К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 41
Текст из файла (страница 41)
При О ( [ь ( '/, в О, главную роль играет первый член, а в О,— второй член, поэтому знаком функционального определителя булет 221 а 9 системы чАстных Решении П ри 0 ( р., = рз ( '/9 и с, Ф О, ся пе 0 99ИР=здпс,са(.— 1)(р,— — ). (5г) При рг =р, (0 и с, Ф О, сачи 0 зепР= зев(.— 1). (5д) 2. Другие пути приближения к нулевой точке.
При ра) Чз и с,+О 11 вдп Р = зеп (р, — — ) . (ба) При 0 с 99 С '/9 и с, эь О, са чь 0 здпР=здпс,са(".— 1)(р,— — ). (бб) При р и с, чь 0 (6 в) зеп Р = здп (: — 1). 9 9. Системы частных решений 9=2Г( —,)( — ",) Х Г(2И) 91я~и(и+ — )1 Г( — 2Р) 9!п~и( — и+ — )~ Г(Р+ - -)Г(И+ —,) Г( — Р.+ — ) Г( — и+ — ) Для того чтобы решение ф и его производные оставались конечными при 1=1, коэффициент при втором члене должен быть равен нулю. (Случай, когла показатель степени во втором члене равен положительному целому числу, должен быть исключен, так как тогда гипергеометрический ряд первого члена вырождается.) Это требование При исслеловании течений возникает вопрос о правилыюм выборе частных решений.
Часто (например, в случае течений с числом Маха, равным единице, см. гл. Ч1П) бывает известно, что решения и их производные из физических соображений ограничены вдоль характеристики 1 = 1, правда, иногда за исключением начала координат. В этом случае выбор частных решений производится следуюшим образом. Внесем в уравнение Ч11, 3(3) вместо 0(С, р) его выражение ЧД, 4 (16), т. е.
Симметричное частное решение вблизи с'=1, затеи заменим в соответствии с равенством Ч!1, 3 (1) р на т~з(" — 1) и сохраним в каждом из гипергеометрических рядов только первый член; мы получим 222 ГЛ УГГ. ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТРИКОМИ приводит к условиям яп~к( и+ — ',)~=0; г( — р+ — ) —., р( — р+ —,',)= откуда 12) где гг есть неотрицательное целое число.
Аналогичным образом для антисимметричного решения, определяемого равенством ЧП, 4117г), получаются условия (3) 3 р= — -- — Ь. ~ Эти решения в дальнейшем будут играть особую роль, поэтому введем для них специальное обозначение, а именно будем обозначать их буквою г) с нижним индексом, указывающим степень, в которой в решение входит переменная р. Кроме того, иногда для ясности будем отмечать антисиммстричные и симметричные решения посредством соответствующего верхнего индекса 1и или е). Впрочем, необходимости в этом нет, так как для заданного показателя степени р, например — з/е, при $ = 1 конечное значение имеет либо только симметричное, либо только антисимметричное решение 1то же самое относится и к производным этого решения).
Все эти решения могут быть выражены в замкнутом виде 1формулы Ч11, 6(3) — ЧП, 5 18)1. Таким образом, мы имеем следующий набор решений: ,) М) а 1а) Г Г ) ф)1а) И )И),Я) ф)ой ~~1а) Иногда мы будем называть эти решения естесглвенними часе- ними решениями. Соображения, которые приводят к этому выбору частных решений, настолько очевидны, что не требуют пояснений.
Однако они ни в коем случае не могут служить доказательством полноты полученной системы решений. Такое доказательство без труда можно дать для другой системы решений, связанной с задачей на собственные значения. Дифференциальное уравнение ЧП, 3 Гб), определяющее О, имеет такой же вид, как и соответствующее дифферен- 5 З. СИСТЕМЫ ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЯ 223 ,, О, 6) Оз (6) с[". (1 — 6з) "' путем интегрирования по частям [с использованием уравнения 'згП, 3(бб) и с учетом граничного условия при 6 = — со[; мы получим са ',, О,(1)0,(6)д6= — сс ~ а,д — „', ~(1 —,(з)ч "0'~ (6= з с, зз) ° О ) — — 9Л 16 сз с, + 1 Г (1 зз)$Л дОз <У01 Ж (4) 1 .1 ' д6 А% — — 9л 16 1 16 св с, / ,, О, (6) 0з (6) с(ч = — 1 ( 1 — (з) ' О, — д~'=- ~ + с, Г(1 (з)ч д ' д(, 1 3 дй д6 — — 9Лз 16 циальное уравнение в классической задаче на собственные значения, за исключением того, что коэффициент при О меняет знак.
Условие 0=0, или ( — 1) —.=О, -ьд0 дз имеющее место вдоль 6= 0 ($= — со), если ограничиться только симметричными или антисимметричными частными решениями, тоже имеет такой же вид, кзк соответствующее условие в задаче на собственные значения. Однзко граничные условия, используемые нами при 6=1, не могут быть использованы в задаче на собственные значения.
Для того чтобы выйти из положения, прибегнем к следующему искусственному приему: введем верхнюю границу 1=се (сз '1) области, подлежащей рассмотрению, и потребуем, чтобы там было 0= 0, а затем будем приближать сз к единице. Сначала исследуем случай, когда с, < 1. Положим [зз = Л. Пусть О, и Оз суть два решения дифференциального уравнения для О, соответствующие двум различным значениям Л, которые обозначим через Л, и Л,.
Далее, пусть решения О, и Оз удовлетворяют условию, заданному при 6= — оо. Преобразуем интеграл 224 ГЛ У!1 ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ТРИКОМИ откуда ся Х э 0,(1)О,Д 1с= 1 з ) ! э(л! — Л,) (1 — са) '~ — 0,(с,) — '(са)+Оз(са)ф(са)~. (6) Если функции О, и Оа удовлетворяют граничному условию 0 = 5 при !=с,, то из равенств (4) и (5) мы получим следующие соот- ношения ортогональности: яч яа)ч, „Г ',, ОгфО,(И)й=б при Ля + Л,, (7а) при Л + Ла. (76) Будем рассматривать 0 в формуле (6) как функцию от с и А; пусть эта функция удовлетворяет граничным условиям при ~ = — оо.
В качестве определения функции 0 можно взять либо одно из выражений ЧП, 4(10), ЧП, 4(11), ЧП, 4(14), ЧП, 4(16), либо ЧП, 4(17), заменив в них [я на Ля Л. Если мы совместим Л, и Ам а тем самым О, и О,, то формула (6) примет вид ся С 1 —,0 (1, р)[1= $ (1 — с!) 5 (1 2)ч г 0 (см р) —. (с,, р) — —. (сз, р,) — (са, [я)~ (8) ,(для краткости мы о5означили левую часть буквой С). Эта формула играет особо важную роль в том случае, когда 0 является собственной функцией. Она встречается у Гудерлея ([5] и [6[, см.
лит. 1). Из соотношения ортогональности (76) вытекает, что собственные значения Л=[яз должны быть вещественными. Доказательство основано на тех же соображениях, как и в классической теории задачи на собственные значения, только в настоящем случае ввиду перемены знака у члена Ц1 — сз) л в соотношении (7а) при с = 0 нельзя исходить из этого соотношения, Ход доказательства в основном следующий. Если бы существовало комплексное собственное значение Л = Л„-[-1Л!, то сопряженное комплексное число Л = Л„ — 1Л! также было бы собственным значением, так как дифференциальное уравнение ЧП, 3 (6) имеет только вещественные коэффициенты. Соответствующие собственные функции также были бы комплексно а 9.
системы чАстных Решения сопряженными. Обозначим их через 0+ = 0„.+104 и 0 = О, — Гао Так кзк собственные значения А=).„+4Л, и Л=˄— 4Л4 не равны друг другу, то можно применить соотношение ортогональности (7б). Мы получим Левая часть этого равенства, безусловно, положительна, следовательно, сделанное предположение о существовании комплексного собственного значения неверно. Полнота системы собственных функций может быть доказана с помощью гильбертовой теории интегрального уравнения с полярным ядром (Гамель, см. лиг. 1). Классическая теория (с использованием интегральных уравнений с положительно определенным ядром) не приводит к нужному результату вследствие перемены знака у весовой функции Ц1 — 99) " в соотношении (7а). В дальнейшем с = с, будет означать нижнюю границу рассматриваемого интервала.
Пусть там выполняется одно из граничных условий: 0 — О или — — „= О. д0 дс Если с, и с, лежат в дозвуковой области, то Л=)49 безусловно положительно. В самом деле, из условия, что 0 = О при 9 = с, и с = са, следует, что между этими точками имеется по крайней мере один максимум абсолютного значения О. Если 0 в точке с максимальным значением положительно, то вторая производная безусловно отрицательна (первая производная, конечно, равна нулю).
Дифференциальное уравнение И1, 3(6), определяющее О, показывает, что это возможно только прн положительном Л. Такой же результат получается и для граничного условия 0' = О на концах интервала. Если с, и са лежат в сверхзвуковой области, то, как показывают аналогичные рассуждения, возможны только собственные значения Л('149. Если с, лежит в дозвуковой, а с, — в сверхзвуковой области, то получаются как положительные, так и отрицательные собственные значения Л.
Если Л отрицательное, то р — мнимое. 15 зак. 994, к. Г. Гулераеа об гл. тгь члстныв гашения зтлвнвния тгикоми Применив формулу (8) к собственной функции и использовав соотношение (4), мы получим Так как интеграл в правой части всегда положителен, то С всегда имеет такой же знак, как '/„ — 9Л. Будем располагать собственные значения по их величине и обозначать их следующим образом: ...Л „, ..., Л з, Л з, Л,, Л,, лз, Л,, ..., Лл, ..., причем отрицательные индексы относятся к отрицательным собственным значениям, а положительные — к положительным собственным значениям.
Аналогичный способ обозначения при необходимости будем применять также для соответствующих значений р. Для собственных функций будем пользоваться обозначениями -ь 0-з О-з О,, Оз, Оз, Оз... Оь, У(Е) = ~; аь0„(Е) + Ъ;а „0 ь(з). (9) ь-з Коэффициенты ааь можно нзйти с помощью формулы (8), предварительно умножив равенство (9) на $0ь(,')/(1 — 1з) ", проинтегрировав по интервалу ( — со, сз) и применив соотношение ортогональности (7а). Мы получим с, аеь=(сел) Г ~ „„у6) Оььб) /з. (1 — 1з)ч (10» ф 1О. Представление некоторых решений уравнения Трикоми в виде наложения частных решений, составленных из собственных функций Из полноты системы собственных функций следует, как показывают приводимые ниже рассуждения, полнота системы частных решений, составленных из собственных функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
