К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 56
Текст из файла (страница 56)
98). Для того чтобы краевая задача, схематически представленная на рис. 45, имела единственное решение, необходимо задать значения функции тока ф в точке В и в точке, ей симметричной относительно оси т. Впрочем, для последующих вычислений целесообразнее выбирать другие параметры, вводимые менее искусственным путем. В том, что искомые поля течения получаются только при правильном выборе указанных параметров, можно убедиться на примере несимметричного клина. На основании доказательства Трикомн краевая задача в плоскости годографа, представленная на рис.
97, имеет единственное решение, если заданы положения точек Р и О. Это означает, что размеры сторон клина получатся вполне определенными. Только при специальном выборе точек Р и О получится заранее заданная форма клина. Ниже мы увидим, что эти параметры получаются одновременно с решением краевой задачи также в более общих случаях.
При исследовании подобного рода задач сначала определяется семейство решений, удовлетворяющих граничным условиям на профиле, но не учитывающих граничных условий вблизи нулевой точки. В нулевой точке решения имеют особенность, в остальной же области плоскости годографа, ограниченной изображением контура тела и характеристиками, проходящими через нулевую точку, эти решения везде удовлетворяют дифференциалы1ому уравнению Трикоми. Искомое решение для течений вблизи числа Маха, равного единице, всегда может быть получено путем наложения только что указанных выра>кения, Граничные условия, заданные вблизи нулевой точки, дают бесконечную систему уравнений для коэффициентов решений, налагаемых Лруг на друга.
Решение этой системы получается в виде разложения по параметру, определяющему отклонение искомого течения от исходного течения с числом Маха, равным единице. В 3. Решения, удовлетворяющие граничным условиям на обтекаемом теле В Э 8 гл. ИП в связи с исследованием течения около тела произвольной формы, поставленного под небольшим углом атаки, уже было показано, как вычисляются решения, удовлетворяю;цие граничным йб3 Гл (х течения с числом мАхА. Близким к единице условиям на обтекаемом теле.
Здесь мы сначала напомним вкрат1(е полученные результаты и принятую систему обозначений, а затем докажем, что каждое решение, удовлетворяющее граничным условиям на обтекаемом теле, может быть получено наложением друг на друга выражений, использованных в Ч 8 гл. ЧШ. Течение с числом Маха, равным единице, будем считать известным. Согласно результатам предыдущей главы, это течение всегла опрелеляется функцией з(ф ч +~ ф ( +т' (1а) Обозначения, принятые в этом уравнении, были пояснены в начале ч й 3 гл.
1)П!, Функпия ф Л в подходящим образом выбранной области всегда может быть разложена по естественным частным решениям, т. е. может быть представлена в виде сс Ф = Азль/6 'та) (1б) )1г — (уй -(А)2), 1 — ('л) — (в)2), "— (') ) — ()Па) ' -'Л т -Ч. -('Ь)-(АГП1 7-((2) — (1Ч2) (2 2) где функция 2 (ы) ' )2) может быть выражена через естественные частные решения слелующим образом: -('Ы-(А)2) '~» — (Ы) — (АЮ,~ (2а) Покажем, что все частные решения, которые при наложении на течение с числом Маха, равным единице, оставляют контур тела в плоскости течения неизменным, могут быть прелставлены (в подходящим образом выбранной области) бесконечным рядом из частных решений вида (2а).
Для этого следует перейти от функции тока к преобразованному потенциалу. В соответствии с равенством НШ, 8(2) мы Коэффициенты а, входящие в правые части равенств (1а) и (1б), опрелеляются формой обтекаемого тела, Верхний индекс при а совпадает с верхним индексом той функции %*, в выражение которой входит рассматриваемый коэффициент, а нижний индекс совпадает с индексом того естественного частного решения ф ,, ф „ или ф„,, к которому относится рассматриваемый коэффициент.
Инлекс функции ф совпадает с инлексом функции 11С Согласно сказанному в Э 8 гл, т(П1, частные решения, оставляющие при наложении на исходное течение контур обтекаемого тела неизменным, имеют вид а 3 ГРАничные услОВия нл ОБтекАемОм теле 309 имеем ф — (У.) — (АГЗ) „— РА)-(л,вв) 1, — (*~') — (А)З) 'в-(М) — (А)з) ) а-'д Обозначим для исходно~о течения с числом Маха, равным единице, изображение профиля в плоскости годографа через К, Область, ограниченную контуром К и характеристиками, проходящими через нулевую точку, обозначим через б.
Неизменность профиля в плоскости течения при наложении некоторого решения в) выражается граничными условиями второго рода. Следовательно. применив способ обозначения, использованный в равенстве т(Ш, 8(1), мы получим ((у) =(). Пусть для такого решения ву уравнение Трикоми выполняется в области О везде, за исключением окрестности нулевой точки.
Эта окрестность представляет собой область, в которой должны быть ааданы дополнительные граничные условия (см. рис. 97 и 98). Решение р в подходящим образом выбранной части области б может быть разложено по естественным частным решениям (см. 3 13 гл. ((П и рис. 73). Пусть в этом разложении коэффициентами при частных решениях в(в „ будут р (, „, . Рассмотрим ряд ~р (Л ) (ь(а) (4) А=О и выясним, в какой области он сходится, т.
е. где функция р действительно определяется равенством (4). Сначала рассмотрим только первые слагаемые функций Ф ') ), т. е. выражение Я,~-т-(аз)1'-(у.)-(А а)' Это есть та составляющая функции 1в (разложенная в ряд в указанной выше части области 0), члены которой возрастают по мере приближения к нулевой точке. Согласно сказанному в Э 13 гл. в(П, этот ряд сходится в указанной части области б и притом также для больших значений р (так как в него не входят функции, возрастающие вместе с р). В частности, этот ряд и его производная сходятся вдоль изображения профиля К, Следовательно, сходится и ряд У,7.Л ~~ -(ва)-()вла)У-(Чв)-(А)а)) Точнее говоря, частные суммы Г-(вл)-(А(З)'Р-() )-М>) 310 гл ~х твчвния с числом млхл, влизким к единице имеют предел при >Ь' — ь со. Так как, согласно предположению, У.
(Ф ( л) ( ' >) = О, то имеет место также равенство ~ 1, ф, ф (л> ( ( >) = О, †(ч )- (ь>о) илн ъп ( ~ †(Чп (ь>о) +- †(Ч ) †!а)1р ь —.о и ь=-о ~ (а> (6) Это означает, что выражения (я-('ь)-(ь>о) + -('а) — (ь>о)) ь=о — <"л)-(ьго> -'л р-ч, р во всей области О. После того как мы выяснили, что ряд у вдоль К сходится, можно показать, что разность ~у — р вдоль К удовлетворяет граничному условию (. (~р — оо) = О. (6) Кроме того, в упомянутой выше части области 0 функция у — ср может быть разложена по естественным частным решениям. Из построения функции у следует, что это разложение не содержит членов е , „ , поэтому оно сходится вплоть до нулевой точки, если только не учйтывать члена оо, — 'а Слеловательно, разность р — <о представляет собой в области 6 функцию, удовлетворяющую условиям Трнкоми и содержащую в качестве единственной особенности функцию е „.
Кроме того, функция ~у — ~~ удовлетворяет граничному условию (6), поэтому на осно- дают решение краевой задачи второго рода, если в качестве граничных значений заданы правые части уравнений (5). Но так как для правильно сформулированной краевой задачи при изменении граничных значений решение изменяется непрерывно и так как весьма правдоподобно, что рассматриваемая краевая задача сформулирована правильно, то из сходимости правых частей уравнений (5) при М -+ оо следует сходимость ряда Х к ог („-('л)-(ь>з) + - - <ч.)-(ь>о)~ -('д>- (шз> и-ч Р-ч а.= о 6 4 ГРАничНые уСЛОВИя ВБлИзИ нулеВОЙ точКИ 3!! ванин соображений, изложенных в 9 8 гл. 4!1!1, она равна нулю. Это означает, что выражение 44 в виде ряда (4) дает искомое представление функции ~р. ф 4.
Граничные условия вблизи нулевой точки Как показывают примеры из 8 2 настоян!ей главы, граничные условия, которые должны выполняться вблизи нулевой точки, могут иметь весьма различный зид. Могут существовать линейные однородные и неоднородные граничные условия, они могут зависеть от параметров, либо вредписываемых самой задачей (например, значения ф вдоль стенок аэродинамической трубы), либо определяемых голько в процессе решения задачи (например, положение точек В и 4;4 на рис. 97).
Возможны также нелинейные граничные условия, Общим лля всех этих граничных условий свойством является следующее: они должны давать соотношения между величинами, остававшимися раньше неопределенными. Если мы опять перейдем к функции тока ф и включим в решение также исходное течение, то сможем представить каждое решение, удовлетворяющее граничным условиям на профиле, в следующем виде: ,, 4р-'л+ с; В 4р-«М- рлз) (1) ь-о где функции 4р определяются уравнениями !Х, 3(1а) и 1Х, 3(2). а постоянные В «,,> <ьгз) заменяют постоянные р „,, входящие в уравнения !Х, 3(4).
Следовательно, граничные условия вблизи нулевой точки должны давать уравнения для определения коэффициентов В «Ы (Атзр В подходящим образом Выбранной части области 6 решение может быть разложено по естественным частным решениям; выполнив это разложение, мы получим Такой Вид решения (!) более удобен для выражения граничных условий вблизи нулевой точки, так как он не зависит от формы обтекаемого тела. Предположим, что граничные условия вблизи нулевой точки приводят к системе уравнений В-«В)-!в~я)=Р йй Рх )(В-',. В-'Л, Ао АЧ, ° ° ° Аыз ° ) (3) Здесь Р суть известные, в общем случае нелинейные функции укааанных аргументов. Величины Ал;4, а также В А и В,В могут быть Выражены с помощью уравнений (1), !Х, 3 (1а) и !Х, 3 (2) через 312 гл >х твчвния с числом маха, влизким к вдиницв пока неизвестные величины В б,> /ао> следующим образом; а-о (4) а=о а,о а,о + ' -б/.,>-/а/о> /чо а о Внеся эти аначения в уравнения (3), мы получим систему уравнений длЯ постоЯнных В «/,> /аз>.
Решение этой системы может быть выполнено методом итераций. В качестве первого приближения мы возьмем исходное течение с числом Маха, равным единице. Для этого течения В «/,>- /а/а> = О. Затем из уравнений (4) мы найдем В =а,/", В, =ц,/", А — '/д -у ' а/о а/6 Подставив эти значения в уравнения (3), мы получим для В следую- щие приближенные значения; -</>-/а/о> Используя эти значения, мы можем продолжать улучшать решение. Наши примеры показывают, что граничные условия могут содержать в себе свободные параметры, которые определяются только в процессе расчета.
Система уравнений (3) составлена в предположении, что эти параметры исключены. Однако с практической точки зрения обычно целесообразнее оставлять эти параметры в граничных условиях. Тогда число уравнений увеличится соответственно числу параметров. Наиболее естественно такие уравнения получаются дляВ /,иВ~/,. Параметры, допускающие выбор, либо связаны с величиной р (например, положение точек Р и /,> на рис. 97 определяется заданием значений р для этих точек), либо представляют собой значения функции тока.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
