К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Однако такие решения в общем случае изменяют длину сторон клина и, следовательно, при наложении на исходное течение изменяют форму тела. Если решение ф антисимметрично (л †четн число), то изменения длины обоих сторон клина имеют одинаковый знак, если же решение ф симметрично (л — нечетное число), то одна из сторон удлиняется, а другая укорачивается, с чем мы уже встретились при расчете обтекания клина, поставленного под углом атаки.
Для того чтобы получилось решение, оставляющее длину сторон неизменной, необходимо наложение дальнейших решений. При четном л используется решение, имеющее в качестве составляющей с особенностью выражение ф,, т. е. решение для числа Маха, равного единице; при нечетном Ь используется решение с выражением ф, в качестве особенности.
Следовательно, искомые частные решения имеют вид )р — (Чв)-л + -«Я — лл 1 — «М — л й ) 2 4) ф[ ~) л к ч ф ч, ф — » ° ° - ( Решения (4) и (5) совпадают с решением (3), если не считать того, что в решениях (4) и (б) вследствие симметрии рассматриваемой задачи отсутствуют некоторые члены, входящие в решение (3), сзб ГЛ Ч!Н ТЕЧЕНИЯ С ЧИСЛОМ МАХА, РАВНЫМ ЕДИНИНЕ ф 9. Обтекание пластинки под углом атаки при числе Маха, равном единице линия г!!! у волны розрезкения 1!!! предельная карактеристика ! ! ',горок Решение задачи об обтекании пластинки под углом атаки при числе Маха, равном единице, сравнительно просто и поэтому представляет особый интерес.
Такую пластинку можно рассматривать как предельный случай клиу на, угол атаки которого ф с-предельная велик по сравнению с углом звуковая г! I кар октеристика раствора. ! волнЫ Представление о струк! !.крпзрелсения туре поля течения можно сверхзвуковая получить из рис, 91. Пред- положим сначала, что пла- С стинка помещена в аэродинамическую трубу и обдуоиния тока, прпзодяигая вается на блокирующем через кригпическую точ зв ковоя числе Маха. В таких услодозвуковая виях в течении образуются два самых узких поперечных сечения: одно между =~ щю те пт а1!, передней кромкой пластинд!!р ки и верхней стенкой тру- !р чч, 1! ! бы, другое †меж задней кромкой пластинки и ниже ней стенкой трубы.
Поэтоl му следует ожидать, что на передней кромке пластинки с/ ТТ " . ларокте иапиьа с д возникнет звуковая линия, и направленная к верхней ,пиния с' тока, прокоднуоя через стенке, а на задней кромкритй ческию точку ке — такая же звуковая линия, направленная к нижней стенке. Вблизи передней кромки пластинки образуется, как и всегда при дозвуковом течении, критическая точка. Направление линий тока, расположенных непосредственно под линией тока, проходящей через критическую точку, всегда приблизительно совпадает с направлением набегзющего течения.
Направление же линий тока, расположенных непосредственно над линией тока, проходящей через критическую точку, немного позади критической точки почти противоположно направлению набегающего течения. Поэтому при обтекании передней кромки возникает резко расширяющееся течение. Звуковая линия, выходящая из передней кромки пластинки, образуется здесь именно вследствие расширения 5 9.
ОБТЕКАНИЕ ПЛАСТИНКИ ПОД УГЛОМ АТАКИ 287 чк лет В О шаралпсерисатики течения. Сначала она направлена перпендикулярно к пластинке вниз, а затем меняет свое направление почти на 180' и продолжается вверх к стенке трубы. Поле течения вблизи задней кромки пластинки имеет в точности такую же структуру, как около плеча клина. При возникновении расширяющегося течения около передней кромки пластинки здесь теоретически должен образоваться абсолютный вакуум, вслед за которым должно произойти повышение давления вследствие подхода волн сжатия от звуковой линии. Практически же здесь возникает местный отрыв течения.
Наклон пластинки приводит к тому, что на верхней ее стороне имеет место чисто сверхзвуковое течение. Получив представление об обтекании пластинки в аэродинамической трубе, мы можем перейти к течению с числом Маха, равным единице, если отодвинем стенки трубы в бесконечность. При исследовании обтекания клина, поставленного под углом атаки, мы обнаружили, что вбли- га= = — Р зи острия клина возникает ме- ч )с l стная сверхзвуковая зона. Теперь, т А l при обтекании пластинки, такая сверхзвуковая зона образуется В Над ВСЕЙ Всркисй СТороиой Пяа- р не Ш Отображение течения около пллстинки. стннкн, поставленной пол небольшим углом После сказанного о структуре атаки, нл плоскость ж н. поля течения годограф течения (рис.
91) не требует специальных пояснений. Сомнения может вызвать только вопрос о формулировке граничных условий в области расширения течения около передней кромки пластинки. Если ограничиться малыми углами атаки, то нулевая точка будет расположена очень близко от изображения нижней стороны пластинки, Теперь выполним, в соответствии с законом подобия, такое аффинное преобрззование плоскости годографа, которое оставляет положение нулевой точки неизменным относительно изображения стороны клина. Для этого введем новые переменные — — — Ь ч еу Угол атаки также пропорционален с ".
При предельном переходе т -ь 0 та часть плоскости т), 9, в которой происходит обтекание острия клина, перемешается в бесконечность. Следовательно, рассматриваемое граничное условие не играет существенной роли (рис. 92). От решения необходимо потребовать, чтобы оно удовлетворяло условию ф = — 0 вдоль уАВС и в бесконечности. Особен- 28И гл чш течения с числОЯ МАХА, РАзным единице ность в нулевой точке должна получиться в результате наложения выражений ф ч и ф, . В качестве дальнейших условий мы найдем, что при Р -А СОА должна получиться точка разветвления линии тока и что решение должно дать для длины пластинки заданное значение Оба последние условия определяют те параметры задачи, которые допускают свободный выбор.
Такими параметрами являются коэффициенты частных решениИ ф , и ф , . В последующих вычислениях будем писать т) и 9 вместо т1 и О. 0 том, каким должно быть решение, можно догадаться на основании его вила в точке В и в бесконечности (Гудерлей [121, см. лиг. 1). Выберем точку В за начало координат системы и, Ь. Так как вдоль СВ и ВА должно соблюдаться граничное условие ф = О, то решение вблизи точки В может быть представлено как наложение частных решениИ ф~~) „. Вдоль линии ВС частные решения имеют вид ( 1)-'~, РА) 1АИ следовательно, полным решением будет где Р (р) есть пока .еще неизвестный степенной ряд относительно р, Для выяснения поведения решения в бесконечности поступим следующим образом.
Мысленно продолжим решение от характеристики ОА) к характеристике АВ. Для это~о необходимо использовать значения ф на характеристике Ос), а также условие ф = О, подлежащее выполнению в бесконечности. Характеристика АВ представляет собой одну из волн Маха у расширяющегося течения, возникаюрие эь типичное рпсположение Щего иа переднеИ кромке пластинки. жа з» гран з и. жкре~ч чзл ч реже- Поэтому эта характеристика не должна няч ф 1а1 ' отображаться в бесконечность плоскости течения.
Те частные решения, которые, во-первых, при р — ь со стремятся к нулю, во-вторых, вдоль с = — ОО удовлетворяют условию ф = О и в-третьих, таковы что для них характеристика с = 1 не отображается в бесконечность, имеют вид (2а) ф 6/ 5 О ОБТЕКАНИЕ ПЛАСТИНКИ ПОД УГЛОМ АТАКИ Этим формулам можно придать также следующий вид: й!по-т '(б +т)' (3) (6 ) (3) 5 7 4 Г ( — ) Г( — +т) 1) — (8 1 3 ,т,л ( 1)л-,т-~-г 3( Р~ ' 3 (Ро) ( Г( — +л — т) Г( — ) 8 ГРг ХР( — -+л, — +и — т, — +л — и, ( — ) )— ~ 2 ' б 3 Ро Г( — + л — т) Г( — ) х Г( — ) Г( — +и — т) У5 13 )(Г( — -+л, — +и — и, — +л — и, ( — ) )(. (8б) 12 ' б т Ро ) Отсюда нетрудно выяснить поведение решения вблизи нулевой точки (р1ро — — 1), являющейся особой точкой. Прежде всего мы видим, что гипергеометрические функции, входящие в первые слагаемые формул (Яа) и (8б), удовлетворяют одному и тому же гипергеометрическому дифференциальному уравнению.
То же самое относится и к гипергеометрическим функциям, входящим во вторые слагаемые. Поэтому при Р/Ро = 1 формулы (8а) и (8б), если их преобразовать с помощью соотношения ЧИ, 4(ба), дают линейную комбинацию одних и тех же гипергеометрических функций. Следовательно, для того чтобы показать, что в нулевой точке оба решения [(8а) н (8б)) „подходят" одно к другому, достаточно исследовать коэффициенты при указанных гипергеометрических функциях. Это исследование приведет одновременно и к разложению решения в нулевой точке.
За подробностями отсылаем к работам Гудерлея (12, 13] (см. лиг. 1). Окончательный результат можно сформулировать в следующем зиле. Пусть р и о суть значения р и 3 для того случая, когда нулевая точка принимается за начало координат л, й. 292 гл шн течения с числом мАхА, РАВным единице Тогда решением вдоль звуковой линии при 0 (Ьо будет ф "='5',ай( — ')"+( — ') ""' '"~~~~ни'" "(-'-) + + 1( Р ) )~~~ Ьи( ~ ) +1( ~ ) ~~4Ьй~™-и'( ") (9) и-о н-о Г( — )Г ( — +ли)Г ( — —— ао=( 1) 8 2, 5 5 Го( — ) Г( — — + ш — п) ('5') ('5 Г~ 1Г~ +.1 Г(-,',) Г(-' ,~-~) ' ,74) Ь-1А) — и 1 ~в+и2-ГА) — и 3 2~л 3) (3 ) (10а) (10б) Следующие ковффициенты вычисляются по рекуррентным формулам: ай(Ь +ч) ~ — 2(Ь+-т) — 2л — — ~+ 10) 31 +аи и~ 3~Ь+,+ 5+ 3 (а ш) 1 1 2 103 4 — — — — 4 (л — лг) — — (л — ли)о )— 35 3 — ай о(Ь+.— 3)~Ь+'+ 3 +2(л — гл)~=0; (11а) 5т 5 Ьй((о-+р) ~ — 2 (Ь+.р) — 2а — 3 ]+ +-': — ) 3~'+9+ 5+ 3(" — ~)'1— 103 4 — — 4 (л — л)) — — (а — л))' °вЂ” 35 3 — Ьй и(Уг+р.— 3)~й+р+- — +2(л — т)~=0.
(11б) 1 7 Первые коэффициенты ао. а-гь) ", Ь' и Ьо орл)-и рялов, вхоляших в это решение, имеют значения $9. ОБТЕКАНИЕ ПЛАСТИНКИ ПОД УГЛОМ АТАКИ На основании формулы (9) решения вблизи нулевой точки могут быть составлены путем наложения частных решений вида Р ( Ай аост' (о Р,) (12а) Имея эти выражения, мы можем вычислить коэффициенты при соответствующих частных решениях ф,, ф, и т. д., обладаюших особенностями в нулевой точке. Мы найдем ~оо 19 22т тУГ3 о Л 54 '$г3 3 135'АЗ Ро ' ь(Р' )+ ' ' ' (13а) (136) Полученных результатов вполне достаточно для описания искомых решений в плоскости годографа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
