К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 47
Текст из файла (страница 47)
В частности, вследствие особого повеления р и ч при ч = 1 линия 1 †-- 1 не отображается в ось х, хотя функция О на ней также обращается в нуль. Изложенные рассуждения приводят к заключению, что при течении с числом Маха, равным единице, для представления бесконечности пригодна только та функция О, которая не имеет нулей между ч = — со н 1.= !. Это означает, что особенность, возникающая в нулевой точке плоскости т, Ь, определяется уравнением —:,' О(а) ~1 3 ) Общий вид годогрзфа исследуемого течения доэольно прост (рис. 75).
По-прежнему будем рассматривать симметричный профиль, При перемещении из бесконечности по направлекию к профилю вдоль линии тока, совпадающей с осью симметрии профиля, скорость уменьшается. В передней точке профиля скорость равна либо нулю, либо какому-либо другому значению, меньшему скорости звука (первый случай имеет место, если угол, образуемый верхней и нижней сторонами профиля, не равен нулю, а второй, — если этот угол равен нулю). В передней точке профиля линия тока разветвляется как в плоскости течения, так и в плоскости годографа. Направление вектора скорости изменяется, а модуль скорости при перемещении вдоль контура профиля обычно увеличивается.
Звуковая скорость достигается еще до места с наибольшей толщиной профиля; дальше скорость становится сверхзвуковой, Вдоль изображения контура обтекаемого тела функция тока должна быть равна нулю (или, в более общем случае, постоянному значению). Поэтому на выражение ф,, имеющее особенность в нулевой точке, необходимо наложить другое выражение, не имеющее особенности в эгой точке н такое, чтобы вдоль изображения контура обтекаемого тела в плоскости годографа было у = О. Выражение ф , предварительно следует умножить на постоянную, зависящую от размеров тела.
Если бы контур обтекаемого тела в плоскости годографа был задан, то для отыскания дополнительного к ф ч выражения можно было бы развить систематический метод. Однако практическая потребность в таком методе не очень велика, так как изображение контура обтекаемого тела в плоскости годографа не может быть определено непосредственно из контура этого .гела в плоскости течения. Согласно результатам, полученным в 2 12 гл. И1, решение вблизи нулевой точки можно представить как наложение „естественных частных решений.
Коэффициенты, на которые следует 2 2 ГОдоГРАФ течения с числОм мАхА, РАВным единице 257 умножить отдельные частные решения, определяются формой (и размерами) обтекаемого тела. Поведение решений в бесконечности определяется только выражением ф , . Согласно равенствам ЧП, 3 (7) и ЧИ, 3(9), соответствующие координаты х и у в плоскости течения равны х =,- ~,74(1), (2а) У Г 42()' (2б) причем 7,(4) и 72(с) могут быть выражены через бйб(4, ~/4). Исключив р, мы получим У4 Ф' — = —;) =Л6). 72(4) (3) Следовательно, линии 1 = сопз1 плоскости годографа действительно отображаются в обобщенные параболы плоскости течения.
Такими параболами являются также звуковая линия и предельная характеристика. Очевидно, что взаимное расстояние между ними в направлении х возрастает по мере увеличения у. Для определения формы линий тока необходимо вычислить нх отклонение от линий у = = сопз(, представляю:цих собой линии тока невозмущенного течения, что сводится к вычислению интеграла У= ~ Ь(Б)41(х(р)) прн у=сопзй Из равенства Ч11, 3(1) мы имеем р = — ба(1 — 42) 4 откуда 3 = р" 74 (1) (4) или, если учесть равенство (2б), $ = У "Ау; (1). Далее из уравнения (3) следует, что х = У '74 (1).
Таким образом, У =Уп ~ 72(4) 444. 17 зек 534 к Г, Гудерлеа 441ы видим, что вытеснение линий тока из их первоначального поло>кения увеличивается по мере возрастания у. При у -+ са это вытеснение также становится бесконечно большим. Полученный 258 Гл чн1, твчения с числОм мАхА, РАВным единице результат дает ответ на вопрос, каким образом в течении с числом Маха, равным единице, набегающий поток находит пространство для прохода мимо обтекаемого тела, Необходимо подчеркнуть, что с увеличением у течение все более и более приближается к параллельному течению с критической скоростью.
Бесконечно большое вытеснение линий тока прн 7 -+ ОО есть следствие интегрирования наклона линий тока в направлении к. Впервые этн исследования были выполнены Ф. И. Франклем ]б] и Гудерлеем ]3] (см. лнт. 1). 3 3. Пример течения с числом Маха, равным единице Прежде всего условимся о некоторых обозначениях. Ниже часто будут встречаться решения, имеющие особенность в нулевой точке годографа и удовлетворяющие вдоль изображения профиля в плоскости годографа заданным граничным условиям.
Если коэффициент при составляющей решения, имеющей особенность в нулевой точке годографа, не требуется находить по заданному профилю, то будем считать его равным единице. Такого рода решения будем обознзчать буквой Чг с верхним индексом, соответствующим индексу той особенности, которая играет преобладающую роль, Функцию ф, входящую в такие решения и удовлетворяющую условию Трикоми в нулевой точке, будем обозначать через ф с соответствующим индексом.
Аналогичный способ обозначения будем применять и для преобразованного потенциала р. В качестве первого примера течения с числом Маха, равным единице, рассмотрим исследованное Гудерлеем ]3] (см. лиг. 1) течение, которому соответствует решение 111 А = — с,ф Ч + с ф, . Выбор постоянных с, и сз, если не считать их знака, не играет существенной роли. В самом деле, умножим правую часть равенства (1) на некоторую постоянную; тогда все значения х и 1А умножатся на ту же постоянную; следовательно, получится только изменение масп1тзба плоскости течения. Если мы применим закон подобия для околозвуковых течений, то увидим, что координаты 3 останутся неизменнымн, но каждое р умножится на *'. Так как в равенстве (1) оба члена правой части содержат р в разных степенях, то множитель т войдет в каждый из этих членов также в разных степенях.
Для определения формы тела в плоскости течения необходимо предварительно найти нулевую линию тока и вычислить для нее координаты х. Тогда форма обтекаемого тела получится путем интегрирования по х наклона нулевой линии тока. 5 3 пРимеР течения с числОм мАхА, РАВным единице 25й Выполнение расчета в общем виде довольно кропотливо, однако окончательный результзт получается простым. Приведем здесь только важнейшие этапы этого расчета. Необходил4ые частные решения ф „ и ф д получаются из равенства Ъ'11, 5 (3). В рассматринаемом случае 14='/4 и р,=')4.
Мы имеем 0[4, — )=(1 — ") А('у' ".— ~Г" — 1),, (2а) 0[1. —,)=(1 — ~) "[Уг — У~ — 1) "[1 — 2Ь"--Р'- — 1)'1 (2б) причем Выражения (2а) н (2б) представляют собой решения уравнения, опре- деляющего О, а отнюдь не те выражения 0М), которые нам необхо- димы. Для последних характерно их поведение при больших отри- цательных значениях В или, что то же самое, при 44алых отрица- тельных значениях ~. Поэтому умножим выражения (2а) и (2б) на подходящие постоянные, сначала представив их в таком виде, чтобы при отрицательных Г они были вещественны.
Мы получил4 0[1, —,')=(1 — ~) "(р' — '.— ~'1 — ".) ', 0[1, --) = — (1 — ".) 'ф — ". — '!Г! — ".) [1 — 2 [~à —: — ф'! — '.)з1 Вблизи ( — ") = О мы будем иметь следующие разложения: 0[1, —,') = — 1+ —,' Р' — ~-(- ..., 3' 8 а(„— ) = — 1+ —,у" —:+ .... 8 Искомые решения 0 должны иметь своим первым членом член '~У вЂ” ~", (а) этих разложений. Дальнейшие решения мы найдем, заменив р' —" на — ф' — ь, и решения 0 можно будет представить в основном 1а) в виде разности первоначального решения и решения, полученного из первоначального переменой знака перед 14 — ".
Следовательно, мы будем иметь 0 („— ) — (! —.) Х Х [[у: —; у1 ..)-' ( р' ~ у! ) '"1, (за) а [1,-) (1 — -.) Х Х [[ — "- — 3/1 — 1) "— 2 Ь вЂ” '- — У ' — "-)— 1у —.„р 1 „)-ч + 2[ у:» 1Г) «) '~. (Зб) 17' 2бо гл лн твчяния с числом млхл. паиным вдиннцв Введем новую независимую переменную и, связанную с переменной ч соотношением (4) В таком случае 1 — ч = — (ца+ ц-')з, 1 4 (цз .
ц-3)з 1 4 (цз 1 ц — зР (цз --. ц-з)з ' 2 и 3 ие--и е ' — — -3„" '= «ц „~д 2 Л ц (цз -.— ц-з) Л Далее нз равенства ЧП, 3 (1) мы найдем ~= — рч (1 — ~~) л= — рш2а(цз+ц-3) (б) ф, =р — Ч вЂ” — 2Ч [ц'+ц-з[ '(а-' — 2ц-з — це+2цз[, или ф, = — р Ч вЂ” 2П [из+а з[ Л[(а+ц-')з(ц — а-')[. (7б) 3 Приняв в равенстве (1) постоянные с, и сз разнылли единице, мы получим %' л= — р ч —. 22 [ц'+ц-з[ л1[ц+ц — '['[и — а-'[— йб — рн — 2уе [цз + ц — з[ д [ц — а — '[ 2 (8) Для определения нулевой линии тока следует положить %' а равнылл нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
