1" ~3" А — „„ч (пг" — 3'.1')~. (3) Если решения налагаются одно на другое, то соответствующее наложение производится и в выражениях для В, и Оз Часто бывает достаточно определить знак функционального определителя вдоль ч= 1 (нли ."=1). В дозвуковой области функциональный определитель всегда отрицателен.
Если же вдоль "= 1 функциональный определитель принимает положительное значение, то в промежуточной области должна иметь место перемена знака, что обычно делает решение непригодным. В связи с этим мы выведем некоторые критерии, позволяющие установить знак функционального определителя вдоль ч= 1 вблизи пулевой точки. Подставив в равенство ф=р — ЭачюО(С р) вместо р его аначение т~а(' — 1) (см. равенство ТП, 3 (1)), мы получим -СЬ)ч-зе (е 1)-Г;;йч.э О (( Два линейно независимых решения О можно взять, например, из равенства Ч!1, 4 (7). Тогда, введя произвольные коэффициенты с, и с,, мы получим частное решение в следующем виде: ф = сгт)-Гч>э'РР ( — Р+ —, — Р+ —, 1 — 2Р., 1 — ')+ 1 5 12 ' 12 ' +са4 гш' '~".— 1~~Р(р+ 12, р + 12, 1+2р, 1 — ".).
(4) Если имеется линейная комбинация таких выражений с различными р, то при малых значениях 4 и (г — 1) среди первых членов всех взятых выражений вида (4) главную роль играет тот, которому соответствует наименьшее значение р. То же самое имеет место и для вторых членов. Отношение же главного первого члена к главному второму члену зависит от показателя степени (1 — ".)Яи во втором члене. В качестве примера рассмотрим случай, когда покаватели степени в главных членах одинаковы. Использовав равенство (3), мы 22О ГЛ УН ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТРИКОМИ найдем, что в окрестности г =- 1 О, =- )-РА1~ ~сгЗ(,— — ',) — — 'с,)( — 1,:"~ ( 1 Оз = — т! !Чшзе~ег — — — +Сз!2'~' з 1 12 '~» 1|з 12 2н — 1 з ' с †! ! ! зяп с,са([ь — — !. !2/ Если имеется только первый член, то зеп О = зеп (2р — 1), если же имеется только второй член, то эеп г) = — зяп ( — 1).
В случае неодинаковых показателей степени главного первого и главного второго членов знак функционального определителя аависит от того, каким образом ~) и . — 1 одновременно приближаются к нулю. Если один из критериев дает для функционзльного определителя положительный знак, то рассматриваемое решение подлежит исключению. За подробностями отсылаем к работе Гудерлея [3[ (см. лиг. 1), здесь же ограничимся только сводкой рааличных критериев, Обозначим показатель главного первого члена через рн а показатель главного второго члена — через р,. 1. Приближение к нулевой точке плоскости ~, Ь проходит вдоль линии ~ г.— 1 ~ =сопя!((1.
При ра:р,, 1! зепо = здп(р, — — г!. (5а) или се=О При рз С иг или с,=О здп О = зеп [ — р.,(' — 1)[. (бб) При р, =р, ) '/. и сг чь О, ся + О О>О. (бв) Злесь пРи Р,Р '/а пеРвые члены значительно больше втоРых, поэтому функциональный определитель положителен. При р( О значительно больше вторые члены, поэтому для г ) 1 (или с С 1) функциональный определитель отрицателен, а для Г е., 1 (или $ ) 1) положителен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
