К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 52
Текст из файла (страница 52)
105 (стр. 341), на котором изображена зависимость с(с (с(а от числа Маха набегающего течения, Правая часть кривой показывает изменение величины с(с (ага при чисто сверхзвуковом течении; эту час~ь кривой можно построить, если выполнить известный расчет сверхзвукового поля с упрощением вблизи числа Маха, равного единице. Коэффициент подъемной силы в этой области значительно выше, чем при числе Маха, равном единице (самая левая часть кривой).
Дальнейшие расчеты покажут, что левая часть кривой при числе Маха, равном единице, т. е. при т) = — О, имеет горизонтальную касательную и что там кривизна кривой равна нулю, Следовательно, в промежутке между течением со скоростью звука и чисто сверхзвуковым течением должно иметь место весьма 282 Гл. чн1 течениЯ с числом мАхА, РАвным единице своеобразное изменение коэффициента подьемной силы.
Это обстоятельство было причиной того, что Винченти и Вагонер [2[(см. лиг. 1) исследовали промежуточную область теоретически и экспериментально. Левая часть кривой проведена через точки, полученные в этом исследовании. За подробностями отсылаем к первоисточнику. Задача обтекания клина с прилегающим к его острию скачком уплотнения была рассмотрена в 9 4 гл. 1Л(рис. 53). Аналитическое решение этой задачи дано Йосихарой [11 (см. лиг. 1). Пекоторые замечания по поводу этого решения (ему соответствует штриховая часть кривой на рис.
105) будут сделаны на стр. 342. ф 8. Краевая задача для тела произвольной формы, поставленного под мальты углом атаки, и родственные задачи Пусть для тела произвольной формы известна картина течении при числе Маха, равном единице; следовательно, известно и изобрзжение этой картины в плоскости годографа (рис. 90). Примем, что /О! звуковая / ряреаеллкая яиков,4 Гтаракгпериспгик / 11~1 тсвертзвулаеая з г абяаспь гьзвукавая ааяасатл еоякгя разрепсе сеертзвукавая абяасягь р т и Шве укавая велас;ъ Р и с. НО. Течение скола ге л нроилво. «оя ферми нри числе Маха, рли ом в бесконечности единице; о- поле течения, б — отобрлженне нл плоскость годогрлфл. это решение имеет место при нулевом угле атаки. Решение в плоскости годографа обозначим через 'эг 1'.
Попытаемся найти изменение давления, вызываемое изменением угла атаки на небольшую величину. Как и в предыдущем параграфе, изменение угла атаки приводит к перемещению точки годографа„в которую отображается бесконечность плоскости течения, Это перемещение обусловливает, согласно сказанному в предыдущем параграфе, наложение на исходное течение Ф' " решения, имеющего в нулевой точке в качестве преобладающей составляющей особенность ф, . Такое решение -лгл 5 а кРАВВАя зАдАчА для телА пРОизВОльнОЙ ФОРмы 283 должно удовлетворять граничным условиям, выражающим требование о неизменности контура тела при указанном наложении. В дальнейшем нам поналобятся решения, удовлетворяющие таким же граничным условиям, но обладающие в нулевой точке особенностями, заданными функциями ф РИ р,.
Излагаемое ниже исследование учитывает и эти более общие решения. Граничные условия нз профиле выражаются проще всего через преобразованный потенциал ау, который также удовлетворяет дифференциальному уравнению Трикоми. Согласно сказанному в 2 11 гл. А1 1уравнение (12)1, граничным условием, выражающим неизменность контура в плоскости течения, будет У-(с) =8,+ 8ата — „"„— — 6.
лча (1) где з) = а),(Ь) есть уравнение контурз исходного течения в плоскости годографа. С помощью соотношения ф = Фа, выведенного в й 7 гл. ч' и связывающего функцию тока с преобразовзнным потенциалом, и уравнений И1, 6(1) и Ч11, 6(2) мы найдем, что при использовании преобразованного потенциала выражениям ф1 :А1 с л ° , (..1 я А ф соответствуют выражения 1+ 2 2 ~6 (8 — ~) ~ 8 — 'г)) 9 — йй я ь и 8 ~-(Га) Я га Выражение ф,, которое, очевидно, не удовлетворяет условию Трикоми, преобразуется с точностью до множителя в выражение аа, удовлетворяющее условию Трикоми. Но там, где краевая задача может быть сформулирована с помощью функции ф, коэффициент при ф, может быть определен (см. стр.
285). Л ТаКИМ ОбраЗОМ, МЫ дОЛжНЫ НайтИ РЕШЕНИЕ аа урЗВНЕНИЯ ТряКОМИ, удовлетворяющее вдоль профиля условию (1) и имеющего в качестве преобладающей составляющей решение Ф,, С ОСобенностью в нулевой точке. При отыскании этого решения мы должны учитывать следующее. В случае течения с числом Маха, равным единице, поведение течения в нулевой точке описывается выражением аа Ч, имеющим здесь особенность и умноженным на некоторый коэффициент, зависящий от размеров тела.
Если тело несимметрично относительно направления набегающего течения, то необходимо принять, что этот коэффициент зависит также от угла атаки (для симметричного тела он— как следует из соображений симметрии — имеет постоянное значение). 1(онечно, мы должны предполагать, что течение является единственным, т.
е. что изменение коэффициента определяется краевой задачей. Перемещение нулевой точки учитывается наложением реше- 284 ГЛ. Чпг ТЕЧЕНИЯ С ЧИСЛОМ МАХА, РАВНЫМ ЕДИНИЦЕ ния р, . Если при этом одновременно изменится коэффициент при л и в полном решении, то в наложенном выражении появится л член 1~, с мйожителем, зависящим от только что указанного коэффициента. Следовательно, решение, которое подлежит наложению, содержит две составляющие, имеющие особенности в нулевой точке; несмотря на это, оно должно оставаться единственным. Возникает вопрос, как математически выразить это свойство краевой задачи. Исчерпывающего метода решения краевой задачи второго рода пока еше не существует.
Однако с большой степенью достоверности можно предположить, что для уравнения Трикоми также должно существовать дополнительное условие, касающееся граничных значений и сходное с тем дополнительным условием, которое известно из теории потенциала. В самом деле, если бы такого дополнительного условия не существовало, то для известного течения с числом Маха, равным елинице, можно было бы найти такое решение уравнения Трикоми в виде у = 9 ь+9 которое, будучи наложено на исходное течение, оставляло бы контур в плоскости течения неизменным. (Буквой р мы обозначаем в соответствии с соглашением в начале й 3 настоящей главы решение, удовлетворяющее условию Трикоми,) Путем наложения такого выражения на исходное течение мы могли бы получить для того же профиля и другое течение с числом Маха, равным единице, а это овначает, что течение с числом Маха, равным единице, взятое за исходное, не является единственным.
Эти соображения приводят одновременно к следующему выводу: выражение ).(р) (равенство (1)], составленное для 1~, с целью выполнения граничных условий для функции 1у в последнем уравнении, никогда не может удовлетворять дополнительному условию, необходимому для краевой задачи второго рода. (Такое утверждение может показаться странным, поскольку упомянутые дополнительные условия в деталях неизвестны.) Из сказанного, однако, следует, что можно добиться разрешения краевой задачи второго рода, если ввести в нее выражение у у, умноженное на подходящий коэффициент. Таким образом, мы приходим к предположению, что решение сформулированной выше краевой задачи для функции ~у имеет вид ф — (Ч~)-(АД) ) -(%)-(А)з) ) .-('А)-(АД) (2) = ~-(ш) („.) "-ч' '- д р ° Вблизи нулевой точки решение , РМ (АГа) может быть представлено р как наложение естественных частных р шений р(,, „.
Краевая задача для функции -(э) ("'), к которой, таким образом, сводится 'т аз. кялнвля злдлчл поставленная задача, мо)кет быть решена путем надлежащего распределения особенностей вдоль изображения контура в плоскости годографа. Если бы течение было несжимаемым, то эти особенности были бы аналогичны источникам. Тогда выполнение граничных условий потребовало бы решения некоторого интегрального уравнения. До настоящего времени попытка такого расчета не сделана.
Если перейти от ф к ф, то решение (2) примет вид 1р-«л)-(юз), г я-«1) — (Мя)~, т — «й)-пни) ' ~ -*л + „-( л)-(лд) ф + ф-«ь) — <лга> (3) Конечно, коэффициенты а в равенствах (2) и (3) различны. В решение (3) входит член ф, (с особенностью в нулевой точке), который в решении (2) включен в выражение о.
Более наглядно вычисление этих частных решений выполняется для клина, так как для него граничные условия могут быть сразу указаны, а именно на изображении его сторон должно быть ф = О как для основного течения, так и для наложенных решений, Решения, удовлетворяющие этим граничным условиям, требуют в нулевой точке только одного выражения ф, или ф, „с особенностью в этой точке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
