К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 57
Текст из файла (страница 57)
В соответствии с той или другой возможностью они будут обозначаться либо через р, и р,, либо через ф, и ф,. Далее при формулировке неоднородных граничных условий могут встретиться такие величины, которые хотя и определяются полем течения, но которые целесообразнее включать в качестве параметров в уравнения, выражающие граничные условия. Эти величины мы будем обозначать аналогичным способом. 6 4 ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ВБЛИЗИ НУЛЕВОП ТОЧКИ зл Таким образом, граничные условия вблизи нулевой точки могут быть выражены, например. следующей системой уравнений: — <Ч ) — <Аа) г  — </6)-<А/2) ~ (Фл Ф2 ол Р2 )о А'/„А'ч 46,'6 " ') (о) где Фо и ро означают характерные для рассматриваемой задачи значения величин Ф и р, а а и Ь суть новые коэффициенты рядов.
Сравнив уравнение (6) с уравнением (2), мы найдем В, = Ф Р<'/э)4<ь/6)Ь -</)-<АГ6) о о -</)-<ЛГ2) А = Ф -"/'а АА/6 — роро а) 6 (7). Граничные условия (6) принимают теперь вид соотношений между коэффициентами а и Ь, а именно Ь-</6)-<Аа)=Я < — — —, =', ао, а/Р ..., ав/6 ).
<сь <ш2) / Фл '/2 Рл < Фо Фо Ро Ро Здесь /т суть функции, определяемые условиями вблизи нулевой точки. Полставив найденные значения Ь <л) </,/,) в первую систему уравнений (7), мы получим следующую уточненную формулировку граничных условий (5): в <,/,) <„„)=Ф,Р,<'/)-<з/6))( А А/6 ° 262 — <'й) — <А/6) ( р< м Рл Ро з/6РВ ) (б ) < Фо Фо Ро Ро Фо За хаРактеРистические величины Фо и Ро следУет звать, конечно, такие параметры, которые уже имеются в формулировке граничных Условий, напРимеР значениЯ Ф, и Рм Тогда отпадет зависимость граничных условий от этих параметров. Оставшиеся параллетры причем принимается, что из четырех параметров, Входящих в эту систему, два связаны с величиной р, а два — с функцией тока Ф.
)Тва из этих четырех параметров следует рассматривать как известные. Вследствие структуры уравнения Трикоми и упрощенных условий на скачке уплотнения решение этого уравнения в плоскости годографа остается верным как при изменении масштаба р, так и при умножении решения на постоянную величину. Первое изменение представляет собой деформацию поля течения в соответствии с законом подобия, а второе — простое изменение масштаба плоскости течения. Для того чтобы выяснить, как эти изменения влияют на форму равенств (4), придадим уравнению (2) такой вид, который не зависит от указанных преобразований.
Мы получим Ф = Чь;,(РЧФ;,)+-ь,„(Р~ВФ%)+ + Х Ь-<'4)- <ь/6) /<Ро ' Ф «/,)- <А/2)) + с~ ~аь/6 (Ро Фшо)1' (6)' д>4 гл Рх твчвння с числом млхл, влнзкнм к вдиницв лучше всего выбрать так, чтобы в поле течения, антисимметричном относительно ф, они были рзвны нулю и чтобы разложение функций гг' по этим параметрам начиналось с линейного члена. Получится ли так в действительности, можно выяснить, конечно, только после исследования граничных условий для конкретного случая. При течении в закрытой аэродинамической трубе имеется, согласно сказанному в Э 2 настоящей главы, три параметра, а именно: значение ф на стенке — его следует выбрать за параметр ф, — и значения р в точках Р и Я, которые обозначим через Рр и р .
В качестве параметра р, целесообраано выбрать значение р, Для того чтобы в антисимметричном поле течения второй параметр был равен нулю, возьмем его в виде разности р — р, Ниже мы увидим, что Р разложение граничных условий по этому параметру начинается с члена (Р— Р ) ', поэтому лучше ввести параметр Р>Р— Рт Второй параметр, связанный с р, если только он вообше имеется, может быть выбран аналогичным образом, На основании сказанного уравнениям 1ба) можно придать следующий упрощенный вид: В-('л> — (ь>з> = ф~Рг( В>+ (" > Х А рлм (л> (ь>з> ~ Ае кмРг (8) 1Рг Ра ф Бели требуется определить функции Я для граничных условий, ваданных вблизи нулевой точки и характеризуемых значениями ф,, фз, р, и рз, то следует найти такое решение уравнения Трикоми, которое удовлетворяет этим граничным условиям и для которого разложение по естественным частным решениям имеет лри положительных показателях степени р заданный вид ~~~~ Алмфьм ь-о 'Тогда в этол> решении величины В (л> (ь>з> будут коэффициентами естественных частных решений при отрицательных показателях степени р.
Перейдя затем посредством уравнений (8) к функциям Я, мы увидим, что последние зависят только от указанных в этом уравнении аргументов. Следовательно, такой расчет достаточно выполнить лишь для одного-единственного выбора параметров йн например для ф, = 1 и р„= 1. Примеры подобного рода исследоваг>ий будут даны ниже. З З ТЕЧЕНИЯ, ДЛЯ КОТОРЫХ ФУНКЦИЯ ТОКА АНТИСИММЕТРИЧНА 3)5 ф б. Поля течения, для которых функция тока ф антисимметрична относительно оси х («А)-~-(за) ( «М ~ ь ~ ( М ) А / О ) ~ ( Ю 3 ) Р 1 ) -РА)-Ь = ф>(>1 х Т1 Все функции )с, с которыми мы будем иметь дело в этом пзраграфе, соответствуют антисимметричным частным решениям.
Если Отклонение от исходного поля течения мало, то мало также рп поэтому при уиеньшении этого отклонения до нуля аргументы функций )!«также станут равными нулю. Следовательно, разложив коэффициенты В в ряд и ограничившись каждый раз членом наинизшего порядка, мы получим в ... А=ф,р((о'А)г-(д)-"(о, о, ...). (!) Степень, в которой о входит в правую часть, возрастает с увеличением л.
Если в первом из уравнений !Х, 4(4) сохранить только член с наименьшей степенью р, то мы будем иметь В А — — а *>,'г Внеся это значение в уравнение, (1), мы получим й «/ — фг«1 )з (О О ) (2) « В этом решении а *)", )с а и либо рн либо фг известны. Следовательно, оно устанавливает связь между известными и неизвестными параметрами. Из уравнений (1) и (2) мы имеем А «А )Г(Ч )-Ь (О, О, ) В (*~,) А = р>ьа л-'д(о, о, ...) (3) Подставив это значение В в уравнение !Х, 4 (!) и сохранив только член с наинизшей степенью р,, мы получим 1 > „ч„ю-' (о,о, ...) * >««>«(О, О, ...) (4) Целью дальнейших исследований является отыскание разложения решения 1Х, 4(!) по параметру, определяюшему отклонение рас<матриваемого поля течения от исходного течения с числом Маха, равным единице.
Ограничимся, как и всегда, определением только членов наинизшего порядка. Для антисимметричного поля течения параметры р, н ре равны нулю. кроь(е того, отсутствуют коэффициенты АА>з и В („) А. следовательно, уравнения !Х, 4(8) принимают более простой вид, л именно: 316 ГЛ 1Х. ТЕЧЕНИЯ С ЧИСЛОМ МАХА, БЛИЗКИМ К ЕДИНИЦЕ Теперь при помощи равенств 1Х, 4(4) можем убедиться, что коэффициенты А действительно имеют величину порядка елиницы и что поэтому аргументы функций )с стремятся к нулю вместе с йи Если мы захотели бы дополнить уравнение (4) членами более высокого порядка, то должны были бы учесть, что граничные условия для профиля в свое время были линеаризованы. Исключение составляет течение около клина.
Функции ее' аависят только от формы тела, а выражения Й и параметр р, — только от граничных условий вблизи нулевой точки. Согласно уравнению (4), отклонение от исходного течения, опре- 1 / делаемое с точностью до множителя функцией л)г ~", в первом приближении не зависит от граничных условий, заданных вблизи нулевой точки. С помощью уравнений НШ, 7(3) и Ч!11, 7(4) мы можем перейти от уравнения (4) непосредственно к формулам для изменения давления или скорости в плоскости течения.
ф 6. Несимметричные поли течения Несимметрия поля течения может быть вызвзна как формой про- филя, так и условиями вблизи нулевой точки. В качестве примера, иллюстрирующего вторую возможность, вообразим течение в аэро- динамической трубе около тела, рзсположенного не вполне точно на оси трубы. Параметр, характеризующий эту несимметрию, можно рассматривать как заданный. Будем считать его всегда настолько малым, чтсбы граничные условия можно было рззложить в ряд по его степеням. В течениях, происходящих в неограниченном про- странстве, такой параметр, конечно, отсутствует. Граничные условия вблиаи нулевой точки содержат еще один параметр, обусловливающий несимметрию.
На рис. 97 таким пара- метром является положение точки Р. Этот параметр определяется только в процессе отыскания решения и зависит главным образом от несимметрии профиля, В дальнейших исследованиях важную роль будут играть неко- торые свойства симметрии функций й ~чп ~~~~. Эти свойства связаны с тем, что величины В 191 А И А1А1НЫз> пРедставляют собой коэф- фициенты антисимметричных частных решений, а величины В <Ш А и ААА — коэффициенты симметричных частных решений. Если р, и р„равны нулю, то граничные условия являются чисто знтисиммет- ричными. Для того чтобы вьивить свойства симметрии функций й 1 П 1' '. рассмотрим два решения, получающиеся одно из другого путем зеркального отражения относительно оси т) и олновременного изме- нения знака на обратный. В этих решениях коэффициенты антисим- 3 О НЕСИММЕТРИЧНЫЕ ПОЛЯ ТЕЧЕНИЯ В-</>-« = фзр( " )С ('/,)+« ), /Р-Р/.)-«( <о '/,Рз А, Рз Рз 'з'2 ФГ «13 А«/орз фг А/.+<«/3>Р( ' ('/,) + («/3) а во втором случае — Ао А /р, /ю Фз ' <Ч А/ «Р'' ('/,)+(«/3) (~/а.~./ Р/) «( В (ц)-« ='тгрг /с < — Ро — рз — А«вр, «/3 Отсюда следует А/„р," А«/зр, А<,1>„<«/3>р ('/,) о(«/3) /р — ('12)- «( Ао '>Рз Рз Рз р-< 1„)-« Фз ' т( ' Фз Ао цр< /о Фг Фг Р«/3 Ь А р<'/о)+<«/3) (/„)о<«/з>рз чч .).(о Аналогичным образом мы найдем -(/,>-««1зоз </> о(«/з>рз аяз А «/,).~.(«/3) Ро Рз' ''' ~ ° 'г'3 'тг А «/з А (/„)+(«/з) -<'/,)-л ! — «/зрз <1,>о<«/з>рз " — ° -~ — „, (2) Далее, если мы предположим, что функции /Р дифференцируемы метричных частных решений (о(ч, „,, и е <, „, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
