К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 44
Текст из файла (страница 44)
ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТРИКОМИ (2а) !22(2' РО) Ф(( ' РО) /! ( ) ф2! 2 (ь' РО) (ьп 2 ( ' РО) /2 ( )' 1 (2б) Разложим функции /! и / в ряды при помощи формулы. )ь!1, 12(13) и внесем затем решения (1а) и (1б) в условия (2а) и (2б) Приравняв в полученных равенствах коэффициенты прн отдельных функциях, мы найдем 3 (1 Л()()" ('4,"'~ (1 — 22) ' В(а) (Р(а)) В(а) (- Р)ьь)) 3 ~,/2(,) бю(, н„ю) (-- )" — ~- — '/ = ( ) ,1 1 (а)) 1, ( 1 (а) 1 12 + )ьь / Ь ( 12 Ра / А В(а) ! (а)! В(а) ь' (а)! ~нь) 1 'РО) ! 3 (' 2! ! (2) 0(~) (т )ь), ьь .У (1 2)Ч ке р (р)— в"(.)в"( Р'1" Г (Р+з)3""Е'( Р+ 4И ! 3 ( *уз( ) ьь(а)(, ) ) а а,) (1, 2)Ч ( 12+1)Г(1) 1 1 В( )(Р)В )( — ).
и ~ ( + †)1 ~ ( — 1 + †)1 Отсюда 3 ~ )а)) В(а)( (а)) В(а)( (а)) 2РА") В( ) (Р);)) В( ) ( — и')) ' 3 1 --~(н)— а )ь (За) (Зб) (Зв) В(~) ()ь) В(а) ( — (ь) з)п ~а(Р + — )) Мв [а(' — и+ — /) мнимая величина. Это свойство решения выявится позже. Условия. которые должны быть заданы вдоль кривой С', имеют вид а (з иазложвнив вншеният по частным ввшаниям 239 где ( (г) .1 [Л( (Р 12)+ ~а(т)) (1 тз)Ч и в соответствии с равенством 1(!1, 12 (13а) „(а) 1 ь 4 (6) Таким образом, во внешней области решение можно представить в виде (а) 3 '51 Я ~й м(в)(И)ч)) ч(ч) 1( И)а)) 2~,~~) ~ Ь ) ( р, ( а во внутренней области — в виде В(а)( ~а]) В(а)( (а)) 2 (а) ~ а ) 1 (со — ('л*)+е ) — ке( г)(")(1 и)1(и)( — ) (и (66) "и" ~.( Ч--~.(- +-')1' )( (В~ ) (в) В( ) ( — и) з1п ~я (р + — )~ з(п ~к ( — н -+ — Я Для последующих вычислений важную роль играют два свойства функции У(в), определяемой равенством (4), и интеграла в правой части равенства(бб).
1. Функция 1(й) представляет собой однозначную аналитическую функцию от р. 2. Если ( в ( в первом квадранте комплексной плоскости р стремится к бесконечности, то выражение, стоящее под знаком интеграла в правой частя равенства (66), убывает в некоторой области плоскости р, 1 так, что становится возмол(ной деформация пути интегрирования вдоль мнимой оси в путь интегрирования вдоль вещественной оси. (На доказательстве этих свойств останавливаться здесь не будем.) Далее введем допущение, что в первом квадранте комплексной плоскости (( функция !((А) не имеет полюсов.
Более подробно об этом допущении будет сказано ниже. Рассмотрим второй член правой части равенства (бб). При только что сделанных допущениях особенности выражения, стоящего под знаком интеграла, определяются особенностями выражения 240 ГЛ. ЧП. ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТРИКОМ)! Если исключить из рзссмотрения точку 1=1, то функция 0~'~1~, р) будет регулярной при всех значениях (ь. В самом деле, эта функция определяется линейным дифференциальным уравнением н начальным условием (при 1 = — оо), не содержащим ра поэтому решение может иметь особенности только в таких точках, в которых обладает особенностями само дифференциальное уравнение.
Но последнее при ч + 1 особенностей не имеет. Следовательно, достаточно рассмотреть полюсы выражения В(') ((а) В(а) ( — р) яп ~я ((А + — -)1 яп ~п ( — (а + — „)~ ° 17) Некоторые нз этих полюсов обнаруживаются сразу; это те полюсы, которые соответствуют нулям тригонометрических функций. Полюсы, возникающие вследствие равенства нулю выражения з!п [п(р+(/4)), получаются при значениях (ц,, входящих в первый член правой <а) части равенства (бб), т.
е. в сумму. Эти полюсы: рассмотрим отдельно, так как для них сумма в правой части равенства гбб) ста.новится равной нулю. Вычеты в соответствующих точках равны )а) В(а) Г (аи В(а) / (ан 2 (а) ~РЬ ! ~ РА ) " РА Для исследования других полюсов воспользуемся выражением '1(!1, 12 1!3) функции В("), причем преобразуем гамма-функции, входящие в это выражение, посредством формул ()!1, 4(15). Мы получим г (~+~ )г(~+~ )Г( — Р+ ~~)г( — Р+~ ) — 2Р з)п 12ан) Г (р. + — ) !' ~Р + — ) !! з)п~а(,+ — )~з)п~.(Р+ )~1(,+ )Г(,+ — ) Отсюда, имея в виду выражение (7), найдем, что полюсы будут в точках Р 4+За Ь=О, 1, 2, 3....
(8) .Вычеты в этих точках равны а !3. Разложение Решения Ф по чАстным Решениям 241 Путь интегрирования после деформзцвн проходит вдоль вещественной оси Га, но при этом обходит полюсы, лежащие на этой оси, по малым полуокружностям, расположенным выше оси (рис. 7!). На вещественной оси выражение, стоящее под знаком интеграла в правой части равенства (бб), очевидно, вещественно. Вследствие наличия множителя ! перед интегралом в равенстве (бб) путь интегрирования вдоль отрезков веществешюй оси вносит в вещественную часть этого интеграла вклад, равный нулю.
Напротив, полуокружности, обходящие полюсы, вносят в интеграл мнимые вклады, а именно соответствующие вычеты, умноженные на — Гп (знак минус получается потому, что обход полюсов совершается в отрицательном направлении). Таким образом, вещественная часть интеграла равна сумме вычетов, умноженных на м.
Г1ри этом вычеты в точках [а1п! таковь1, что сумма в решении (бб) выпадает. В реауль!а тате мы получаем А=о Мы видим, что это выражение представляет собой пало>кение частных решений Ч!1, 9(3) (с положительными показателями степени р), найденных в 9 9 настоящей главы. Однако это выражение нс всегда 0 . р ееи~ественнои псе Р и с та Область сколимости лля раалаакеаня решения а по естестпеннми яастнмм решениям. Р и с. 71.
Путь ингегрироаания а комплексной плоскости р. может служить полным представлением решения фа. Определение функции Г [равенство (4)] показывает, что до тех пор, пока функции Л и ), ограничены (это предполагаегся всегда) н пока функция О также ограничена, решение ! сходится равномерно и поэтому является аналитической функцией от р, не имеющей полюсов в комплексной плоскости р.
Поведение функции О (т, Га) при т = — со таково, что там не возннкзет никаких трудностей для ее исследования; но зато прн -. -+ 1 функция О в общем случае стремится к бесконечности [см. асимптотическое представление Аг!1, 7(126)[. 16 Зак. 334. К Г. Гулерлей. 242 ГЛ УН ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТРИКОМН Функция Н безусловно, аналитическая, если вблизи -. = 1, например при 1г(т(1, функции Г! и Уа тождественно равны нулю (1! есть подходящим образом выбранная постоянная).
Вначале мы предположим, что это условие выполняется. Положение точки с! обусловливает границы области, в которой допустимо выполненное выше преобразование. В самом деле, эта область определяется требованием, чтобы выражение под знаком интеграла в рзвенстве (66) достаточно быстро стремилось к нулю, если в комплексной плоскости 1р( — у~, Но такое поведение подинтегрального выражения зависит также от т, а вместе с тем и от ":,.
Более точное псследование показывает, что представление (1О) применимо в области, заштрихованной на рнс. 72. Проведем через точку != с! контура С' характеристику с положительным наклоном, а через точку О пересечения этой характеристики со звуковой линией— линию р = сопз! (ОК) и характеристику ОН с отрицательным наклоном.
Обе эти линии являются ! раницами области применимости представления (10). В общем случае вне э!ой области решение (10) не может сходнзься. В самом деле, нельзя исключить возможности того, что вдоль характеристики РО распространяется особенность. Эта особенность отражается от звуковой линии, после чего возникает особенность вдоль ОН. Выше мы упомянули, что представление (!О) для решения ф имеет вдоль линии с=сопя! вид разложения по степеням рчч Именно поэтому область сходимости не простирается за пределы ближайшей особенности, т. е.
за пределы линии ОН. Как это влияет на дозвуковую область, можно выявить из асимптотического представления функции О. Если 1 приближается к единице, то область сходнмости сзановится все меньше и меньше, т. е. представление теряет свою ценность. Однако так кажется только на первый взгляд. Для того чтобы выявить поведение предстзвления (10) вблизи точки с — 1, необходимо более точное представление функции Б Бо всяком случае, согласно сказанному выше, функции г! и У, не должны иметь особенностей вблизи Р =..
1; но в точке ";.= 1 допустимы особенности производных высшего порядка. Следовательно, вполне естественно потребовазь, чтобы в окрестности точки , "= 1 функции у! и уя были аналитическими функцпями от Е Тем самым вблизи точки с =- 1 функции т! и !в определяются также в комплексной плоскости Р. В общем случае они будут многозначными функциями, имеющими в г = 1 точку разветвления.
Без подобно~о предположения совершенно невозможно определить функцию !" для больших значений вещественной части р, так как иначе интеграл, определяемый равенством (4), будет расходиться. Если вдоль линии с "— 1 распространяется особенность, то это можно обнаружить из поведения функций )'! и !а вблизи Р = 1, более того, эту особенность можно полностью выявить. Очевидно, что решение (10) можно применять только в том случае, если функ- я 13 РАзлОжение Решения Ф ИО чАстным Решениям 243 ции ут и )' удовлетворяют дополнительному требованию, а именно требованию о том, чтобы они не обусловливали распространения особенности вдоль с == 1.
Но это предписывает определенную форму разложения этих функций в степенной ряд в точке о = 1. Если только что указанное дополнительное требование не выполнено, то в комплексной плоскости р получаются дополнительные полосы, вследствие чего в решении появляются дополнительные члены, учитывающие распространение особенностей (см. работу Гудерлея (14), лиг.
1). Указанное требование является единственным ограничением применимости решения (10). Область сходимости всегда имеет форму, изображенную на рис. 72. Точная граница этой области зависит от поведения функций 7т и )' в комплексной плоскости с; нх поведение при вещественном с не является достаточным критерием. В упомянутой работе Гудерлея все эти вопросы исследуются подробно, причем на выбор контура С' налагаюгся меныпие ограничения. В большей части случаен этот контур можно совместить с контуром рзссматриваемой области. Результаты, полученные в этой работе, можно использовать для того, чтобы для заданного численно решения определить путем интегрирования коэффициенты разложения (10). Рис тз. Озтзсть стояиыости ятя рззяожсния решения Р ио ссзестзенным язстным решениям. Аналогичные соображения применимы также к области, контур которой имеет форму, изображенную на рис. 73.
Контуром исходной Области является АВстВРОтт'. Внутри этой области, в ее дозвуковой чзсти, выбираются две кривые С' и С", представляющие собой линии р = сопз(. Затем контур С' дополняется характеристикой т',М. Если вдоль характеристики МК задать подходящие граничные значения, то можно продолжить решение в область МКА и взять отсюда значения ф и ф для кривых С'(КОК) и С' (АгттК). Тогда изложенный выше способ даст возможность получить решение для области, лежащей между кривыми С' и С". В этой области вклады, вносимые в решение кривыми С' и С", суммируются. При этом вклад, обусловленный кривой С", выражается формулой (ба), не требующей никаких дальнейших преобразований.
Эта часть решения 244 гл уп ЧАстные Решения уРАВнения ТРикоми сходится не только вне кривой С", но также вне контура (чу (для доказательства проще всего воспользоваться асимптотнческим представлением рассматриваемой функции 0). Вклад, вносимый в решение кривой С', преобразуется указанным выше образом. По поводу границы сходимости можно повторить предыдущие рассуждения, а именно, в дозвуковой области берется линия р = сонэ(, продолжением которой в сверхзвуковой области служит харзктеристика с отрицательным наклоном. Если граничные значения в сверхзвуковой области подобраны надлежащим образом, то эту границу сходимости можно совместить с линией П.Л4. Тогда общей областью сходимости составляющих решения, обусловливаемых кривыми С' и С", будет область, заштрихованная на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
