К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Кроме того, клинообразную модель очень просто изготовить, что значительно облегчает сравнение экспериментальных и теоретических результатов. поверхность Мы получим отображение на плоскость клико ' с годографа течения около клина с числом .9 й Маха, разны!! единице, если стянем ударную т! л- пилок е точку и затем поместим в нулевую точку клико особенность, характерную для течения с числом Маха, равным единице !рис. 88). Коэффициент, на который следует умножить эту особенность, конечно, определяется размерами клина. Наоборот, если этот коэффициент задан, то тем самым апреле- рис.
84. Расположение ссоляю! ся раз!1 еры клина Снача ча чы принес! асиностса влоль сев 8 этот коэффициент равным единице. Прежде всего составим выражение для функции тока, удовлетворяющее условию ф = 0 на сторонах клина (рис. 84). Обозначим его через а!г!. Это выражение строится посредством зеркального отра- 268 гл чн> тсчсння с числом млхл. олиным единице жения решения с особенностью в нулевой точке. Пусть половина угла раствора клина равна 9о. Введем обозначение ф, (р, 1)=ф, (т>, 8).
Тогда для ф> мы получим выражение л. ф,= .~'.> ф „л(т1, Ь вЂ” 280э). Л- — л (2) Решение я> ч определяется равенством (1); переход от переменных р и ! к т! и 9 выполняется при помощи соотношений»!1, 3(1) и 'ч'!1, 3(2). Для того чтобы удовлетворить граничному условию ф = — О вдо.чь характеристики С!з, воспользуемся частными решениями Чапль>- гина в виде т>!1, 1(2а). Мы получим Лпт . Лтв бл= „~~плД(>1, — ) 3!п —, "о зо л=> (3) где функция д(т>, йк/Оо) определяется равенством 711, 1(4а). Очевидно, что решение ф также удовлетворяет граничноыу условию ф = О на сторонах клина. Решение фл следует определить так, чтобы на характеристиках Сх) и С'1Э' соблюдалось равенство ф,+ф =О. >) Характер поведения ф, вблизи нулевой точки вытекает из исследований, выполненных в Г> 13 гл Ъ'П, поэтому ф, можно представить квк наложение естественных частных решений ф.>.
о>л,, фв,.... > ' т) См. примечание иа стр. 191 — Прим, рейд. Следовательно, функция фа определяется краевой задачей Трикоми. Вдоль звуковой линии функция фл ограничена, так как ряд в равенстве (2) сходится там по крайней мере в среднем '). Поскольку ряд, определяющий ф,, сходится на звуковой линии, он на основании сказанного в конце й 1 гл. Хт!! сходится также в сверхзвуковой области'). В указанном параграфе был дан ответ и на вопрос о полноте системы частных решений, использованных для представления решения ф . Конечно, с практической точки зрения решение (3) можно считать удовлетворительным уже тогда, когда расчеты покажут, что заданные граничные условия выполняются с хорошим прибли>копием.
После того как сходимость в сверхзвуковой области обеспечена, можно определить коэффициенты а„, потребовав непосредственного выполнения граничных условий вдоль характеристики СЕ), например, путем непосредственного численного расчета. В работе Маршнера (см. лиг. 1), посвященной аналогичной задаче, для приближенного выполнения граничных условий использованы 10 членов выражения (2). а а овтвклнив клина пои числе млхл, влвном единице 269 Для этой цели в 40 точках вдоль характеристики СО были вычислены значения функции, определяемой решениями Чаплыгина, а также те граничные значения, которые должны иметь место на этой характеристике, и затем коэффициенты аа были определены так, чтобы сумма квадратов отклонений приближенных решений от точных граничных значений была минимальной '). Решение рассматриваемой памн задачи имеет вид ' =Ф +Ф.
Ч, тт аа дс l Лвт Лвв х,= — (и+1) ' ~~па — — — 1тт), — )соз — ' зо за а.— т (4) Другая возможность для вычисления х, использованная в работе Гудерлея и г(осихары (1) (см. лиг. 1), состоит в том, что с помощью равенства 17, 7(7) выполняется переход от ф к т, а затем х вычис.тяется по формуле тт, 7(10). Для определения положения предельной волны Маха, знание которой необходимо для расчета течения на кормовой части обтекаемого тела, достаточно пай~и только зависимость координаты у вдоль этой волны от т). После это~о координата х найдется из соотношения дх выполняющегося вдоль характеристики.
Исходя от предельной характеристики, можно рассчитать течение около кормовой части тела методом характеристик. Для практического расчета лучше всего выбрать в качестве независимых переменных Ь ч за (~ за) т) Оходимость метода наименьших квадратов в рассматриваемой задаче локазана в работе Л. В. Овсянникова (см примечание на стр 191) — Прим. рад. Это решение представляет интерес в области ВСООО'С' на рис.
88 и, наоборот, не представляет интереса в области, лежащей между характеристиками ОО и ОО'. Продолжение решения за предельную характеристику, после того как определено ее положение в плоскости течения, проще всего осуществляется методом характеристик. Для перехода от решения в плоскости топографа к решению в плоскости течения следует воспользоваться формулами т7, 7(8) и 'ьг, ?(9). Если требуется определить только распределение давления вдоль клина, то достаточно вычислить координаты х вдоль сторон клина. В частности, для решения фя [равенство (3)) мы найдем на основании дифференциального уравнения ЧП, 1(2в), следующую формулу: '!70 ГЛ Н111 ТЕЧЕНИЯ С ЧИСЛОМ МАХА, РАВНЫМ ЕДИНИЦЕ В равенство (3) входят именно эти независимые переменные, в чем нетрудно убедиться из равенства хг!1, 1(За).
Далее легко видеть, что решение (' 4) можно представить в виде ~(з,~~ ' Ь)' Отсюда следует, что множитель 0о л должен войти также в решение туя, котоРомУ тепеРь можно г,0 придать вид ~х=-0о " ~~ пад ('0, - ' )81п. 0 А..1 7,5 70 где новые коэффициенты ау, не зависят от 6о. Из формул Ч, 7(8) и т7, 7(9) мы найдем, что соответствующие значения у пропорциональны 0о А, а соответствующие значения х пропорциот/ нальны 6о '. Вследствие сделанного выбора независимых переменных значения т) и 0 в соответствуюп1нх точках пропорцио! нальны 00' н 0б Распределение давления для ромбовидного профиля показано сплошной линией на рис.
88. Для построения этого распределения коэффициенту сопротивления придан вид пь я -05 -10 -80 0 ца 08 00 00 70 хгф — т Р н с 88. Рвспределенне велнчннм ч лля ромбоввлного профиля в свободном течении прн М ,=1 н в блокнроввнноб леролнпвмнческоб трубе. Ве есть ооловннв угла, обрезавввного старонвмн перелнего «лннв н олнонременно относнтельнвя толшкнв профили. Для рвссмлтрнввемога примера относительная толщннл профиля рввнв 1бн, в ширина профнля состввляет 13м паперечннкв трубы. Блокирующее число Маха равно 8,88 (по Гудерлею н йоснхвре111 н мвршнеру!. ср — — — 2 (к+ 1) = — 2(х+1)-ч 0'„од( -'1, (б) 17. ) где 7.
есть полная длина профиля. Решением %' ' будет = — (2 6о) (к+1) '%+Фа) (8) т~ Обозначение %' '" было поаснено в начале предыдушего параграфа. Наличие множителя 0„!" следует из сделанных выше замечаний. На- 3 5 смысл некОГОРых Решения для дРуГих знАчения е 271 помним, что коэффициент при члене ф,, входяшем в состав правой части равенства (6), равен в соответствии с равенством (2) единице. Полученные результаты многокра~но подтверждены опытом ').
Лиже (см. лиг. 1), использовав в плоскости годографа вместо уравнения Трикоми другое приближенное уравнение, сумел получить для задачи об обтекании клина решение в замкнутом виде. Способ расчета, примененный в этом параграфе с целью определения фз, может быть распространен на краевые задачи для свободных струй, сформулированные в й 2 гл.
ч'1 (рис. 50 и 51). Однако остается под вопросом, стоит ли такое исследование затраченного на него времени. ф 5. Смысл некоторых решений для других значений р В й 2 настоящей главы мы выяснили, что црн течении с числом Маха, равным единице, в нулевой точке плоскости годографа возникает особенность ф , Настоящий параграф мы посвятим физическому истолкованию лругнх антисимметричных частных решений, также отображающих нулевую точку плоскосзи годографа в бесконечность плоскости течения, но содержащих мпожигель р в степени, меньшей — а/ . Рассмотрил~ антисил1метричное частное решение , — [",,) —.Р О(а) 1 Пусть функция й, входящая в это решение, имеет свой первый нуль, если считать от 1-" — ЗО, в точке 5=-сг, В бесконечности плоскости течения получается, очевидно, параллельное течение со звуковой скоростью.
Отрицательная ось т) отображается в отрицательную ось х. Для последней Ь вЂ” О. Линия ." †.. с, отображается в положительную ось х, однако здесь наклон нулевой линии тока не равен нулю. Имея наклон линии тока, можно определить форму тела, соответствуюшую рассматриваемому течению, путем интегрирования. Пусть 6' есть производная от О по с в точке ч = с,. Точка линии ч = с,, соответствующая заданному значению а, отображается, согласно формулам 711, 3(7) и Ч!1, 3(9), в точку плоскости влечения с координатами (1а) у=О, (1б) ') Хорошее соответствие теории н опыта в свое время сильно повысило доверие как к экспериментальным методам, так н к теории. 272 гл шп твчгния с числом млхл, глвным вднннцв Ь получаем нз Для определения соответствующего значения равенств ЧП, 3(1) и Ч!1, 3(2) формулу 2 г'р 3 (1--с',) ' Исключив отсюда р с помощью равенства (1б), мы будем иметь 1 1 5 1 6 = 2 > 31 1 — 1 111Л> а'"( +1) а Пъ> — е> 71 — са1 а а й>-а )< — г/ 1 г г ;~ (О') Рл>-"'хгщ>-аз = сопи.
х1>Ч>-ая. Следовательно, 1 — — 2й 1! >-ач б у= ~ ЬЫх= сопл> ° л11>п- аи. 7 — — 2н б Таким образом, мы получили течение около полутела, имеющего своим профилем обобщенную параболу. Вдоль контура получается либо сверхзвуковая, либо дозвуковая скорость, смотря по тому, положительно или отрицательно число с,. В первом случае звуковая линия начинается на носке тела. (Конечно, здесь приближенное уравнение, полученное для плоскости годографа, неприменимо.) Переход от сверхзвукового течения к дозвуковому происходит при р = ">га. В этом случае с, = (> н „ол Звуковая линия совпадает с положительной осью х. Такого рода течения можно толковать как приближение к течению вблизи передней части профиля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
