К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 58
Текст из файла (страница 58)
е. А, ( /в> .~-(«/3) -(/.) — «' ' ' ('1,)+~«13) и /Р <л> будут иметь одинаковые знаки. Коэффициенты А«/зи /Р симметричных частных решений, а также параметры Р, и Р,„характеризующие отклонение от чисто антиснмметричных частных решений, будут иметь противоположные знаки. В дальнейшем перемену анака, произволимую при перехоле от первого ко второму решению, булем выполнять всегда во втором решении. При такого рода зеркальном отражении граничные условия вблизи нулевой точки, выражаемые посрелством функций В, всегда удовлетворяются. На основании уравнений !Х, 4 <8) мы получим в первом случае 318 ГЛ (Х ТЕЧЕНГ!Я С ЧИСЛОМ МАХА, БЛИЗКИМ К ЕДИНИЦЕ по своим аргументам, то получим 4 (М) э (з)3) й (л) (О 0 0 (л) (ж) ' О, )=0 (Заг Ф) й = О, 1, 2, ..., )з = О, 1, 2, ..., д А (м) ь р (з) —.— Я (М) ~0, О, ..., О, — (ч") "(Еа)~, О, ...
=О, (Збу дР,, д А, Ша)+Рж) В-('л)-А(аО О О Гл)+па)з)за О ) дА й — — 0,1,2..., )з=0,1,2..., я=0,1,2.... Для течений с числом Маха, равным единице, антисимметричное выражение ф, играет вблизи нулевой точки преоблалающую роль по сравнению с симметричным выражением ф,; это означает, что чем дальше мы удаляемся от профиля в плоскости течения или чем больше мы приближаемся к нулевой точке в плоскости годографа, тем более приближается поле течения к виду, антисимметричному относительно ф.
Поэтому следует предполагать„что параметр, характеризующий отклонения граничных условий от их антисимметричной формы и заранее не определенный, стремится к нулю, когда величина р, приближается к нулю, т. е. когда отклонение поля течения от поля исходного течения становится все меньше и меныпе. Вместе с р, приближаются к нулю также все остальные аргументы функций )ха. Определим теперь для коэффициентов В (л) ь члены наинизшего порядка относительно рн Для коэффициентов В (() ь антисимметричных частных решений мы имеем В =- ' (л)ь В (л) "(О, О, ...). -(ч,)-А = адРа (4) Как следует из равенства (За), коэффициенты В (ь) ь симметричных частных решений должны быть разложены в ряды только по параметрам р, и рм так как остальные аргументы представляют собой малые величины более высокого порядка относительно рп Выполнив разложение, мы получим В-(л)-ь — 'та'арг Х (Л)еь ;к'! р, '(гт ") (О, О, ...)1+Р,— [12 Ш "(О, О, ...)1~.
(5) Р' дрг Рз Далее, из равенства !Х, 4 (4), если ограничиться только членами наи- низшего порядка относительно р,, мы найдем В,=а ) и В,,=я,", -ча 319 $ б НЕСИММЕТРИЧНЫЕ ПОЛЯ ТЕЧЕНИЯ Внеся эти значения в уравнение !Х, 4(8), мы получим а,"=>!>,р,'Й '(О, О, ...) (6) и а,ч'=Ф,р ~р> -д — !)с '(О, О, ...)1+-р, д — (гл' "(О, О, ...)1!. (7) Так же, как и для поля течения, антисимметричного относительно л>>„ из равенств (6) и (4) мы найдем ., ~~-(чо-л(о, о,...) В, = а,'— -(~о-ь — р ->: — я-л(о, 1,...) (8) В равенстве (7) один из параметров р, например р,, следует рассматривать как известный.
Тогда, использовав равенство (6), мы сумеем вычислить второй параметр и найдем для него значение ч р-ч(о,о,...) 1 « ." * (гз- чв(о, о, )! дра — (>г д(0, О, . )! д др! д — (!л Д(0, О,...)! др, Использовав это равенство, а также равенство (6), мы сумеем привести уравнение (5) к виду (й-<>д-л(0, О, ...)! л дрл В <л»ь=р! д а >+ — Ы д(0 О )! д,л д +р;од» р,, ' — (Я "'-"(О, О, ...)1 !л' д(0, О, ...) др! —,' (7~-'"(,О,. ))! — — '~й-"»" (О, О, ...)! 'Р' ~. (9) дрл — (Р1-ч (О, О, .)! ! дрэ Первый член правой части обусловлен несимл>етрией профили (выражаемой коэффициентом а,!'), а второй член — несимметрией, вызыеаемой граничными условиями вблизи нулевой точки (эта несимметрия выра>кается параметром р,). Гели не учитывать второго члена, то из уравнения 1Х, 4(1), ограничившись членами наинизшего порядка относительно йн л>ы .320 гл ~х течения с числом млхл, влизким к вднннцв получим „, „-*~, („ля-'ьт(о,о, .
) -М )1-Ч (о, о,. ) „д 171 *'(о, о,...)) +сс,'" Рз .%' Л . (10) — [11-ч (о, о,,)1 ЭРа П! Это уравнение показывает, что коэффициенты при %' ~' и 1я Л имеют величину одного порядка относительно йм Если параметр р, непосредственно не задан, то он может быть вычислен из ф, с помощью равенства (6). Обнаружение зависимости поправочных членов от р, прелставляет собой важный общий результат выполненных здесь исследований. ф 7. Разложение поля течения по отклонению числа Маха, характерного для течения, от единицы Оба преобразования, с помощью которых в э 7 гл.
Ч мы перешли от точного уравнения годографа к уравнению Трикоми. содержат параметр ры В первом приближении этот параметр пропорционален (М вЂ” 1)', где М есть число Маха, соответствующее значению йо Например, для сверхзвукового течения М есть число Маха в бесконечности, для течения в блокированной аэродинамической трубе †блокирующ число Маха. Если бы уравнение Трикоми тождественно совпадало с уравнением годографа, то тогда изменение поля течения, вызываемое отклонением указанного характерного числа Маха от единицы, было бы пропорционально (М вЂ” 1)а. Однако так как уравнение Трикоми является только приближением к точному уравнению годографа, то сначала мы можем считать этот вывод правильным только при условии, что приближение оправдано, т.
е. при малых значениях т в уравнениях Ч, 7(3), или, другими словамн, в предельном случае тонких тел, В действительности укааанный вывод справедлив и в общем случае, так как решения уравнения Трикоми могут рассматриваться как приближенные представления решений точного уравнения годографа вблизи нулевой точки.
Для более подробного обоснования этого вывода вернемся к уравнению Ч. 7(2). причем на функцию Ь (тв), содержащуюся в допущении Ч, 7(1), не будем обращать никакого внимания, так как она входит в качестве универсального множителя во все частные решения. Точные решения уравнения Ч, 7(2) должны учитывать выражение, стоящее в правой части уравнения.
Функция г(п) является регулярной при всех конечных значениях ть в том числе а 1. РАзлОжения пОля течения пО м — ! 321 и при з)=0. Наличие этой функции приводит к появлению в решениях уравнения Трикоми поправочного члена, с учетом которого частные решения, соответствующие выражению ЧП, 3 (3), будут иметь вид р "в+" О(1 р)!1+О(Р)1. Составим опять частные решения уравнения годографа, удовлетворяющие граничным условиям на поверхности профиля и имеющие особенность в нулевой точке. Для каждого такого частного решения член, играющий в нулевой точке преобладающую роль, таков же, как и в случае уравнения Трикоми. При выводе результатов, полученных в предыдущем параграфе, мы использовали именно те члены, которые играли преобладающую роль в нулевой точке.
Следовательно, при разложении решения точного уравнения годографа в ряд по степеням М вЂ” 1 член наинизшего порядка будет также пропорционален (М вЂ” 1)'. Если мы перейдем от выражений %' в плоскости годографа к изменениям скорости в плоскости течения, то последние, конечно, также будут пропорциональны (М вЂ” 1)' при условии, что полное давление (т.
е. постоянная в уравнении Бернулли) остается неизменным. То же самое получится и для местных изменений чисел Маха и местных изменений давления при неизменном полном давлении. Однако это заключение неприменимо к коэффициенту давления. При обычном определении мы имеем где индекс ОО относится к состоянию з набегающем течении. Здесь величины, зависящие от состояния в набегающем течении, изменяются в первом приближении пропорционально первой степени разности М вЂ” 1.
Влияние такого изменения этих величин перекрывает изменение давления, Остановимся на этом обстоятельстве несколько полробнее. Сформулированный выше результат для местного изменения давления можно выразить уравнением где (1а) — =О [(М вЂ” 1) ] Р Пусть с" есть коэффициент давления, составленный для динамичер ского давления, соответствующего числу Маха, равному единице, 322 гл гх твчвния с числом млхл, влизким к вдннице Р— Р Р 1 Ршз 2 12) Аналогичные обозначения будем применять и для коэффициентов подъемной силы и сопротивления. Для числа Маха, не равного единице, коэффициент давления можно представить в виде гв з с „Л 1 з — — Ро» э — р ° о 2 "' '"' 2 ' 2 Рпгг Р— Р" = с„* з "р шы —,р юз 2 Разложив правую часть по степеням М вЂ” 1, мы получим г,и 1) +21з" +~)~м 1)г +о)г,и 1)з) р) В этой формуле от распределения давления на теле зависят только первый и последний члены.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
