К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 51
Текст из файла (страница 51)
268. Это течение имеет в нулевой точке особенность, определяемую выражением ф , . Ди задания этой же особенности в точке Т,=О, О=я (а есть угол атаки) следует взять выражение ф , (тп 9 — а). и„еглок носовой Р и с. Вз. толкование аналитического ре. шенин как течения около клина с носовым щитком Ссо Гулерлею и йосихаре (319 Разложив его по степеням а и использовав соотношение хгП, 6(2), мы получим дф а (ие 9) ф,И ь — )=ф ч(") 9) —" да = ф ч ( ) 9) — 2 ф ., И 9). 3 Следовательно, в первом приближении перемещение особенности ф, из точки т) =О, 9 = 0 в точку т) =О, 9 =я эквивалентно наложению на первоначальную особенность ф „выражения — а(х(я) ф, (то, 9). /а Сначала мы не будем учитывать множитель — (а(я) к. Тогда к выражению ф, (т), 9) следует прибавить еще решение ф, удовлетворяющее условию Трикоми и выбранное так, чтобы для полученной суммы удовлетворялось граничное условие ф =О вдоль изображения контура.
Зто выполняется, как и на стр. 268, путем зеркально~о отражения особенности относительно изображений сторон клина и прибавления частных решений Чаплыгина. Полученное таким способом выражение (включая ф, ) обозначим через ф,. Если мы наложим теперь течение, соответствующее функции ф,, на основное течение, то получим решение, которое в первом приближении эквивалентно решению, имеющему в точке Т,=О, Ь=а особенность ф, и удовлетворяющему условию ф = О вдоль сторон клина. Следующим шагом является отыскание решения, имеющего в точке т = О, 9 = а особенность ф , и удовлетворяющего вдоль га 278 ГЛ.
ЩН. ТЕЧЕНИЯ С ЧИСЛОМ МАХА, РАВНЫМ ЕДИНИЦЕ изображений сторон клина условию ф=О, Приближенно можно заменить эту особенность такой же особенностью в точке т~ = О, Ь = О. Способ расчета остается, конечно, прежним. Обозначим это решение через фн. Теперь необходимо найти такую комбинацию ф, +сопз1 ° фп, которая не изменяет длины сторон клина.
Выполняется это следующим образом. Найдем для решений фг и ф, значения х, соответствующие плечам клина, причем для острия клина Рб= — ОО) примем х= О. Тогда множитель перед фн следует выбрать так, чтобы значение х для решения фп на плече клина было равно соответствующему значению х для ф,, но имело обратный знак. Это условие должно быть выполнено только лля одной стороны клина, так как каждое из решений, полученных для верхней и нижней сторон, вносит в значение х вклады, одинаковые по величине, но обратные по знаку.
Найденное таким путем решение, оставляющее при наложении на Ч основное течение форму клина неизменной, обозначим через Ч Таким образом, мы имеем %' '=ф +сопз1 ° фп. Это решение в принципе можно представить в виде Р-Ч =ф Ч+а —;Аф,,+~-", где а Г', есть постоянная, а функция ф ' удовлетворяет условию Трикоми. Обозначения соответствуют соглашению, введенному в начале й 3 настоящей главы. Пусть решение для клина с нулевым углом атаки дано в следующем виде: ~р-'4 „-Ч.ф + ф — 'А -'А где а ',4 есть постоянная, которая определяется размерами клина и может быть найдена из равенства ЧШ, 4(б).
Эффект, возникающий вследствие небольшого угла атаки. можно получить путем прибавления к этому решению выражения (2 ) (2) где а, как уже упоминалось, есть угол атаки. Если в плоскости годографа наложить на основное течение другое решение, то в плоскости течения точка, которой соответствует определенный вектор скорости, переместится на расстояние, обусловленное наложенным решением. В первую очередь нас интересует, конечно, изменение давления (илн изменение величины 4) в заданной точке. Для отыскания этого изменения требуется линеарнзацня; это не налагает какого-либо ограничения, так как выше, при раз- $ т.
ОБтекАния клинА пОд уГлОм АтАки 279 ложении решения ф, (а), Ь вЂ” и) по степеням угла атаки, мы уже выполнили такую же линеаризацию. Значения х и у, найденные для основного течения, обозначим через хо(т1, Ь) и уо(т), Ь), а соответствующие значения, полученные для дополнительного рдшения ф, — через х(а), Ь) и У (т), Ь). Следовательно, мы будем иметь (За) (Ьб) (4) д,)= —; бЬ = О.
дхо,дв ' Отсюда, использовав вторую из формул Ч, 7(11), мы можем вычислить изменение давления. Для отыскания решения ф в сверхзвуковой области следует применить метод характеристик. При этом могут оказаться полезными следующие соображения. Если решение выражается через преобразованный потенциал, то 'А х=(к+1) *срч, У=9а х = хо (тн Ь) + х (а), Ь), у = уо (а) Ь) + у (т) Ь) Наложим на основное течение решение ф, изменим одновременно т) на па) и Ь на бЬ и предположим, что у имеет первый порядок ма- лости; тогда х и у получат следующие изменения: дхо дха бх=х(т), Ь)+ — бъ)+ — бЬ, дя дз йу=у(а), Ь)+ дУ П,+ У' бЬ.
дт~ Подберем теперь дт, и ОЬ так, чтобы бх и бу стзли равными нулю. Тогда значения т, +бт, и Ь +-ЬЬ будут определять собой вектор скорости, отображающийся при наложении ф в точку, в которой для основного течения мы нашли значения т, и Ь.
Следовательно, местные изменения значений т) и Ь будут равны — дуо — дхо — х — +у— да дз дхо дуа дхо дуо д~1 дз дз д11 — дуо — дхо х — — у— дч дт дхо дуо дхо 'зуа дз 'РЬ д) Конечно, на поверхности профиля уз=О. Так как стороны клинй представляют собой отображение линий Ь = сопз1, то на них дуо/да)=О.
Лалее, на изображении сторон клина У=О. Таким обра- зом, на сторонах клина мы имеем 280 гл. чш тнчвния с числом млхл, вавным адиницв Характеристики уравнения Трикоми, определяемые уравнением лч 1- -ч лэ должны удовлетворять условию совместности а~, ~ У'1а~,=о, или — (к+ 1) '" р' л. лу Следовательно, условие совместности для характеристик в плоскости годографа определяет направления характеристик в плоскости течения.
Поэтому построение преобразованного потенциала в плоскости годографа можно толковать как построение сети характеристик в плоскости течения. Для основного течения этот результат является тривиальным. Но этот результат имеет место и для наложенного течения, взятого в отдельности. По поводу граничных условий для наложенного течения ф можно сказать следующее.
Для ромбовидного профиля вдоль его кормовой части, отображающейся в рассматриваемом приближении в у = О, соблюдается равенство Ь = — Ь . Поэтому в плоскости годографа мы имеем в качестве граничного условия у=О при Ь= — Ь. Наоборот, при построении в плоскости х, у граничным условием будет Ь= — Ьз при у=О. Координаты х, у могут быть определены следующим образом. Сначала вычислим вдоль предельной характеристики значениях и у, соответствующие наложенному решению у, для тех же пар значений и Ь, которые были использованы при определении основного течения. Затем построим в плоскости х, у сеть характеристик в точности таким же образом, как зто делается в плоскости течения, Граничным условием будет при У=О. Для определения изменения, вызванного в распределении давления наложением решения й, следует поступить так: взять из построенного поля значения х и у, соответствующие точкам пересечения тех характеристик плоскости годографа, которые были построены в основном течении, т.
е. для тех же значений т, и Ь, а затем внести взятые х и у в формулы ~За) и (Зб) или, если требуется опреде,лить изменение давления вдоль профиля, в формулу (4). 6 7. ОВТЕКАНИЕ КЛИНА ПОД УГЛОМ АТАКИ 281 Результаты этого расчета изображены на рис. 89 в безразмерном виде. Построенная кривая дает изменение величины т) на единицу угла втэки. Это изменение можно сравнить с изменением давления около клина, возникающим при небольшом изменении угла раствора клина.
Из формулы у'(П, 4(5) мы имеем -з,л г,=д-ЯОо. — =2,49 Оо ' г(сА — Че о'а Следовательно, при изменении угла раствора клина на ЬОо величина т) изменяется иа ч -дп ео ()гт) = о Оо '8" (1 ) бОо. Соответствующая кривая изображена -),п на рис. 89 штрихами. Мы видим, что эффект изменения угла атаки сравним -До по величине с эффектом изменения угла раствора клина, но значительно О больше последнего. дул Путем интегрирования можно Опре- Р ис. 99. ивменение величияы ч для делить величину с(с /г1п.
Положив роиоовилного профиля пол углом А атаки (сплошная кривая) и для клина, и = 1,4, мы получим угол раствора которого увеличен на а (штриховая кривая). ПОловина угла раствора переднего клина и относительна» толщина профиля равны ом а есть угол атаки (по Гулерлею и йосихаре (З)). Центр давления отстоит от передней точки ромбовидного профиля на расстоянии, равном 29,4огО хорды профиля. Примечательно, что здесь величина ((с (г(а зависит от относительной толшины Оо. Ни линейная теория дозвуковых течений, ни линейная теория сверхзвуковых течений не позволили обнаружить такой зависимости. Другое примечательное явление обнаруживается из рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
