К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 54
Текст из файла (страница 54)
В частности, фо о с точностью до множителя, зависящего от длины пластинки ь, представляет собой решение для пластинки, поставленной под углом атаки. Теперь остается перейти к решению в плоскости течения. В частности, необходимо найти распределение т) вдоль пластинки. Из равенства (4) с помошью равенств Ч, 7(8) мы найдем дхо о дЧ (14) Если показатель степени величины Р отрицателен, то соответствующее частное решение имеет в нулевой точке особенность.
Всегда имеется только конечное число таких членов. Выпишем в явном виде первые члены разложений фо о, ф' ' и фз з. Они понадобятся для дальнейших вычислений. При 3 ( 09 мы получим 294 гл тш течения с числом млхл* глвным единице где х"" есть значение х вдоль пластинки, соответствующее реше- нию '" ". Целесообразно ввести новую переменную: т1 =— ( 3 а,) (15) Тогда мы получим -г го о [( + 1) ь( ) 6Ч1~ ~' ииь1+во(1 ( ив) ~ ') о,т ( ( 8) (16) 1и есть переменная, по которой производится интегрирование). Далее введем обозначение о Е"' " = ~ и1Ь>+в" (1 + ив) ~ гй г(и.
(17) Положив О ив 1 — е 1 (6 ) 13) 3 Г( — + и) В частности. г( †) г( †) Г(~6) (18а) 1 1о,о 3 (18б) вв 11 оо 63 (1 8 в) Таким образом, для течения с числом Маха, равным единице, около пластинки, поставленной под углом атаки и имеющей длину решение имеет вид 1' 5 ~ %г и= — ~(а+1)д( — ) 8~~*~ -(.ф' . (19) Г(-") Г(~) мы увидим, что интеграл (17) представляет собой не что иное, как бета-функцию, и мы получим $9. ОБтекАние плАстинки пОд уГлОм АТАкы 295 В этом решении коэффициенты при частных решениях ф ч и у ч равны 5 б 3 5 г 59 г59 18 ~/г3 (,6) 13) или, если выразить ро через 89 на основании формулы (3), à — 12 '" 8 5 а-и, =(к+1) ' 5 5 — 1.8ои (20 в) Г( †)Г(-).9 г( ).12-2 а А" = — (х+ 1) ',, —, Мо'.
(20г) г( )г( ) Зависимость х/(. от т, опрелеляется формулой х Л (2) (б) (3) (21) х-'и= ) ич (1+из) Ада. (21 а) Обозначение х ч введеко для того, чтобы подчеркнуть, что х соответствует решению %' '". Формула (2!) повволяет вычислить распределение давления на поджимающей стороне пластинки. Величина 91 всегда отрицательна, поэтому нижний предел интеграла в формуле (21а) всегда положителен.
Распределение давления на подсасывающей стороне пластинки определяется методом характеристик. При этом опять возникает вопрос об отрыве течения около передней кромки пластинки, Очевидно, что область отрыва при уменьшении угла атаки становится все меньше и меньше. Следовательно, при малом угле атаки влиянием отрыва на распределения давления можно пренебречь.
Далее, при малых углах атаки скорость в любой точке течения (за исключением области около передней кромки пластинки) мало отличается от скорости звука; поэтому вполне оправдано, по крайней мере 29б гл чтп течения с числом мйхл, Равным единице -05 чт ЗГ( — ) б 5 Г( — )Г( — ) т) ) 1. (22) Результат вычисления по этой формуле показан на рис. 94. Как и для клина, он может бь)ть представлен в виде -Д5 -5,0 ' 0 Пг ас а5 ДВ (0 ш/г -.. т) =- по К (-~-) Р я с. ре. Иамевенне величаем Л лля пшстннкн пал углом атаки при чнеле Маха, равном свинине (сплошная кривая); для пластинки иол угтом атаки в блокированной авролннамической трубе (штрих-пунктирная кривая), дл» клина(штриховая кривая).
8,, есть угол атаки нли половина угла раствора клигга. Кривые для пластинки в авролинами. ческой трубе рассчитаны для угла атаки О,т(б,т') и ширины пластинки, равной ')н поперечнйка трубы (оо Гудерлею (21). или = — 2(х+ 1) "Во'Д'( — ). (23) Конечно, функпия д(х/Ь) на верхней и нижней сторонах для сравнения показан также при расширении первоначально пластинки не одинакова. На рис. 94 коэффиниент давления, получающийся формально, применение приближенного уравнения околозвуковых течений.
Следовательно, сначала мы должны определить положение волны Маха ОВ (или другой линии, положение которой легко вычислить на основании полученных результатов) и, исходя из этой волны, рассчитать поле течения с помощью метола характеристик для околозвуковых течений. Если волны сжатия, исходящие от звуковой линии, отражаются от поверхности пластинки, то на передней кромке пла- стинки возникает скачок уплог,5 тнения. Тем не менее построение поля течения показывает, 2,0 что давление на полсасы- вающей стороне пластинки 7,5 можно достаточно точно вычислить путем аналитического продолжения выражения для давлении на поджимающей стороне.
Таким 05 путем для определения координаты х на подсасывающей стороне пластинки получается формула о овтеканне пластинки под кглом атаки 29Т =Ро У вЂ” *в -о,у —", (24а) (24бг где — л б 3о 2-о г,г 1,о,о) 3 (24 в) Соответствующие значения х вдоль пластинки будем обозначать верхним индексом, совпадзющим с индексом функции гр. Эти зна- параллельно~о течения, имеющего скорость звука, на угол, равный углу атаки плзстинки. Для пластинки этот коэффициент получился бы в том случае, если бы течение вдоль нижней стороны пластинки не оказывало никзього влияния на течение вдоль верхней стороны.
Кроме того, на рис. 94 изображено распределение давления для клина с углом раствора, в два раза большим угла атаки пластинки. Условия на плечах клина такие же, как на задней кромке пластинки. Следовательно, разница в распределении давления около пластинки и клина связана с обтеканием передней кромки пластинки. Вычерченные кривые показывают, что взаимное влияние нижней и верхней сторон пластинки не очень велико. Полная подъемная сила немного больше двойного значения подъемной силы, которая получилась бы прн осуществлении указанного выше расширения первоначально параллельного течения.
Центр давления отстоит от передней кромки пластинки на расстояние, равное 4боо ширины пластинки. О третьей кривой, изображенной на рис. 94, будет сказано ниже. Расчет поля' течения около пластинки на основании точного уравнения в плоскости годографа был выполнен Винченти и его сотрудниками (см. рис. 30) Ниже будут использованы частные решения %' " и %' ' или более общие частные решения $' 1Ь1 1 ~'1, обладающие следующими свойствами. 1. В нулевой точке преобладающую роль играет особенность ф 12 „„,, которая входит с коэффициентом, равным единице.
Кроме этой особенности, в чг ~д1 1 ~~ входят только особенности ф , и ф 2. На изображении поверхности пластинки выполняется условие ф =-О. 3, При р-+ со получается точка разветвления линий тока. 4. Вклад этих решений в полкую длину пластинки равен нулю Подобного рода решения легко могут быть получены из формул (13) и (18). Представим эти решения в виде 298 гл ч111 ТЕЧЕНИЯ с чиСлОМ МАХА, РАВНЫМ ЕДИНИПЕ чения определяются по следующим формулам: х =о 1~(к+1) ( — ) 8о~х (25а) (256) где ~'з( =4)19(1+.( —,)11-'л, 4 х л = 3 А у 2 1( — 4) 1'!1+( — 11)з! 1 Х (!35 21 1+( — ~~)в Л Приведем еще следующие очень простые соотношения, которые нам понадобятся в дальнейшем: х = — — Ф'3 ( — ) (х ') (х Ч) 135 21 1+( з1)в ~ п1з1 (26а) ф 1О. Другие частные решения, получаемые аналогичными методами Р и с.
РЗ. Граиичиие условии али точки разветвления второто веревка. Для расчета течения около несимметричного тела в блокированной аэродинамической трубе необходимо иметь решения, для которых точка (ч на рис. 95 является точкой разветвления второго порядка. Покзжем дальнейшие применения метода определении решений ф, изложенного в предыдущем параграфе. Полученные результаты будут использованы в следующей главе. 299 а 1О дРуГие чАстные Решения На первый взгляд может показаться целесообразным применение решений Фальковича (см. стр.
246). Однако в рассматриваемом случае они не подходят по следующим причинам. Задачи, приводящие к решениям с точкой разветвления второго порядка, требуют разложения поля течения по параметру, определяющему расстояние точки О от звуковой линии. Поэтому используемые решения должны быть пригодны и в том случае, когда точка О попадает на звуковую линию. Но это требует, чтобы волны Маха, проходящие через нулевую точку, не отображались в бесконечность плоскости течения и не обусловливзли особенностей в кривизне линий тока.
Решения Фальковича, а также решения Тамады и Томотики не удовлетворяют этому требованию. В самом деле, значительные трудности возникают не только при совмещении точки О с нулевой точкой, но даже при приближении точки О к нулевой точке. Решения, которые мы сейчас вывелем, получаются как наложение естественных частных решений, поэтому только что указанные трудности отпадают. Необходимые нам частные решения симметричны относительно линии с = — со и удовлетворяют условию ф = 0 вдоль линии ОО (рис. 95). Попробуем представить решение вдоль с = — оо при р)р, в следующем виде: где е есть целое число. Разложим правую часть в ряд по степеням Г9) ° — 1 р!р9) . Взяв это разложение за основу и использовав частные решения ф<'1Г „, мы сумеем продолжить решение в область р~р ) 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
